Petites Mines Physique Chimie MPSI 2007

Les candidats doivent vérifier que le sujet comprend : 12 pages numérotées .
La dernière page est à découper et à rendre avec la copie, sans oublier d'y avoir indiqué le code candidat.

Les candidats sont invités à porter une attention particulière à la rédaction : les copies illisibles ou mal présentées seront pénalisées.

Les candidats colleront sur leur première feuille de composition l'étiquette à code à barres correspondant à l'épreuve commune de Physique-Chimie.

Toute application numérique ne comportant pas d'unité ne donnera pas lieu à attribution de points.
N.B. Les deux problèmes de physique sont indépendants. Les diverses parties peuvent être traitées dans l'ordre choisi par le candidat. Il prendra toutefois soin de bien numéroter les questions. Les questions de chimie sont aussi indépendantes.

A.1. On considère une lentille mince de centre O dans l'approximation de Gauss.
A.1.1. Préciser la signification des deux termes en gras.
A.1.2. Rappeler la formule de conjugaison de Descartes pour une lentille mince donnant la position de l'image en fonction de celle de l'objet .
A.1.3. Etablir l'expression du grandissement en fonction de et .
A.2. Un viseur à frontale fixe est constitué :

A.2.1. Un œil «normal» voit sans accommodation à l'infini. En déduire la distance pour que l'œil puisse voir le réticule sans accommoder.
A.2.2. Un œil myope est modélisable par une lentille ( ) convergente dont le centre optique O est placé à de la rétine, modélisé par un écran. Sa faculté d'accommodation lui permet d'adapter sa focale : il obtient une image nette lorsque l'objet est situé à une distance comprise entre (punctum proximum) et

(punctum remotum) de ( ).
A.2.2.1. Quelle doit être la valeur de la focale image de pour obtenir une image nette sur la rétine d'un objet situé à une distance (punctum proximum) devant l'œil?
A.2.2.2. Quelle doit être la valeur de la focale image de pour obtenir une image nette sur la rétine d'un objet situé à une distance (punctum remotum) devant l'œil?
A.2.2.3. Déterminer graphiquement, dans le cadre de l'approximation de Gauss, les positions des foyers image, et objet de la lentille sur la figure 1 donnée en annexe et à rendre avec la copie. (dernière page à découper)
A.2.3. On accole l'œil myope à l'oculaire. On admettra que l'œil accommode à son punctum remotum.
A.2.3.1. Où doit se trouver l'image définitive à la sortie du viseur?
A.2.3.2. En déduire la nouvelle distance entre le réticule et l'oculaire.
A.2.4. On cherche à voir simultanément l'objet visé et le réticule.
A.2.4.1. Où doit-on placer un objet pour pouvoir le voir à travers le viseur? On demande l'expression littérale de et l'application numérique.
A.2.4.2. Cette position dépend-elle de la nature de l'œil (« normal» ou myope) ?
A.2.4.3. Lorsque un œil «normal» n'accommode pas, faire la construction de la position de l'objet sur la figure 2 en annexe et à rendre avec la copie (dernière page à découper). Rajouter sur le même dessin le tracé d'au moins deux rayons à travers l'instrument.
A.2.4.4. Justifier le nom de «viseur à frontale fixe».
A.3. Le viseur est utilisé pour mesurer la distance focale d'une lentille L de focale inconnue.

Visée de l'objet

La 1 ère étape est la visée de l'objet, . On place ensuite la lentille inconnue après l'objet et on vise le centre O de la lentille. Pour cela, nous devons reculer le viseur de . Pour la visée de l'image à travers la lentille, nous avançons le viseur de .(voir figure cidessus)
A.3.1. Préciser les valeurs algébriques et .
A.3.2. En déduire la distance focale de la lentille.
A.3.3. Faire la construction de l'image à travers cette lentille inconnue L .

Nous considérons le circuit ci-dessous. Nous noterons , l'intensité dans le résistor de résistance , l'intensité dans le condensateur de capacité l'intensité dans le résistor de résistance et la tension aux bornes du condensateur. L'interrupteur est ouvert depuis très longtemps.

