ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE, DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE, ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2007

Notations : vecteur (gras) ; norme du vecteur (italique) ; vecteur unitaire .
Dans toute l'épreuve, exprimer signifie «donner l'expression littérale» et calculer signifie «donner la valeur numérique .

On se propose d'étudier quelques aspects du fonctionnement de satellites de télécommunication en orbite autour de la Terre. Sauf mention contraire, on considérera que la Terre est une sphère homogène de rayon et de centre O , immobile dans l'espace, sans rotation propre.

À la fin de cet énoncé (page 7), sont regroupées des valeurs de grandeurs physiques et un formulaire utilisables dans cette épreuve.

- Un satellite de masse est en orbite circulaire de centre O , à une altitude de l'ordre de quelques centaines de kilomètres (orbite basse). Établir la relation entre la période
de révolution et . Exprimer de même la relation entre la vitesse et .
2-Soient et l'énergie cinétique du satellite et son énergie potentielle dans le champ de gravitation de la Terre ; établir le «théorème du viriel» : .

- À chaque position du satellite correspond un point Q sur la Terre à la verticale de ce point. L'ensemble des points définit la trace de la trajectoire. Pour un observateur situé en Q , la durée de visibilité d'un satellite est l'intervalle de temps entre son apparition sur l'horizon (point A de la Fig. 1) et sa disparition sous l'horizon (point B). Exprimer en fonction de et .
Calculer pour .
- Calculer . Pour les besoins de la téléphonie mobile, on place sur des orbites polaires (c'est-à-dire contenues dans un plan méridien terrestre) un ensemble de satellites, identiques, appelé «train de satellites ». Ces satellites sont disposés régulièrement sur leur orbite polaire commune, à l'altitude de 800 km . Calculer le nombre minimal de satellites nécessaires pour former un «train» afin que tous les points au sol, dans le même plan méridien que l'orbite, voient au moins un satellite à tout instant.
Combien d'orbites polaires de ce type faut-il pour couvrir la surface de la Terre, c'est à dire pour que chaque point de la surface terrestre voie au moins un satellite à tout instant ? Combien doit-on disposer de satellites en tout?
- Dans cette question, on prend en compte la rotation de la Terre. Calculer la période et l'altitude d'un satellite placé sur orbite géostationnaire. La notion de durée de visibilité garde-t-elle, dans ce cas, un sens ? Quels sont les avantages et les inconvénients d'un satellite géostationnaire comparé au train de la question 4 ?
- La Terre est entourée d'une atmosphère qui s'oppose au mouvement du satellite. La force de frottement créée par l'atmosphère est proportionnelle au carré de la vitesse du satellite et elle s'exprime par , où a une valeur positive, constante dans cette question. Déterminer la dimension de . Écrire le théorème de l'énergie cinétique en supposant que le théorème du viriel établi à la question 2 reste applicable en présence de . Établir l'équation différentielle vérifiée par .
- Un satellite placé sur une orbite d'altitude 800 km subit une diminution d'altitude d'environ 1 m par révolution; sa vitesse est, en norme, très peu affectée au bout d'une révolution. En déduire une estimation au premier ordre de (ne pas s'étonner de la petitesse
extrême du résultat !). Calculer, avec la même approximation, ce qu'il advient de l'altitude au bout de 10 ans de fonctionnement du satellite. Comparer à la solution exacte. Le fait d'avoir une augmentation de la vitesse en présence d'une force opposée au mouvement est-il paradoxal ?
- En réalité, les frottements dépendent de la densité de l'atmosphère et donc de l'altitude. Dans un certain domaine d'altitudes, varie selon la loi , où et sont positifs. Le même satellite que celui de la question 7 (perdant 1 mètre par révolution pour ) perd, à l'altitude de mètres par révolution. Calculer et .

