ÉCOLE POLYTECHNIQUE - ESPCI ÉCOLES NORMALES SUPÉRIEURES

MERCREDI 22 AVRIL 2020-08h00-12h00 FILIÈRE PC - Épreuve

PHYSIQUE B
(XEULC)

Ondes de gravité dans un fluide

1 Ondes de surface.

Figure 1 - Objet cylindrique ( ) flottant horizontalement à la surface de l'eau ( ) d'un canal (vues de face et de côté). Ces figures ne sont pas à l'échelle. En particulier, la largeur du canal n'est que très légèrement supérieure à (l'écart est exagéré sur le schéma afin de le rendre visible).

1. Nous souhaitons que le cylindre flotte, à l'équilibre, en étant à moitié immergé dans l'eau. Préciser la relation que doit alors vérifier . Calculer sa valeur numérique.

• Nous supposons que l'équilibre du flotteur a été légèrement perturbé (verticalement) et souhaitons exprimer la pulsation de ses oscillations libres. Nous négligerons ici toute cause de dissipation d'énergie mécanique et nous nous placerons dans le cas où le fond du canal n'influence pas le mouvement du flotteur.

2. Sur la base de considérations physiques et d'arguments dimensionnels, établir la dépendance de avec les différents paramètres du problème. On détaillera chaque étape du raisonnement.
3. Exprimer, au premier ordre relativement au rapport et en fonction de et , la variation algébrique de volume immergé du flotteur par rapport à la situation d'équilibre.
4. Établir l'équation différentielle vérifiée par la variable . On fera apparaître la pulsation dont on donnera l'expression en fonction de et .
5. Calculer la valeur numérique de la fréquence correspondant à .

• La figure (2) représente l'évolution temporelle de l'ordonnée du centre de masse G du flotteur, obtenue expérimentalement.

Figure 2 - Évolution temporelle expérimentale de l'ordonnée du centre de masse G du flotteur.

6. Déterminer, à partir de la figure (2), la pseudo-fréquence des oscillations du flotteur ainsi que l'amplitude initiale . Proposer une estimation (approximative) du facteur de qualité de cet oscillateur (en précisant la méthode adoptée).
7. Comparer à la pseudo-fréquence des oscillations du flotteur estimée à partir de la figure (2).

• Nous souhaitons maintenant identifier les effets responsables de l'amortissement des oscillations du flotteur. Nous commençons par l'effet de traînée.

8. Préciser, sur la base d'une argumentation, l'expression du nombre de Reynolds qu'il convient d'associer à l'écoulement de l'eau autour du flotteur en mouvement. En donner une estimation (nous adopterons, pour la viscosité cinématique de l'eau, la valeur ). Commenter ce résultat.
9. Donner l'expression de la force de traînée qui paraît alors la mieux adaptée à décrire l'action mécanique du fluide sur le flotteur en mouvement (toujours transversalement à son axe) à la vitesse . On raisonnera comme si le cylindre était totalement immergé dans un milieu infini et on s'inspirera du résultat connu relatif à un objet sphérique.
10. Exprimer, à partir de grandeurs caractéristiques que l'on précisera, le rapport caractéristique de la force de traînée à la force de rappel gravitationnel qui est intervenue en question (4) lors de l'établissement de l'équation différentielle.
11. Estimer numériquement le rapport . Conclure sur la participation de l'effet de traînée à l'amortissement des oscillations du flotteur.

• Nous recherchons maintenant la cause de l'amortissement des oscillations du flotteur dans les ondes de surface qu'elles générent. L'image inférieure de la figure (3) est une chronophotographie permettant de donner une représentation de l'évolution temporelle de la surface libre eau/air. Pour cela on réalise un film du canal à raison de 250 images par seconde, pendant 3 s. Pour chaque image (telle que celle du haut de la figure (3)), on stocke l'état de couleur de
  chacun des pixels correspondant à une ligne horizontale prédéterminée (en pratique, située très légèrement en dessous de l'interface libre eau/air au repos [ligne en trait pointillé sur la figure du haut]). Ces lignes de pixels sont ensuite représentées les unes en dessous des autres en respectant la chronologie de la prise d'images (figure du bas). Cette chronophotographie se rapporte à l'expérience relative à l'évolution représentée sur la figure (2).

Figure 3 - Chronophotographie illustrant l'évolution de l'interface eau/air (cadence de 250 images par seconde sur une durée de 3 s ). La ligne horizontale en trait pointillé tracée sur la photographie du haut représente la ligne des pixels suivis temporellement et qui est reportée chronologiquement, de haut en bas, pour former l'image du bas.

12. Proposer une interprétation des lignes obliques situées de part et d'autre de la frange sombre verticale et centrale (trace du flotteur).
13. Déterminer, à partir de cette chronophotographie, la fréquence des oscillations du flotteur. On précisera la démarche suivie.
14. De la même manière, déterminer la longueur d'onde des ondes de surface.
15. Estimer la célérité de ces ondes de surface.

