J-0
00m
00j
00h
00min
00s

Version interactive avec LaTeX compilé

Télécharger PDF

X ENS Mathématiques PSI 2019

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNPolynômes et fractions
Logo x-ens
🔗 Explorer
Banque
X-ENS
Année
2019
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2019PSI MathsMaths 2019
2025_08_29_81c16d63fe899d1a4a0dg

Maths - X-ENS PSI 2019

Avertissement : Ce problème est très mal construit et très mal rédigé, pas toujours dans l'esprit du programme de spé mais pourrait faire un sujet intéressant avec un peu de travail pour reprendre l'énoncé.

Notations

Soit un entier. On munit l'espace du produit scalaire canonique
et de la norme associée .
On note l'espace vectoriel réel des matrices carrée d'ordre à coefficients réels, le sous-espace vectoriel réel des matrices symétriques et l'ensemble (des matrices symétriques définies positives) défini de la façon suivante :
Pour tout polynôme et toute matrice dans , on note la matrice
où est la matrice identité.
Pour toute matrice , on note sa transposée.
On rappelle le théorème spectral : toute matrice admet une base orthonormale de vecteurs propres. En particulier, si l'on note les valeurs propres de (distinctes deux à deux), et les sous-espaces propres associés, est somme directe orthogonales des , c'est-à-dire que tout s'écrit de façon unique
où est la projection orthogonale de sur .
Ce problème porte sur la résolution effective du problème , où , plus précisément sur la construction et l'étude, à partir d'un vecteur initial arbitraire, d'une suite de , qui s'identifie à la solution du système précédent au-delà d'un certain rang, et telle que se rapproche dans un certain sens de en deça de ce rang.

Problème

Partie I

  1. Soit . Montrer que si et seulement si les valeurs propres de sont toutes réelles strictement positives.
  2. Pour toute matrice , on pose .
Après avoir justifié l'existence de , montrer que est une norme sur vérifiant
  1. Soit une matrice de valeurs propres (non nécessairement distinctes) . Montrer que
  1. Soit . Pour tout , on pose .
    a) Montrer que l'application est une norme sur .
    b) Montrer qu'il existe des constantes et strictement positives, que l'on exprimera en fonction des valeurs propres de , telles que
  1. Soit et soit un polynôme. Montrer que et préciser les valeurs propres et vecteurs propres de en fonction de ceux de .
  2. Soit . On note les valeurs propres de (distinctes deux à deux) et et les sous-espaces propres associés. On considère l'application linéaire de dans :
où est la projection orthogonale (pour le produit scalaire canonique) sur . On note la matrice associée à cette application linéaire dans la base canonique.
a) On écrit , où est la matrice diagonale qui contient les valeurs propres de dans l'ordre croissant, avec leurs ordres de multiplicité, et une matrice orthogonale. On note la matrice diagonale dont les coefficients diagonaux sont les racines carrées de ceux de . Montrer que .
b) Montrer que , que , et que commute avec .
c) Montrer que, pour tout , où est la norme définie à la question 4 .

Partie II

Soit . On supposera dans toute la suite du problème que la matrice n'est pas proportionnelle à l'identité.
On se donne et l'on note l'unique vecteur qui vérifie . On se donne un vecteur , différent de , et l'on note . On pose et pour ,
où désigne le degré du polynôme .
7. Montrer que les forment une suite de sous-espaces vecgtoriels de , et montrer que pour tout .
a) Montrer qu'il existe nécessairement tel que . On note alors le plus petit entier tel que .
b) Montrer que pour tout , et que pour .
8. On note le nombre de valeurs propres distinctes de .
a) Dans le cas particulier où est un vecteur propre de , montrer que l'entier de la question précédente est égal à 1 .
b) Dans le cas général, montrer que est inférieur ou égal à .
c) Pour tout entier entre 1 et , construire un tel que l'entier de la question 7 soit égal à .
d) Montrer que l'ensemble des pour lesquels la dimension est exactement égale à est le complémentaire d'une union finie d'ensembles de la forme , où est un espace vectoriel de dimension inférieure ou égale à .
9. Montrer qu'il existe un polynôme de degré (entier défini dans la question 7 ) tel que , où .
10. Montrer que le polynôme de la question précédente vérifie .
11. On définit comme le sous-ensemble des points de de la forme où décrit l'espace vectoriel .
a) Montrer que .
b) Montrer que, pour tout , on a .

Partie III

On garde dans cette partie les notations de la partie II. On introduit l'application
  1. Pour tout , exprimer en fonction de et de et en déduire que est l'unique minimiseur de sur , c'est-à-dire que pour tout , et que est le seul point qui vérifie cette propriété.
  2. Montrer que admet un minimiseur unique sur le sous-ensemble (défini à la question 11), quelque soit .
  3. On note le minimiseur de la question précédente. Montrer que s'identifie à la projection sur pour la norme associée à la matrice (définie dans la question 4), c'est-à-dire que
On notera et . On remarquera que .
15. Montrer que pour , et que pour .
16. On rappelle que est la matrice identité d'ordre . Montrer que
  1. Montrer que
où est la norme matricielle définie dans la question 2 .
(On pourra utiliser les propriétés sur démontrées dans la question 6.)
18. On note (respectivement ) la plus petite (respectivement la plus grande) valeur propre de , et l'on définit
Montrer que
Les questions qui suivent (de 19 à 23) portent sur la construction explicite d'un polynôme permettant de préciser la majoration précédente.
Soit un entier positif ou nul.
On définit la fonction de l'intervalle dans lui-même par .
19. a) Développer l'expression , et en déduire la relation
b) En déduire que s'identifie sur à un polynôme , de degré , de même parité que .
20. On note arcosh la fonction réciproque du cosinus hyperbolique , définie de dans . Montrer que
21. On rappelle que , par hypothèse énoncée au début de la partie II, n'est pas proportionnelle à l'identité. On pose . Montrer que est bien défini, que le polynôme

est élément de (ensemble défini à la question 18), et que le maximum de sur est .
22. On pose et . Montrer que est une racine du polynôme

et en déduire l'expression de en fonction de la quantité .
23. On note . Montrer que le réel de la question précédente vaut et en déduire que

Partie IV

On garde les notations des parties précédentes. En particulier, on note toujours le minimiseur de sur (voir question 13).
24. Montrer qu'il existe une famille ( ) de vecteurs de telle que
(i) Pour tout , la famille est une base de .
(ii) La famille est orthogonale pour le produit scalaire associé à , c'est-à-dire que
  1. On suppose connue une famille de vecteurs vérifiant les propriétés de la question précédente. Montrer que est alors colinéaire à pour tout entier .
  2. On se donne . On considère les suites réelles finies et , ainsi que les suites finies et ( ) d'éléments de , construites selon les relations de récurrences suivantes, pour ,
avec et .
Montrer que les propriétés suivantes sont vérifiées :
(i) Pour tout , pour tout , on a
(ii) Pour tout s'identifie à , le minimiseur de sur défini dans la question 13.
(iii) Pour tout s'identifie à .
(iv) La famille ( ) est une base de , pour tout .
  1. On n'utilisera de cette notion hors programme que le fait que , et pour .
X ENS Mathématiques PSI 2019 - Version Web LaTeX | WikiPrépa | WikiPrépa