A l'instant , pris pour origine des temps, nous fermons l'interrupteur .
B.1.1. Préciser et à l'instant , juste avant la fermeture de l'interrupteur .
B.1.2. Préciser et à l'instant .
B.1.3. Même question quand tend vers l'infini.
B.1.4. Montrer en transformant le réseau que le circuit est équivalent à un simple circuit RC en charge dont on précisera les caractéristiques.
B.1.5. En déduire l'équation différentielle vérifiée par ainsi que la solution .
B.1.6. Tracer l'allure de .

L'interrupteur est fermé et nous remplaçons le générateur de f.e.m constante par une source idéale de tension de f.e.m. où représente la pulsation du générateur et , la tension efficace. On associe le complexe à la tension où . De même, .
B.2.1. Calculer la fonction de transfert, que l'on écrira sous la forme . Préciser le module et le déphasage .
B.2.2. Etablir l'expression littérale de la fréquence de coupure en fonction de et .
B.2.3. Nous traçons le diagramme de Bode en fonction de la fréquence en échelle semi-log.
B.2.3.1. On obtient le graphe ci-dessous. Déterminer graphiquement la valeur de en précisant la méthode utilisée.
B.2.3.2. En déduire la valeur de la capacité C si .

Nous voulons étudier le mouvement d'une planète , assimilée à un point matériel dans le champ de gravitation d'une étoile de masse de centre , considérée comme ponctuelle et fixe. La planète de masse est située à une distance de . Nous considérerons un référentiel lié à l'étoile comme un référentiel galiléen.
C.1. Exprimer la force exercée par l'étoile sur la planète en fonction des masses et , , la constante universelle de gravitation et le vecteur unitaire .
C.2. Justifier précisément que le mouvement est plan. Préciser ce plan. On notera la base de projection dans ce plan et , un vecteur unitaire suivant la direction du moment cinétique en . Rappeler l'expression de la vitesse en coordonnées polaires. Préciser l'expression de en fonction de .
C.3. On suppose dans cette question que la planète décrit un mouvement circulaire de rayon et de période . On notera , le module de la vitesse pour un mouvement circulaire.
C.3.1. Etablir l'expression de la vitesse de la planète, en fonction de et .
C.3.2. En déduire une relation entre et ( loi de Képler).
C.3.3. Exprimer alors la vitesse en fonction de et .
C.3.4. En déduire l'énergie cinétique et l'énergie mécanique en fonction de et .
C.4. On rappelle que l'équation polaire d'une ellipse est où est une distance appelée paramètre et , un coefficient positif sans dimension appelé l'excentricité compris entre 0 et 1 . On se propose d'étudier le mouvement de la planète à l'aide du vecteur excentricité, où est la vitesse de la planète, est un vecteur orthogonal au grand axe de l'ellipse.(voir figure ci-après). Aucune connaissance sur ce vecteur n'est nécessaire pour répondre aux questions suivantes.

C.4.1. Montrer que ce vecteur est constant. Il suffira de montrer que la dérivée de ce vecteur est nulle.
C.4.2. En faisant le produit scalaire et en s'aidant du dessin, montrer que et en déduire que le module de vaut l'excentricité de la trajectoire. Préciser en fonction de et .
C.4.3. Préciser la valeur de l'excentricité pour un mouvement circulaire.
C.4.4. Dans le cas d'un mouvement circulaire, préciser la valeur de en fonction de et . Retrouver à l'aide du vecteur excentricité, l'expression de la vitesse de la planète, en fonction de et .

Dans le cadre du développement durable, l'aluminium est le métal abondant et recyclable. Il s'obtient à partir de la Bauxite, composé d'oxyde d'aluminium hydraté ( 40 à ), mélangé à de la silice et à de l'oxyde de fer, donnant cette couleur rouge caractéristique.
Les données sont en page 10.

L'aluminium a pour numéro atomique .
D.1. Que signifie Z ? Quelle est la configuration électronique de l'aluminium dans l'état fondamental.
D.2. Quel est l'ion le plus probable ? Justifier.
D.3. On plonge un morceau de feuille d'aluminium préalablement chauffé dans un ballon contenant du dichlore, . Le métal s'enflamme et il se forme des fumées blanches de chlorure d'aluminium, .
D.3.1. Ecrire la réaction.
D.3.2. Quelle propriété de l'aluminium met-on en évidence ? Comment évolue-t-elle dans une ligne de la classification périodique?
D.4. Donner la structure de Lewis de .

