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X ENS Mathématiques PSI 2022

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Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensTopologie/EVNAlgèbre linéaireGéométrieFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
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X-ENS
Année
2022
Filière
PSI
Matière
Maths
X-ENS PSIX-ENS 2022PSI MathsMaths 2022
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Début de l'épreuve

Pour et et dans , nous noterons :
  • le produit scalaire usuel de et .
  • , la norme euclidienne usuelle de ,
  • le segment joignant à .
On rappelle qu'une partie de est convexe si pour tout , on a . Si et sont deux parties non vides de et , nous noterons
nous noterons la dimension de l'espace vectoriel engendré par où est un élément quelconque de (cette définition étant indépendante du choix de ). En particulier si et appartiennent à et , on a , et .
Pour , nous identifierons toujours à l'application linéaire dont est la matrice dans les bases canoniques de et et noterons donc
enfin désignera la transposée de .
Pour tout , nous noterons l'ensemble des éléments de dont les coordonnées sont dans et pour et dans , nous écrirons (ou ) quand .
On rappelle enfin que toute suite bornée d'éléments de possède une extraction qui converge.

Partie I : Projection et séparation

Projection

Soit une partie non vide, convexe et fermée de et , considérons :
  1. Montrer que (1) possède une unique solution (c'est à dire qu'il existe un unique tel que pour tout ) que nous appellerons projection de sur et noterons . Montrer que si et seulement si .
  2. Soit montrer que
  1. Montrer que pour tout , on a
et en déduire que est continue.
4) Déterminer explicitement dans les cas suivants :

Séparation

Soit et deux parties convexes non vides de telles que
ééé
  1. Montrer que est une partie convexe fermée de ne contenant pas 0 .
  2. Montrer qu'il existe et tels que
(on dit que et peuvent être séparés strictement).
7) Soit une partie convexe fermée non vide de et soit définie par :
montrer que
(de sorte que est une intersection de demi-espaces fermés).
8) Soit une partie convexe non vide de et , montrer qu'il existe tel que

Partie II : Points extrémaux

Soit une partie de , on appelle enveloppe convexe de et l'on note l'ensemble
Soit une partie convexe non vide de , nous dirons que est un point extrémal de si , on a
Nous noterons l'ensemble des points extrémaux de .

Cas particuliers

  1. Soit une partie convexe non vide de . Soit et tels que , montrer que:
  • a) ,
  • b) si alors pour tout tel que .
  1. Soit une partie de montrer que est le plus petit convexe contenant et que .
  2. Soit où est la partie de définie par
montrer que est non vide et n'est pas fermée.
12) Soit et tels que
soit non vide. Montrer que est convexe et fermée. Soit , soit montrer que
en déduire que est un ensemble fini (éventuellement vide) dont le cardinal est inférieur ou égal à .

Cas d'un convexe fermé borné

Dans les trois questions qui suivent, est une partie non vide, convexe, fermée et bornée de .
13) Soit , posons
Montrer que est non vide, convexe et fermée et que .
14) Montrer que est non vide (on pourra se ramener au cas où et raisonner sur la dimension de ).
15) Montrer que .

Partie III : Un résultat de dualité

Cônes convexes

On dit qu'une partie de est un cône si pour tout . Soit une partie non vide de , le cône polaire de est défini par
et son cône bi-polaire par
  1. Montrer que et sont des cônes convexes fermés et que .
  2. Montrer que si et seulement si est un cône convexe fermé.
  3. Soit éléments de et
montrer que est un cône convexe fermé. Soit , montrer que l'équivalence entre :
  • ,
  • pour tout tel que

Programmation linéaire

Soit et . Posons
et
(en adoptant la convention : et ).
19) Montrer que .
20) On suppose qu'il existe tel que
En notant le vecteur de dont les coordonnées sont les coefficients de la -ème ligne de , posons :
et
  • a) Montrer que pour tout tel que
  • b) Montrer qu'il existe tel que :
  • c) Montrer que .

Partie IV : Systèmes linéaires sous-déterminés

Pour tout , on pose
et
Soit et supposons que
Soit , l'objectif de cette partie est de trouver une solution du système linéaire
ayant au plus coordonnées non nulles par une méthode de minimisation. Pour ce faire, on s'intéresse à :
  1. Montrer que pour tout , on a
et
  1. Notons l'ensemble :
Montrer que est non vide, convexe, fermé et borné.
23) Fixons . Montrer qu'il existe tel que pour tout , on ait
  1. Soit l'ensemble des tels que
Montrer que est non vide et inclus dans .
25) Montrer que si alors
  1. En déduire que si alors le cardinal de est inférieur ou égal à .

Fin du sujet.

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