Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Soit

espace vectoriel normé, de dimension finie ou infinie, muni de la norme

. On appelle opérateur sur

tout endomorphisme

dans

tel que

On note

l'ensemble des opérateurs sur

.
L'objectif de ce problème est d'étudier différents exemples ou classes de tels opérateurs dans le cadre de la dimension infinie.

On appelle respectivement :
(i) spectre de

l'ensemble des réels

tel que

n'est pas bijectif. On note

l'ensemble de ces réels.
(ii) spectre ponctuel de

l'ensemble des réels

tel que

n'est pas injectif. On note

l'ensemble de ces réels.
Les quatre parties sont indépendantes.

PARTIE 1. Un premier exemple d'opérateur

Soit

l'ensemble des fonctions continues de

dans

muni de la norme

On note

l'application définie sur

telle que :

a) Montrer que

.
b) Calculer la valeur minimale possible pour la constante

dans la relation (1).
c) Déterminer

On se place à présent dans

muni de la norme

d) Reprendre la question a) avec cette nouvelle norme pour

.
e) Reprendre la question b) avec cette nouvelle norme pour

. Pour cela, on pourra considérer la famille

d'éléments de

telle que :
(i)

est affine par morceaux,
(ii)

PARTIE 2. Un premier exemple de calcul de spectres

Soit

, l'espace vectoriel des suites réelles de carré sommable :

muni de la norme :

On note

, respectivement

, l'application de décalage à gauche :

, respectivement à droite :

dans

.
a) Montrer que

appartiennent à

.
b) Calculer le spectre ponctuel de

On se place à présent dans l'espace des suites réelles bornées

muni de la norme

c) Reprendre la question a) pour les applications

dans ce nouvel espace

.
d) Reprendre la question b) pour les applications

dans

.
e) Calculer le spectre de

dans

PARTIE 3. Un second exemple de calcul de spectre ponctuel

On note

la fonction définie de

dans

par la relation suivante :

sinon.
On note

l'application définie sur

, muni de la norme

définie en partie 1, par la relation :

a) Montrer que

.
b) Soit

. En décomposant

en deux intégrales, montrer que

est une fonction

et exprimer

puis

.
c) Montrer que

est injectif.
d) Montrer que si

, alors

et vérifie l'équation

avec les conditions

.
e) En déduire

. Calculer les sous-espaces propres associés

à chaque élément

PARTIE 4. Une classe particulière d'opérateurs

On rappelle qu'un espace préhilbertien

est un espace vectoriel normé dont la norme dérive d'un produit scalaire noté

. On appelle base hilbertienne de

toute famille

telle que :
(i) la famille est orthonormale : pour tous

dans

et 0 sinon.
(ii) tout élément

peut s'écrire :

c'est à dire que

a) Montrer que si

est une base hilbertienne de

, alors

b) Montrer que

muni de la norme

définie dans la partie 2 est un espace préhilbertien pour le produit scalaire :

(on justifiera qu'il s'agit bien d'un produit scalaire) puis déterminer une base hilbertienne de

Dans toute la suite,

désigne l'espace préhilbertien

muni du produit scalaire précédent.
c) Soit

un opérateur sur

. On admettra l'existence d'un opérateur

tel que

Soient

deux bases hilbertiennes de

telles que

Montrer que

d) Soit

une base hilbertienne de

. Montrer que la quantité (éventuellement infinie)

ne dépend pas de la base

. On note

et on pose

e) Montrer que les opérateurs

définis dans la partie 2 ne sont pas dans

. Donner un exemple d'opérateur non nul dans

.
f) Montrer que

muni de

possède une structure d'espace vectoriel normé.
g) Soient

dans

une base hilbertienne de

. Montrer que la quantité

est finie, indépendante de la base

choisie et définit un produit scalaire sur

.
h) On considère

deux opérateurs dans

. Montrer que si

, alors il en est de même pour

.
i) Que se passe t-il pour

en supposant cette fois que