ÉCOLE NATIONALE DES PONTS ET CHAUSSÉES, ÉCOLES NATIONALES SUPÉRIEURES DE L'AÉRONAUTIQUE ET DE L'ESPACE DE TECHNIQUES AVANCÉES, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS, DES MINES DE PARIS, DES MINES DE SAINT-ÉTIENNE, DES MINES DE NANCY, DES TÉLÉCOMMUNICATIONS DE BRETAGNE ÉCOLE POLYTECHNIQUE (FILIÈRE TSI)

CONCOURS D'ADMISSION 2002

PREMIÈRE ÉPREUVE DE PHYSIQUE

Filière PSI

• Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre.
• Tout résultat fourni dans l'énoncé peut être utilisé pour les questions ultérieures, même s'il n'a pas été démontré.
• Il ne faudra pas hésiter à formuler tout commentaire qui vous semblera pertinent, même lorsque l'énoncé ne le demande pas explicitement. Le barème tiendra compte de ces initiatives ainsi que des qualités de rédaction de la copie.

ASPECTS DES TRANSITIONS

I - Forces et limites de l'équation d'état de Van der Waals.

I-A L'équation de Van der Waals et les mesures au voisinage du point critique.

1 - Établir l'équation de Van der Waals pour moles de fluide en utilisant des considérations sur le caractère intensif ou extensif des variables. Dans la suite, on raisonnera sur une mole de fluide.
2 - La constante , nommée covolume, représente l'effet de la répulsion à courte distance entre deux molécules. Dans le cas de molécules de faible atomicité, donner un ordre de grandeur numérique raisonnable pour en vous appuyant sur un modèle simple.

3 - La figure ci-contre représente, en unités réduites, l'énergie d'interaction entre deux molécules, en fonction de la distance séparant leurs centres de masse. À grande distance, . Commenter cette figure ; sau-riez-vous nommer, voire décrire l’origine physique de l'interaction à grande distance ? à très courte distance ?
4 - Quel effet représente la constante ? Comment justifier le signe positif de ? Comment interpréter le fait que le terme correctif de la pression (la référence étant le gaz parfait) soit une fonction décroissante du volume ?
5 - 'isotherme critique est celle qui possède dans le diagramme un point critique, point d'inflexion de pente nulle. Déterminer en fonction des constantes et les coordonnées et du point critique C. Justifier le fait que Van der Waals ait pu prévoir les coordonnées du point critique de l'hélium ( ) en 1873 , bien avant que la technique ne permette d'atteindre de telles températures. Aurait-il été légitime d'exiger a priori la relation ?

6 - Commenter le diagramme cicontre, représentant trois isothermes du fluide décrit par l'équation [1] pour les températures et . La courbe en pointillés est le lieu des points où .
7 - Représenter dans un diagramme analogue l'allure des isothermes pour un fluide réel quand il ne se produit aucun retard au changement d'état. Faire figurer sur ce dernier diagramme la courbe de saturation.
8 - Quel est le facteur de compressibilité critique prévu par l'équation de Van der Waals ? On mesure en fait des coefficients compris entre 0,29 et 0,31 .
9 - Les variables réduites et permettent la représentation de tous les «fluides de Van der Waals» par une équation unique, qui s'écrit :

I-B Énergie interne, capacité calorifique molaire à volume constant et entropie d'un gaz de Van der Waals.

I-C Isothermes pour , états instables, états métastables et courbe spinodale.