La méthode de stabilisation d'attitude par gradient de gravité a été mise en œuvre pour les satellites artificiels afin qu'ils présentent

vers la Terre toujours le même côté. Elle ne requiert aucune ressource d'énergie embarquée. Le principe de cette méthode a été établi par Lagrange, au XVII , afin d'expliquer pourquoi la Lune présente toujours la même face vers la Terre.
Modèle : le satellite est constitué de deux points matériels et de masses identiques reliés par une tige rigide de masse nulle et de longueur . Le barycentre S du satellite décrit autour de la Terre une orbite circulaire de rayon . Le référentiel géocentrique (R) lié au repère (Oxyz) est supposé galiléen. Le plan orbital est . Le référentiel ( R ') défini par le repère (Ox'y'z) lié au satellite tourne autour de la Terre avec une vitesse angulaire (Fig. 2). Les points et sont dans le plan orbital: et , où et sont unitaires. On appelle l'angle de avec l'axe ' de '). On cherche à déterminer les éventuelles positions d'équilibre du satellite dans le référentiel ( ') et leur stabilité. On suppose qu'il n'y a pas de frottements.

- Exprimer les forces gravitationnelles et qui agissent sur et .
- Exprimer dans ( R ') les forces d'inertie d'entraînement qui agissent sur et , en fonction de et . Exprimer dans (R') les forces d'inertie de Coriolis qui agissent
sur et , en fonction de et .
11 - Montrer que dans (R') le moment des forces d'inertie de Coriolis en est nul. Établir que dans ( ') le moment résultant calculé en des actions extérieures a pour amplitude, pour . Préciser la direction et le sens de ce moment cinétique.

12 - Appliquer le théorème du moment cinétique dans ( R '). Établir l'équation différentielle du mouvement. Déterminer les valeurs de qui correspondent à une position d'équilibre dans (R').
- Montrer que est une position d'équilibre stable. Existe-t-il une position d'équilibre instable ? Quelle est la forme de l'équation différentielle pour les petits mouvements autour de cette position d'équilibre instable ?

14 - À partir de la position , le satellite subit une petite perturbation qui l'écarte d'un angle . Calculer la période des oscillations au voisinage de la position d'équilibre, pour un satellite d'altitude . Comparer cette période avec la période du satellite autour de la Terre.

15 - Exprimer le potentiel de gravitation, en fonction des données du problème et en procédant aux approximations qui s'imposent ( ).
- Considérer l'énergie mécanique du satellite et en déduire la période des petites oscillations autour de la position d'équilibre stable.

La Terre est entourée d'un champ magnétique . On admet que les lignes de champ à l'extérieur de la Terre sont équivalentes à celles que produit un moment magnétique NordSud placé au centre O de la Terre, le pôle magnétique Nord étant voisin du pôle Nord géographique. Dans le système de coordonnées sphériques dont l'axe est colinéaire au moment,

On considère le satellite bi-point décrit dans les parties I et II, en orbite circulaire basse dans le plan équatorial magnétique (Fig. 3) et à l'altitude . À cette altitude, . À tout instant, le satellite est stabilisé en position . Les points et sont reliés entre eux par un câble conducteur isolé par une gaine en téflon.

17 - Tracer l'allure des lignes de champ à l'extérieur de la Terre. Comment est dirigé le champ sur un cercle de centre O et de rayon dans le plan équatorial ?
- Montrer que, lorsque le satellite se déplace dans le champ magnétique équatorial de la Terre, une f.e.m d'induction apparaît entre et Exprimer en fonction de , et , ainsi que de constantes que l'on précisera. Calculer dans les cas et .

19- Le circuit est fermé par les ions de l'ionosphère ; un courant d'intensité circule dans le câble. Exprimer la force de Laplace exercée sur le câble, long de 10 m . Quelle est, dans le référentiel géocentrique, la puissance de cette force ?

20- En conservant cette valeur d'intensité, quelle est alors la puissance pour ?
- Comment la force de Laplace affecte-t-elle le mouvement du satellite ? On pourra comparer l'intensité de cette force à celle de la force de frottement des questions 6 et 7.

22- Grâce à des batteries chargées par des panneaux solaires, la puissance disponible est de l'ordre de 500 W . On suppose que . Quelles sont les conséquences de cette circulation de courant sur le mouvement du satellite ? Dans quel sens doit-on faire circuler le courant pour permettre au satellite de se placer sur une orbite plus haute ? Combien de temps serait alors nécessaire pour une élévation d'orbite de 500 m ?

