Session 2016

Si, au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il est amené à prendre.

Dans tout le texte désigne l'ensemble des matrices à lignes, colonnes et à coefficients réels; on notera la matrice identité de . Si , on notera la matrice transposée de . On identifiera les vecteurs de avec les éléments de . On utilisera la notation pour désigner la matrice diagonale de dont les coefficients diagonaux sont les . Une matrice est dite diagonale de signes si elle est de la forme

L'espace vectoriel est muni du produit scalaire,

et on note la norme d'un vecteur de . On rappelle qu'une matrice est dite orthogonale si ou de manière équivalente si pour tout , on a .

Une matrice est dite positive et on note si tous ses coefficients sont positifs :

On dira aussi qu'elle est strictement positive et on note , si tous ses coefficients le sont.

Dans le texte, on utilise les notations usuelles sur les matrices par blocs et les candidats sont invités à utiliser sans justification les calculs par blocs comme par exemple

où et .
L'objectif de ce problème est de démontrer le théorème de Broyden suivant et ses liens avec le lemme de Farkas et le théorème de Tucker.

Théorème de Broyden : Soit une matrice orthogonale de . Il existe alors dans et une unique matrice diagonale de signes , tels que

1-a) Montrer que

avec égalité si et seulement si .
1-b) Démontrer l'unicité de dans le théorème de Broyden.
1-c) Montrer que

avec égalité si et seulement si .
2) Soient une matrice orthogonale de et une matrice diagonale de signes. Montrer que l'égalité avec strictement positive, est équivalente à

Les parties et suivantes sont indépendantes entre elles.

Dans cette question, on suppose . On identifie les éléments aux vecteurs du plan euclidien relativement à un repère orthonormé ( ) : les matrices de seront ainsi identifiées aux applications linéaires de ce plan (conservant donc l'origine ).
3) Soit la matrice d'une réflexion relativement à une droite passant par et dirigée par un vecteur . Déterminer un vecteur strictement positif ainsi qu'une matrice diagonale de signes telle que .
Indication : on commencera par traiter le cas où .
4) Soit à présent la matrice d'une rotation de centre et d'angle non nul. À l'aide d'un dessin, trouver deux vecteurs et tels que

Discuter ensuite suivant le signe de , lequel de et est strictement positif.

Dans cette section, nous allons prouver que le théorème de Broyden est équivalent au théorème de Tucker suivant :
Théorème de Tucker : Soit une matrice antisymétrique (c'est à dire ). Il existe alors un vecteur tel que

On suppose dans un premier temps que le théorème de Tucker est vrai.
5) Avec les notations du théorème de Broyden, on note la matrice par blocs suivante:

En utilisant le théorème de Tucker, montrer qu'il existe des vecteurs positifs tels que

On suppose à présent que le théorème de Broyden est vrai.
8) Montrer que si est antisymétrique alors est une matrice inversible.
9) Montrer que pour antisymétrique, la matrice

est orthogonale.
10) Déduire du théorème de Broyden qu'il existe un vecteur strictement positif ainsi qu'une matrice diagonale de signes tels que et en déduire que est le vecteur positif du théorème de Tucker.

Nous allons prouver le théorème de Broyden par récurrence sur la dimension. Le cas de la dimension 1 étant trivial, nous supposons le résultat acquis jusqu'au rang et on écrit sous la forme d'une matrice par blocs

où et donc et .
11) Montrer que avec égalité si et seulement si .
12) Traiter le cas .

On suppose à présent que et on introduit les matrices

et en déduire que

En utilisant l'hypothèse de récurrence pour (resp. ), on note (resp. ) un vecteur de et (resp. ) la matrice diagonale de signes, tels que

Montrer, en utilisant la question 1-a), que dans le cas où alors un des couples ( ) et ( ) vérifie le théorème de Broyden.
18) On suppose à présent et on suppose . On note , et .

18-a) Montrer que .

18-b) On écrit à présent

où . Construire alors avec strictement positif et tel qu'il existe une matrice diagonale de signes vérifiant .
18-c) Dans le cas où , et en utilisant la question 1-c), montrer qu'il existe une matrice diagonale de signes telle que et conclure.

Le but de cette section est de prouver le lemme de Farkas suivant.
Lemme de Farkas : Soient et . Alors exactement une des deux propositions suivantes est vérifiée :
(I) il existe positif tel que ;
(II) il existe tel que et .

Pour et comme dans le lemme de Farkas, on pose

Soit, d'après le théorème de Tucker, tel que