Polytechnique Physique 1 PC 2006

CONCOURS D'ADMISSION 2006
filière PC

(Durée : 4 heures)
L'utilisation des calculatrices est autorisée pour cette épreuve.

L'objet de ce problème est d'étudier la propagation de signaux électriques dans diverses structures conductrices. Dans la première partie, on s'intéresse à la propagation dans un câble dit «coaxial». L'équation de propagation est établie ainsi que certaines caractéristiques des ondes se propageant dans le câble. Dans la seconde partie, la structure de propagation, ou « ligne», est une chaîne constituée de l'association en série de cellules . La propagation y présente un aspect dispersif qui est étudié. Dans la troisième partie, on montre comment l'introduction d'un élément non linéaire permet de contrebalancer l'effet dispersif de la ligne; des solutions «solitons » de l'équation de propagation sont mises en évidence.

étant un champ scalaire et un champ vectoriel :

Le câble, schématisé figure 1, est formé de deux cylindres métalliques, de sections circulaires, coaxiaux et de rayons respectifs et . Le premier cylindre 1 est plein, c'est l'âme du câble, et le deuxième 2 est creux, c'est la gaine. On supposera les cylindres de très grande conductivité; les charges et courants électriques qu'ils transportent seront, aux fréquences de travail, considérés comme surfaciques et le champ électromagnétique est nul dans le volume des
conducteurs. De plus il ne circule aucun courant sur la surface extérieure de la gaine. L'espace entre les deux cylindres est empli d'un milieu isolant homogène dont les caractéristiques sont supposées indépendantes de la fréquence; on admettra alors qu'il suffit de remplacer dans toutes les équations de Maxwell par où est la permittivité relative de l'isolant.

Données numériques du câble : .

Un point entre les cylindres sera repéré par ses coordonnées cylindriques ( ), étant l'axe des cylindres. On désigne par ( ) le repère orthonormé associé.

On cherche dans ces premières questions à identifier quelques quantités électriques caractéristiques du câble.

Capacité linéique. On suppose que l'âme porte la charge par unité de longueur.
I.1.1 En un point compris entre les conducteurs, établir l'expression du vecteur champ électrique en fonction de , de et ; on négligera tout effet de bord.
I.1.2 En déduire l'expression de la différence de potentiel entre les cylindres, , en fonction de et .
I.1.3 Exprimer la capacité linéique du câble en fonction de et .
I.1.4 Calculer la valeur numérique de et celle de pour . À quelle distance de l'axe le champ prend-il sa valeur maximale dans le milieu isolant? Calculer .

Inductance linéique. On suppose le conducteur central parcouru par un courant surfacique continu d'intensité .
I.1.5 Donner l'expression du vecteur champ magnétique en fonction de et de en un point compris entre les conducteurs; on négligera tout effet de bord.
I.1.6 On considère un tronçon de longueur unité limité par deux plans orthogonaux à l'axe. Le flux magnétique propre de ce tronçon est le flux de à travers un demi-plan Cste, limité par les extrémités du tronçon. Trouver l'expression de en fonction de et .
I.1.7 En déduire l'inductance linéique du câble en fonction de et .
I.1.8 Calculer la valeur numérique de . À quelle distance de l'axe le champ prend-il sa valeur maximale dans le milieu isolant? Calculer pour .
I.1.9 Si on suppose maintenant que l'intensité est répartie en volume dans le conducteur central, l'inductance par unité de longueur sera-t-elle modifiée?

On cherche à montrer qu'un champ électromagnétique à la fois transverse électrique et transverse magnétique (mode TEM) peut se propager entre les deux conducteurs. On considère une onde progressive ( ) de la forme :

avec des composantes nulles selon et .
I.2.1 Montrer que et . Quelle est la structure locale du champ EM?
I.2.2 En déduire la relation de dispersion qui relie et . Quelle est la vitesse de phase de cette onde; l'exprimer en fonction de et . Préciser le rapport entre la norme de et celle de .
I.2.3 Le champ EM doit satisfaire les conditions aux limites du système. Justifier que c'est le cas pour l'onde caractérisée par et .
I.2.4 Soit l'intensité du courant parcourant le conducteur interne. Montrer que est de la forme , et exprimer en fonction de et .
I.2.5 Quelle est l'intensité parcourant le conducteur externe?