E. 1 Le précipité d'hydroxyde d'aluminium, est un hydroxyde amphotère peu soluble qui se dissocie suivant les réactions :

E.1.1. Calculer littéralement et numériquement les constantes d'équilibre et de ces deux réactions en fonction des données.
E.1.2. Calculer le pH de début de précipitation, soit pour une concentration en élément aluminium en négligeant la présence des ions complexes . Vérifier ensuite cette hypothèse en évaluant leur concentration à .
E.1.3. Calculer le pH de fin de redissolution du précipité soit pour une concentration en élément aluminium en négligeant la présence des ions . Vérifier ensuite cette hypothèse en évaluant leur concentration à .
E.1.4. En déduire le diagramme d'existence de l'aluminium III en fonction du pH .

De même, l'hydroxyde de fer(III) est un sel peu soluble qui se dissocie selon

E.1.5 Calculer le pH de début de précipitation pour une concentration en élément fer .
E.1.6. En déduire le diagramme d'existence du fer III en fonction du pH .
E.1.7. Selon le procédé de BAYER mis au point en 1887, la bauxite, une fois broyée, est mélangée à de la soude à haute température et sous pression de 20 bar. La liqueur obtenue, l'aluminate de sodium, est débarrassée de ses impuretés, puis diluée et refroidie, ce qui provoque la précipitation d'oxyde d'aluminium hydraté, . Pour interpréter les phénomènes, nous rappelons que est équivalent à ou , que est équivalent à ou et est équivalent à (ou ). La silice ne réagit pas avec la soude.
E.1.7.1. Ecrire la réaction de la soude, NaOH sur l'alumine et qui donne l'aluminate de sodium, .
E.1.7.2. Justifier à l'aide des questions précédentes que l'on puisse séparer l'aluminium par cette méthode.
E.1.7.3. Justifier qualitativement que la dilution favorise la formation de l'hydroxyde.

E.2.1. Ecrire les demi-équations des couples et ainsi que les formules de Nernst correspondant aux couples précédents.
E.2.2. Nous cherchons à interpréter la réaction de l'aluminium en solution aqueuse : quelques grammes de poudre brute d'aluminium sont mélangés avec environ 20 mL d'hydroxyde de sodium NaOH concentrée ( ) dans un tube à essai. A ce pH , l'aluminium en solution est sous forme . Peu de temps après, une violente réaction produit un dégagement gazeux .
E.2.2.1 Quel est le gaz dégagé ?
E.2.2.2 Ecrire la réaction en milieu basique.
E.2.2.3 En déduire littéralement la constante d'équilibre de la réaction en fonction des et des constantes. Calculer numériquement .

La réaction de dissolution des sédiments traités avec des ions aluminium en présence de soude concentrée peut s'écrire :
sédiments solides secondaires où représente symboliquement les espèces dissoutes.
On écrira symboliquement la réaction précédente :

L'aluminium est sous différentes formes solubles en solution. Nous noterons symboliquement la concentration totale de l'aluminium en solution, la concentration initiale et k la constante de vitesse. Nous allons supposer que le modèle du ordre peut s'appliquer à l'évolution de la concentration en ions aluminium.
F.1. Etablir l'évolution de la concentration au cours du temps.
F.2. En déduire l'expression du temps de demi réaction, . Quel est le lien avec la concentration initiale?
F.3. Pour une concentration initiale , nous obtenons le tableau suivant :

F.3.1. Quel est le graphe le mieux adapté pour vérifier la cinétique ?
F.3.2. A l'aide d'une régression linéaire, déterminer .
F.3.3. En déduire la valeur du temps de réaction.
F.3.4. L'expérience a été répétée avec . Nous obtenons alors . L'hypothèse d'ordre 1 est-elle correcte?

Produit ionique de l'eau:

A et à , potentiels rédox standard de différents couples :

A rendre avec la copie