23 - Comparer les résultats obtenus dans la question précédente avec ceux obtenus dans le cas .
- Dans le Journal «Pour la Science» de septembre 2004 ( 323) était évoqué un satellite composé de deux cabines reliées par un fil conducteur rigide. Commenter les phrases suivantes publiées dans ce numéro: «En équipant de longs câbles les satellites et les sondes spatiales, les astrophysiciens espèrent produire à bon compte de l'énergie électrique, un moyen de propulsion ainsi qu'une forme de gravité artificielle. Dans cette technique, un câble conducteur est relié à deux cabines en orbite autour de la Terre. Le câble de cet engin spatial échange de la quantité de mouvement avec la planète par l'intermédiaire de son champ magnétique. » On pourra effectuer une approche comparative quantitative en sachant que le contrôle d'attitude d'un satellite s'effectue souvent avec des fusées «vernier» dont la poussée est de l'ordre de , et que les modifications d'orbite sont effectuées par d'autres fusées «vernier» dont la poussée est de l'ordre de 50 N .

Le satellite communique avec la Terre en émettant ou recevant des ondes électromagnétiques. Ces ondes traversent l'atmosphère, assimilée ici au vide, à l'exception d'une couche appelée ionosphère située environ à partir de l'altitude de la Terre. L'ionosphère est constituée d'un gaz sous très faible pression et partiellement ionisé par le rayonnement
solaire, encore appelé plasma ionosphérique. Ce plasma contient donc des ions positifs de charge et de masse et des électrons de charge et de masse . L'ionosphère étant électriquement neutre, ions positifs et électrons ont même densité particulaire . On étudie la possibilité de propagation selon une verticale locale (Fig. 4) d'une onde électromagnétique monochromatique plane progressive décrite par les champs et :

avec réel et constant. On admettra qu'étant donné les conditions expérimentales, .
- Exprimer la force de Lorentz

exercée sur les charges. Dans quelle condition peut-on négliger la contribution du champ magnétique devant celle du champ électrique?

Dans cette hypothèse, exprimer en notation complexe la vitesse prise par un électron ; exprimer de même la vitesse prise par un ion. On admet que l'amplitude des mouvements de l'électron est très petite devant la longueur d'onde du rayonnement. En déduire la densité de courant qui apparaît dans le plasma. Simplifier cette expression en tenant compte de la relation .
- Écrire les équations de Maxwell dans le plasma. En déduire l'équation aux dérivées partielles vérifiée par le champ , puis l'expression de en fonction de et des données. On introduira . On posera .
- Discuter suivant la valeur de la possibilité de propagation de l'onde à travers le plasma. On montrera que l'ionosphère se comporte comme un filtre passe-haut dont on donnera la fréquence de coupure
- Dans le cas où la propagation est possible, donner la relation de dispersion, la vitesse de phase , la vitesse de groupe . Le milieu est-il dispersif ? Tracer les graphes de et en fonction de et donner une relation simple entre et .

29 - La densité particulaire est . Comparer cette densité avec celle du cuivre, que l'on évaluera en admettant par exemple que chaque atome du cristal de cuivre métal fournit un électron libre. Donner le domaine de fréquences qui permet de communiquer avec le satellite.
- On considère un canal de communication entre un satellite placé à une altitude de 800 km et un observateur terrestre tel que le satellite soit exactement à sa verticale. La fréquence de ce canal est 1 GHz . Quel sera le retard induit par l'ionosphère en supposant que celle-ci est homogène entre 100 km et 300 km d'altitude (on considérera dans ce problème que l'atmosphère comprise entre 0 km et 100 km d'altitude a un indice égal à 1 , et qu'au dessus de 300 km , la propagation s'effectue dans le vide) ? Comment se modifie ce retard lorsque la densité particulaire passe de la valeur de (valeur typique de nuit) à (valeur typique de jour), et en supposant que l'extension de l'ionosphère ne varie pas entre le jour et la nuit?