Pour fixé et à un instant donné, on définit localement la différence de potentiel entre le conducteur interne 1 et l'externe 2 par , la circulation du champ électrique étant prise sur une courbe plane du plan fixé reliant les deux conducteurs.
I.3.1 Montrer que, pour l'onde TEM analysée en I.2, est indépendant de la courbe plane choisie pour relier dans ce plan les conducteurs et montrer que s'exprime sous la forme : .

Peut-on définir, pour cette onde, un potentiel scalaire tel que en soit partout, au signe près, le gradient? Expliciter les raisons de votre réponse.
I.3.2 Déterminer le rapport . Quelle est la propriété remarquable de cette impédance appelée «impédance caractéristique » ?
I.3.3 Montrer que .
I.3.4 On considère maintenant une onde TEM du même type mais se propageant en sens inverse. Quelles sont alors les dépendances spatiotemporelles de et pour cette onde? En déduire l'expression de en fonction de .
I.3.5 Calculer numériquement et la vitesse de propagation à partir des données.

Un signal de tension se propage dans le sens des croissants. Il atteint l'extrémité du câble en . À cette extrémité les deux conducteurs cylindriques sont reliés par une impédance .
I.4.1 Quelle condition doivent vérifier tension et courant en ? En déduire l'existence d'un signal réfléchi et expliciter la relation entre et .
I.4.2 Exprimer le coefficient de réflexion en tension en fonction de et . Quelle est sa valeur pour (circuit ouvert) ? même question pour (court-circuit) ?

Les résultats obtenus en I. 3 se généralisent à toute onde TEM progressive correspondant au signal et d'intensité associée.
I.4.3 Quelle caractéristique de la propagation dans ce câble justifie cette généralisation? Préciser l'hypothèse de travail essentielle à cette propriété.
I.4.4 Le signal incident est un signal rectangulaire de durée courte par rapport au temps de propagation dans le câble. Donner sans calcul l'allure du signal réfléchi dans le cas d'une extrémité ouverte, puis dans le cas d'une extrémité en court-circuit.
I.4.5 L'extrémité du câble est maintenant fermée sur une résistance . Pour quelle valeur de n'y a-t-il aucun signal réfléchi?
I.4.6 Expliquer avec la valeur numérique obtenue à la question 1.3.5 l'intérêt d'avoir un générateur de signaux dont l'impédance de sortie est de .

On considère une « ligne électrique » composée d'une suite de « cellules » identiques. Le schéma de la ligne est donné dans la figure 2. Dans la cellule , on note la tension aux bornes de la capacité la charge de celle-ci et le courant traversant l'inductance L . L'étude est menée dans le cadre de l'électrocinétique.

II.1.1 Exprimer la dérivée par rapport au temps de uniquement en fonction des courants et celle de en fonction des tensions.
II.1.2 En déduire que où est une constante que l'on exprimera en fonction de et .

Calculer et l'exprimer en fonction de et . Interpréter la relation obtenue en précisant le rôle de chaque terme.

On cherche une solution sinusoïdale de l'équation obtenue en II.1.2 (en notation complexe ) telle que l'effet de chaque cellule soit un déphasage fixé retard si .
II.3.1 Exprimer en fonction de et .
II.3.2 Trouver la relation de «dispersion» entre et .
II.3.3 Montrer que ces solutions n'existent que si est inférieur à une certaine fréquence que l'on exprimera. Quel est alors le domaine utile de variation de ?
II.3.4 Si cette condition est vérifiée, pourquoi peut-on parler de propagation de la phase? Préciser la «vitesse» de propagation correspondante, la vitesse étant définie ici comme le nombre de cellules parcourues par unité de temps?
II.3.5 On suppose maintenant . En explicitant en fonction de , exprimer . Que constate-t-on? En déduire que l'effet d'une cellule sur un signal électrique, composé de fréquences suffisamment basses, se traduit par un retard temporel que l'on exprimera en fonction de , justifiant ainsi le nom de «ligne à retard» donné à ce système.
II.3.6 Application numérique. . Calculer et . Combien de cellules faut-il mettre en série pour obtenir un retard total de ? Quelle serait la longueur d'un câble coaxial comme celui étudié en I qui produirait le même retard?
II.4. Effets dispersifs

