J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

X ENS Mathématiques PC 2019

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Nombres complexes et trigonométries, calculs, outilsProbabilités finies, discrètes et dénombrementPolynômes et fractions
Logo x-ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2019
Filière
PC
Matière
Maths
X-ENS PCX-ENS 2019PC MathsMaths 2019
2025_08_29_5d6218210e9a52013e94g

CONCOURS D’ADMISSION 2019

JEUDI 18 AVRIL 2019-8h00-12h00 FILIERE PC - Epreuve

MATHEMATIQUES(XEULC)

Durée : 4 heures
L'utilisation des calculatrices n'est pas autorisée pour cette épreuve
Les quatre parties sont indépendantes entre elles.
Dans l'ensemble du sujet, pour répondre à une question, on pourra admettre les résultats des questions précédentes.

Notations

Dans l'ensemble du sujet et désignent des entiers strictement positifs. L'ensemble désigne le corps des nombres complexes. Le module d'un nombre complexe est noté et son conjugué est noté . On note le disque unité fermé, et .
On note l'ensemble des matrices à lignes et à colonnes à coefficients dans et l'ensemble des matrices à lignes et à colonnes à coefficients dans . On note la matrice identité de . La matrice transposée d'une matrice est notée . Si , on note la matrice .
On dit qu'une matrice est unitaire si
Les coefficients d'un vecteur sont notés . Un vecteur sera vu comme un élément de . Pour tous et , la matrice est identifiée au nombre complexe . Nous munissons de la norme définie par
Si , on note
Par convention, pour , on pose .
Dans tout le sujet, ( ) désigne un espace probabilisé sur lequel seront définies les différentes variables aléatoires du sujet. On admettra que toutes les variables aléatoires introduites peuvent bien être construites sur cet espace. On notera la probabilité d'un événement et l'espérance d'une variable aléatoire sur à valeurs réelles.

Préliminaires

Les résultats démontrés ici seront utiles dans la première partie.
  1. Lorsque , vérifier que .
  2. Soit une matrice unitaire. Montrer que pour tout .
  3. Si est une matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont , montrer que .
  4. Soient . On suppose qu'il existe une matrice unitaire telle que . Montrer que .

Première partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant.
Théorème 1. Soit un polynôme. Alors
Pour cela, on admet le résultat suivant, qui pourra être utilisé sans démonstration.
A) Si est une matrice unitaire, il existe une matrice diagonale , dont tous les coefficients diagonaux ont module 1 , et une matrice unitaire telles que .
Pour démontrer le Théorème 1, on fixe un polynôme de degré . On considère un nombre complexe et on définit les matrices et par
et
  1. Montrer que est une matrice unitaire.
  2. Montrer que pour tout entier .
  3. Montrer que .
  4. Démontrer le Théorème 1.

Deuxième partie

Le but de cette partie est de démontrer l'énoncé suivant (on pourra utiliser le Théorème 1).
Théorème 2. Soit un entier et un polynôme non nul tel que pour tout . Alors pour tout entier on a
Pour démontrer ce résultat, on fixe un entier et un polynôme tel que pour tout . On fixe également un entier .
9. Si vérifie , montrer que .
10. On suppose dans cette question que , et on pose, pour tout ,
a. Montrer qu'il existe tel que et .
b. Montrer que . .
11. Démontrer le Théorème 2.

Troisième partie

Le but de cette partie est de démontrer le résultat suivant :
Théorème 3. On fixe . Soit un entier et soit une somme de variables aléatoires à valeurs dans mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètre . Alors
Pour démontrer ce résultat, on fixe et une famille de variables aléatoires à valeurs dans mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètre . On pose alors .
12. Soit la fonction définie par pour tout .
a. Montrer que est bien définie et de classe sur . Pour , exprimer sous la forme , où et sont des réels positifs pouvant dépendre de .
b. Montrer que pour tout .
c. Montrer que
  1. On suppose dans cette question que .
    a. Justifier que
b. Soit une variable aléatoire de Bernoulli de paramètre . Pour , calculer .
c. Montrer que pour tout ,
Indication. On pourra admettre que si sont variables aléatoires réelles mutuellement indépendantes et prenant un nombre fini de valeurs, alors .
d. Montrer que .
14. Démontrer le Théorème 3.

Quatrième partie

Dans cette partie, on s'intéresse à la reconstruction d'une suite de 0 ou 1 à partir d'un échantillon d'observations bruitées (on pourra utiliser le Théorème 2 et le Théorème 3).
Plus précisément, étant donné un élément , appelé la source, et un paramètre fixé, on considère la variable aléatoire à valeurs dans construite comme suit :
  • soient des variables aléatoires à valeurs dans mutuellement indépendantes de Bernoulli de paramètre ;
  • on note la variable aléatoire définie par
et les éléments de l'ensemble aléatoire rangés dans l'ordre croissant;
  • on pose enfin
avec la convention si .
La variable aléatoire est appelée observation bruitée de source . Ainsi, est obtenue à partir de en gardant chaque coordonnée avec probabilité , indépendamment les unes des autres (complétée par des 0 pour obtenir un vecteur de longueur ). Par exemple, si et si (ce qui arrive avec probabilité ), alors .
15. Soit .
a. Montrer que .
b. Montrer que .
Indication. On pourra calculer .
16. Soit et considérons une observation bruitée
de source .
a. Si , montrer que et .
b. Montrer que, pour tout .
c. Montrer que pour tout ,
Dans la suite, on pose , où désigne la partie entière d'un nombre réel .
17. Soient tels que . Posons, pour .
a. Justifier l'existence de tel que .
b. Démontrer que
c. Justifier l'existence d'un entier tel que et
Dans la suite, on fixe une fois pour toutes un entier qu'il faut considérer comme étant très grand. Pour chaque couple tel que , on fixe un entier dont l'existence est prouvée dans la question 17c.
Soient et . Ainsi, pour et , on a . On dit que est meilleur que compte tenu de si
On pose alors si pour tout est meilleur que . Si l'on ne peut pas trouver de tel on pose .
18. Démontrer que si alors pour tout et toute suite
de variables aléatoires à valeurs dans mutuellement indépendantes de même loi que , on a
où est une suite tendant vers 0 lorsque tend vers l'infini.
Indication. On pourra commencer par écrire, en le justifiant, que
On a donc démontré qu'en partant de inconnu, on peut retrouver à partir de la donnée d'une suite
de variables aléatoires à valeurs dans mutuellement indépendantes de même loi que (qui représentent la donnée de échantillons bruités obtenus à partir d'une même source), avec grande probabilité à partir de échantillons différents.
X ENS Mathématiques PC 2019 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa