L'usage de calculatrices électroniques de poche à alimentation autonome, non imprimantes et sans document d'accompagnement, est autorisé pour toutes les épreuves d'admissibilité, sauf pour les épreuves de français et de langues. Cependant, une seule calculatrice à la fois est admise sur la table ou le poste de travail, et aucun échange n'est autorisé entre les candidats.

Soit l'ensemble des fonctions réelles définies sur possédant les propriétés suivantes:
i/ est paire,
ii/ est de classe par morceaux, bornée sur et le nombre de points de discontinuité de est fini. On note et ,
iii/ en tout point de , on a ,
iv/ est intégrable sur .
À toute fonction de , on associe la fonction réelle définie par l'intégrale :

Dans ce problème, nous étudions une méthode permettant de montrer, dans certains cas, que l'équation possède une infinité de racines réelles.

I.1/ Soit appartenant à . Montrer que définie par (1) est une fonction paire continue.
I.2/ Soit définie par .
I.2.a/ Calculer .
I.2.b/ La fonction possède-t-elle des zéros réels?
I.2.c/ La fonction est-elle dans E ?
I.3/ On désigne par (a réel non nul et réel strictement positif) la fonction de définie par

I.3.a/ Calculer .
I.3.b/ Tracer le graphe de .
I.3.c/ La fonction possède-t-elle des zéros réels?
I.3.d/ La fonction est-elle dans ?

Dans toute cette partie désigne une fonction quelconque de .
II.1/ Soient deux réels. Montrer que l'intégrale tend vers 0 lorsque l'entier tend vers l'infini.
II.2/ Soit .
II.2.a/ Montrer que cette intégrale est bien définie pour tout entier.
II.2.b/ Montrer que

II.2.c/ En déduire que la suite possède une limite strictement positive quand tend vers l'infini.
II.3/
II.3.a/ Calculer
(Indication : on introduira la fonction ).
II.3.b/ Soient et deux réels tels que . Déterminer en fonction de et .
II.3.c/ Calculer .
II.4/ Montrer que, pour tout réel ,

II.5/ En déduire que peut s'écrire .
II.6/ La fonction est-elle intégrable sur [ [ pour tout de et pour tout réel?

III.1/ Soit appartenant à . On suppose que possède un nombre fini de zéros réels.
III.1.a/ Montrer qu'il existe a réel non nul et réel strictement positif tels que soit strictement positive ou strictement négative sur , où est la fonction définie à la question I.3.
III.1.b/ Montrer qu'il existe une fonction de classe par morceaux, intégrable sur , de signe constant et ne s'annulant pas sur telle que

III. 2/ En déduire que si appartient à et a au moins un point de discontinuité, alors possède une infinité de zéros réels.
III.3/ Soit la fonction de définie par . Montrer que possède une infinité de zéros réels.
(Indication : on développera en série entière).