On se propose d'établir le théorème de Maxwell qui permet de remplacer l'isotherme déduite de l'équation de Van der Waals par une isotherme présentant un palier de changement d'état. Il s'agit d'abord de trouver la pression à laquelle est observé le changement d'état à la température , avec . On discutera ensuite de la signification des portions de l'isotherme initiale qui ont disparu.
19 - En se référant au diagramme ci-dessous, donner sans démonstration la relation liant les potentiels chimiques molaires (notés ) des deux phases : liquide au point A et vapeur au point B. Établir la relation entre les aires hachurée de ce diagramme (ce résultat constitue le théorème de Maxwell). On pourra, par exemple, partir de l'expression de la différentielle du potentiel chimique molaire dans la représentation pour des grandeurs molaires : , ou encore exprimer directement

20 - On admet que les états décrits par l'équation de Van der Waals et correspondant à une valeur négative du coefficient de compressibilité isotherme sont des états thermodynamiquement instables. Où ces états sont-ils représentés sur l'isotherme dessinée plus haut?
21 - Quelle est l'équation de la courbe dite spinodale, située sous la courbe de saturation, qui sépare les états instables des autres états ?
22 - Pour l'eau .Pa.mol et . Jusqu'à quelle pression maximale, exprimée en atmosphères, peut-on espérer comprimer de l'eau vapeur à sans observer la formation de gouttes
liquides (on prendra ) ?
23 - Sous pression assez faible, loin des conditions de liquéfaction et dans un domaine limité de température, on peut donner à la relation d'une mole de gaz réel la forme, dite du Viriel :

Fin de cette partie

II - Étude de la transition ordre-désordre dans un alliage.

Cette partie de l'épreuve étudie quelques aspects thermodynamiques d'un phénomène décrit en 1934 par Bragg et Williams et observé en particulier sur le laiton, alliage de cuivre et de zinc.

• Le réseau cristallin com porte un nombre extrêmement élevé de sites (et que l’on pourra sans peine supposer pair). Ces sites sont répartis en deux types notés respectivement sites et sites . Les sites sont les sommets d'un réseau cubique simple. À basse température, ils sont occupés par les atomes de type A. Les sites de type , situés aux centres des cubes définis par les sites de type , forment eux aussi un réseau cubique simple. À basse température, ces sites sont occupés par les atomes de type B.
• On néglige toute interaction entre un atome donné et les atomes qui ne sont pas ses plus proches voisins. On néglige également tout effet de bord dans le cristal ( est très grand, de l'ordre de ).
• L'énergie d'interaction entre deux atomes voisins de natures distinctes est notée . Pour deux atomes de même nature, on la note ou . On néglige toute contribution à l'énergie liée au mouvement des particules.

• le nombre d'atomes A sur un site - le nombre d'atomes B sur un site , - le nombre d'atomes A sur un site le nombre d'atomes sur un site .
  - Exprimer les nombres et de liaisons et AB obtenues dans le cristal en fonction du paramètre d'ordre et de . Pour ce calcul, on remarquera qu'une liaison AA, par exemple, nécessite un atome A en site et un atome A dans l'un des 8 sites voisins. Vérifier la relation nombre total de liaisons dans le cristal.
  25 - On pose et . Montrer que l'énergie interne du cristal, notée , peut s'écrire

- En déduire l'expression de l'entropie statistique du cristal , où est la constante de Boltzmann. Simplifier cette expression en appliquant la formule de Stirling à toutes les factorielles ; formule de Stirling : .
29 - Admettant l'identité entre l'entropie statistique et l'entropie thermodynamique, établir l'équation vérifiée par le paramètre d'ordre à l'équilibre thermodynamique. Cet état rend minimale l'énergie libre . On introduira la température critique et la température réduite .

30 - Pour cette question et les suivantes, on pourra éventuellement utiliser la courbe ci-contre. Montrer que, au voisinage de la température criti-
que, . Sachant que pour , établir que pour l'équation en établie à la question 29 n'a comme solution que .
- Établir l'expression de à très basse température. Donner l'allure de .
- On suppose que le volume du cristal ne dépend pas de la température. Par définition de la chaleur spécifique à volume constant, (attention, est le paramètre d'ordre et non pas une pression !). Calculer ; exprimer le résultat en fonction de et .
- Calculer la variation d'entropie qui accompagne la transition de phase à . Cette transition de phase est-elle du premier ordre (associée à une chaleur latente non nulle) ou du deuxième ordre (associée à une chaleur latente nulle) ?

Fin de cette partie

FIN DE L'ÉPREUVE