On se place dans le cas où et .
II.4.1 Rappeler la définition et l'interprétation de la vitesse de groupe . En donner l'ex-
pression en fonction de et ; donner l'allure de son graphe en fonction de . Que constate-t-on pour ?
II.4.2 En notation complexe, l'intensité est de la forme . Exprimer en fonction de et . Calculer la moyenne temporelle de l'énergie de la cellule (n): ainsi que celle de la puissance reçue de la cellule . En déduire le rapport . Que retrouve-t-on?
II.4.3 Expliquer qualitativement comment va évoluer un signal non monochromatique se propageant le long de cette ligne. Comment appelle-t-on ce phénomène?

II.5.1 Pour un signal sinusoïdal avec , expliciter le rapport de la tension et du courant de sortie de la cellule ( ), appelé « impédance caractéristique».
II.5.2 Montrer que la partie réactive de cette impédance est celle d'une inductance que l'on précisera.
II.5.3 En exprimer la partie résistive en fonction de et , puis de et . En étudier la valeur pour et pour . Commenter ces résultats.
II.5.4 Pour une ligne de longueur finie, et pour des signaux correspondant à , sur quelle impédance faut-il fermer la ligne pour ne pas avoir de signal réfléchi? En utilisant les valeurs numériques de II.3.6, calculer et la valeur de correspondante.

Dans cette partie, on cherche à compenser les effets dispersifs vus précédemment. Pour cela, on remplace le condensateur présent dans chaque cellule de la partie II, par un dipôle non linéaire, représenté figure 3.a et comportant une diode D. Cette diode est polarisée en inverse par la tension continue . Pour la propagation dans la ligne, la diode D se comporte alors comme un condensateur de capacité variable dépendant de la tension à ses bornes, et donc de la polarisation choisie et du signal propagé.

III.1.1. Expliquer qualitativement comment on peut choisir les valeurs de la résistance de polarisation et de la capacité linéaire pour que l'ensemble soit équivalent en régime variable à une capacité variable soumise à la tension . On supposera cette modélisation valable par la suite (figure 3.b).
III.1.2. On place, en parallèle avec l'élément non linéaire de la figure 3.b, une capacité linéaire . Il est possible de choisir judicieusement la valeur de pour que l'on ait approximativement sur le domaine .

En déduire que la charge portée par la capacité variable soumise à la tension est de la forme : Cste où et sont des constantes que l'on exprimera en fonction de et .

III.2.1 Reprendre l'étude faite au II.1. et montrer que, désormais :

III.2.2 Montrer que est solution de l'équation précédente avec et où est un paramètre sans dimension. On pourra exprimer le second membre de l'équation de III.2.1 en utilisant la relation suivante, valable pour tout :

III.2.3 Tracer l'allure de cette solution à fixé en fonction de . Exprimer sa vitesse de propagation (nombre de cellules par unité de temps) à l'aide de et . Quelle est son amplitude maximale ? Son étalement (ordre de grandeur de sa largeur) ? Montrer qu'une telle onde n'existe que si est supérieur à une valeur critique que l'on précisera.
III.2.4 Application numérique. On prend et . Calculer . Expérimentalement on a observé sur une telle ligne cellules . Évaluer l'amplitude de et estimer la durée de passage du soliton dans la cellule .
III.2.5 En supposant que chaque soliton représente un bit d'information, quel débit obtienton avec cette ligne?