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X ENS Mathématiques A MP 2014

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Algèbre linéaireAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensAlgèbre généraleTopologie/EVN
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X-ENS
Année
2014
Filière
MP
Matière
Maths
X-ENS MPX-ENS 2014MP MathsMaths 2014
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COMPOSITION DE MATHÉMATIQUES - A - (XLCR)

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve.
Ce sujet porte sur l'étude des formes quadratiques sur un corps de caractéristique nulle et des groupes d'isométries associés.

Notations, Définitions

Dans tout ce problème, désignera un corps de caractéristique nulle, c'est-à-dire un corps tel que, pour tout entier , on a dans où 1 désigne l'unité de la loi multiplicative de , et .
Soit un -espace vectoriel de dimension finie. On rappelle les trois points suivants.
  • Une forme bilinéaire symétrique sur est une application telle que
pour tous et .
  • Une forme quadratique sur est une application telle que :
    i) pour tout et tout ;
    ii) l'application définie est bilinéaire symétrique.
  • Une forme quadratique est dite non dégénérée si, pour tout , il existe tel que .
On notera l'ensemble des formes quadratiques non dégénérées sur .
Soient et deux -espaces vectoriels de dimension finie.
  • Une isométrie entre deux formes quadratiques et est un isomorphisme linéaire tel que . On notera si et sont isométriques, c'est-à-dire s'il existe une isométrie entre et .
On notera le sous ensemble de des isométries entre et elle-même. On appelle le groupe orthogonal de .
Les deuxième et troisième parties du problème sont largement indépendantes.

Préliminaires sur les formes quadratiques et les isométries

Soit un -espace vectoriel de dimension finie . Soient . On note la forme quadratique définie sur par la formule
  1. Démontrer que est bien une forme quadratique sur .
  2. Démontrer que l'application est une bijection de l'ensemble des formes quadratiques sur sur les formes bilinéaires symétriques sur .
  3. Soit est une base de . On associe à toute forme bilinéaire symétrique sur une matrice symétrique appelée matrice de dans la base . On rappelle que est un isomorphisme entre l'espace vectoriel des formes bilinéaires symétriques sur et celui des matrices symétriques carrées de taille .
    (a) Démontrer qu'une forme quadratique sur est non dégénérée si et seulement si le déterminant est non nul.
    (b) Quelle est la matrice de dans la base canonique de ? En déduire que .
  4. Soit une forme quadratique non dégénérée sur .
    (a) Soit un -espace vectoriel de dimension finie et une forme quadratique sur . Démontrer que si et sont isométriques, alors est dans , c'est-à-dire non dégénérée.
    (b) Pour , on note . Montrer que est un sous-espace vectoriel de de dimension .
    (c) A quelle condition sur le sous-espace est-il un supplémentaire de la droite dans ?
  5. Soient et où est un -espace vectoriel de dimension finie. Démontrer que est un sous-groupe de et que si , alors et sont deux groupes isomorphes.

Première partie : Existence des bases orthogonales

Soit un -espace vectoriel de dimension finie non nulle et .
6. On dit que est isotrope s'il existe tel que . Dans le cas contraire, on dit que est anisotrope.
(a) Démontrer qu'il existe tel que .
(b) On note la forme quadratique sur définie par (on ne demande pas de vérifier que est une forme quadratique). Montrer que si est de dimension deux et est isotrope alors est isométrique à .
(c) Démontrer que si est isotrope, alors est surjective.
7. Une base de est dite orthogonale pour si pour tout .
(a) Montrer qu'il existe une base orthogonale pour .
Indication : on pourra considérer et utiliser les questions 4 c et 6 a .
(b) En déduire qu'il existe tels que .

Deuxième partie : Étude de quand

On suppose dans cette partie que .
8. Soit ( ). Démontrer qu'il existe un couple d'entiers ( ) ( ) tel que soit isométrique à définie sur la base canonique de par
Soit l'isomorphisme linéaire qui à tout endomorphisme associe sa matrice dans la base canonique de . On note le sous-ensemble de matrices associé au groupe orthogonal de .
9. Soit une application linéaire et sa matrice dans la base canonique de .
Démontrer que si et seulement si où est la matrice désigne la matrice identité de taille et la matrice nulle de taille pour tous entiers et .
Que peut-on dire du déterminant de si ?
10. Démontrer que est un sous-groupe fermé de (on munit , l'ensemble des matrices carrées de taille à coefficients dans , de sa topologie de -espace vectoriel de dimension finie).
11. On note le groupe orthogonal usuel de (qui s'identifie à ). On note .
Démontrer que est compact et en bijection avec .
12. Démontrer que est connexe par arcs.
13. Soit un hyperboloïde à deux nappes.
(a) Démontrer que si , alors .
(b) On note . Démontrer que est un sous-groupe fermé de .
14. Pour , on note le vecteur . On note également .
(a) Démontrer que, pour tout , l'application linéaire dont la matrice (dans la base canonique de ) vaut est dans (on pourra appeler par la suite une telle application linéaire une rotation hyperbolique).
(b) Soit . On suppose que . Montrer qu'il existe une rotation (au sens usuel) d'axe ( ) et tels que et vérifie .
(c) Démontrer que est connexe par arcs.
15. Déduire de la question 14 que est la réunion de quatre sous-ensembles fermés disjoints deux à deux et connexes par arcs.
16. Démontrer qu'il existe un morphisme surjectif de groupes dont le noyau est .

Troisième partie

On revient dans cette dernière partie au cas où est un corps quelconque de caractéristique nulle.
Si et sont deux -espaces vectoriels de dimension finie, et sont deux formes quadratiques non dégénérées, la somme orthogonale de et est la forme quadratique sur définie par
pour tout et tout .
17. Soient et trois -espaces vectoriels de dimension finie et .
(a) Montrer que puis que .
(b) Montrer que si alors .
(c) Démontrer que si et pour tout et tout , alors où est la restriction de à et celle de à .
18. Soient un -espace vectoriel de dimension finie, et deux vecteurs distincts de tels que .
On veut montrer dans cette question qu'il existe alors une isométrie telle que .
(a) Soit tel que . On note l'endomorphisme de défini par . Montrer que et appartiennent à .
(b) On suppose ici que . Montrer que l'application est une isométrie telle que .
(c) On suppose ici que . Montrer qu'il existe une isométrie telle que et conclure.
19. Soient trois -espaces vectoriels de dimension finie et pour vérifiant . Montrer que .
Indication : on pourra raisonner par récurrence et utiliser les questions 17 et 18.
20. Soit un -espace vectoriel de dimension finie et . Montrer qu'il existe un unique entier positif ou nul et une forme quadratique anisotrope , unique à isométrie près, tels que où est la somme orthogonale de copies de et est la forme quadratique introduite par la question 6 b .
Indication : on pourra utiliser la question 6 b et la question précédente.
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