• Nous admettons que la relation de dispersion liant la pulsation au nombre d'onde des ondes de surface se propageant dans un canal de profondeur est donnée par la relation :

16. Représenter l'allure graphique de la fonction . On précisera ses comportements limite et asymptotique.
17. Indiquer à quelle condition le milieu peut être considéré comme non dispersif.
18. Associer la célérité calculée à la question (15) à l'une des vitesses de groupe ou de phase.
19. Déduire de la relation (1), dans la limite , l'expression de la célérité des ondes de surface. Calculer sa valeur numérique. Vérifier la compatibilité de cette valeur avec celle de déterminée en réponse à la question (15).

• Nous décrivons l'évolution spatio-temporelle de la hauteur (algébrique) des vagues formant l'onde de surface par l'équation :

2 Ondes internes.

• Un cylindre homogène de centre de masse G , de diamètre , de longueur et de masse volumique (de valeur a priori différente de celle prise en partie (1)) trouve son équilibre, entre deux eaux, à une altitude . Nous notons l'ordonnée de son centre de masse G , la variable représentant l'écart à sa position d'équilibre. Nous supposons que son axe reste en permanence parallèle à l'axe ( ). Ce système est représenté sur la figure (4).

Figure 4 - Objet cylindrique ( ) immergé dans l'eau ( ). Ces figures ne sont pas à l'échelle. En particulier, la largeur du canal n'est que très légèrement supérieure à (l'écart est exagéré sur le schéma afin de le rendre visible).

26. Établir l'équation algébrique satisfaite par l'ordonnée ainsi que l'équation différentielle vérifiée par la variable . On fera apparaître la pulsation propre des oscillations du cylindre que l'on exprimera en fonction des grandeurs et . On considérera que l'action du fluide sur le cylindre est traduite simplement par la poussée d'Archimède.

• Nous étudions maintenant la propagation des ondes internes dans le milieu océanique stratifié. Nous imaginons que ces ondes sont excitées à la pulsation , par exemple par les oscillations verticales imposées à l'objet cylindrique immergé représenté figure (4). Dans la situation de référence, qui correspond à l'océan au repos, la vitesse du fluide est uniformément nulle et sa masse volumique varie selon la relation (4). L'excitation entraîne des variations de vitesse qui s'accompagnent de variations de la masse volumique et de la pression du fluide, par rapport à la situation de référence. Nous notons les champs correspondants de vitesse, de masse volumique et de pression, réponses à cette excitation, sous la forme :

• Nous admettons que les fonctions variations sont solutions du système d'équations différentielles linéaires (au premier ordre par rapport à chacune des fonctions ) :

30. Préciser ce que traduit chacune de ces équations.
31. Introduire, dans le système différentiel (7), les fonctions sous leur forme donnée par l'équation (6) afin d'établir un système linéaire d'équations algébriques vérifié par les amplitudes complexes de ces fonctions.
32. Déduire de ce système d'équations la relation de dispersion liant et . Vérifier qu'elle peut s'écrire sous la forme :

• La figure (5) représente une cartographie spatiale instantanée du champ , en régime établi. La valeur va croissant depuis la couleur bleue (négatif intense) vers la couleur rouge (positif intense) en passant par le niveau zéro en jaune-vert. Dans cette expérience, le milieu est linéairement stratifié et tel que la longueur introduite dans la présentation de la partie (2) est égale à 12 m . Ce milieu est excité harmoniquement à la pulsation par les oscillations verticales imposées à un cylindre d'axe perpendiculaire au plan de la figure. Ce cylindre est situé au centre de la figure.

39. Commenter cette cartographie. Le champ représenté peut-il être décrit par une unique onde plane (une argumentation est attendue)?
40. Estimer, à partir de la cartographie représentée figure (5), la valeur de la pulsation excitatrice .
41. Les ondes internes peuvent interagir avec le relief sous-marin et subir des réflexions. Représenter, sur un schéma (inspiré de la figure (6)), le vecteur d'onde et la vitesse de groupe (orientant l'équivalent du rayon lumineux) d'une onde, avant puis après sa réflexion sur une paroi verticale. Le vecteur d'onde incident est tel que . Nous admettrons que l'onde réfléchie vérifie la relation de dispersion de l'onde incidente.
42. Pour réaliser cette cartographie on place une grille derrière la cuve et on photographie son image vue depuis le devant de la cuve, cylindre et fluide étant au repos. On photographie ensuite à nouveau cette grille, à un instant donné, lorsque les oscillations sont établies. C'est à partir de la comparaison de ces deux photographies que l'on accède au gradient de masse volumique, via le gradient d'indice optique qu'il induit.

Figure 5 - Cartographie spatiale instantanée du champ d'un milieu verticalement et linéairement stratifié , excité par les oscillations verticales d'un cylindre (situé au centre de la figure). La valeur est codée par la couleur allant du bleu (négatif extrême) au rouge (positif extrême).

Figure 6 - Relief sous-marin formant une falaise verticale.

42. Le vecteur d'onde incident est toujours tel que mais le plan représentant la paroi sous-marine a maintenant pour équation cartésienne Cste. Représenter, sur un schéma inspiré de la figure (6) et adapté à cette nouvelle situation, deux rayons voisins parallèles incidents puis réfléchis (rappelons encore qu'un "rayon" est orienté par la vitesse de groupe). Analyser cette situation d'un point de vue énergétique.