Bravo ! Tu as juste oublié de mettre le p! (dénominateur de 4) expression de u_2p) au carré, même si je sais que c’est un oublie LaTeX 
@Errys : Bien mais il y a quelques petits problèmes ^^’
Pour montrer que </s>(u_n)<e> est majorée par une suite géométrique de raison </s>\frac{1}{2}<e>, ton hérédité commence un cran trop tard (comme si tu montrais P(0) et P(n) => P(n+1) pour n>0 ; on ne peut rien en déduire)
En déduire le domaine de définition de </s>f<e> : en fait dans l’énoncé le domaine concerné était inclus dans R+ (en réalité c’est bien R mais c’est un peu plus délicat à prouver, l’argument que tu donnes pour les négatifs me semble d’ailleurs incorrect), d’où l’intérêt de définir g à la fin.
Et justement la fin mérite une étude un peu plus précise du recollement (pourquoi g est-elle dérivable en 0 ?)
J’espère qu’on me pardonnera une remarque hp :
Le résultat de l’exo tient en fait en une formule célèbre, souvent prise comme déf de l’exponentielle : [ctex]e^x = \sum_{n=0}^{+\infty} \frac{x^n}{n!}[/ctex] valable sur tout </s>\mathbb{C}<e>. Il est intéressant de l’évaluer en 1 mais aussi d’en prendre les parties réelle et imaginaire…
Merci pour les remarques.
J’avais pas pensé au fait que si </s>2x<e> n’est pas entier alors l’entier supérieur ou égal à 2x sera différent de celui inférieur ou égal ^^ Normalement c’est corrigé, la preuve ne change pas.
C’est vrai que c’est pas aussi simple pour </s> x < 0<e>, je suis allé trop vite 
Je vais essayer de démontrer aussi pour </s> x<0<e>, ca peut faire un bon exercice !
Ducoup, j’ai entièrement rédigé les deux dernières questions (j’ai édité mon poste).
Dernière erreur : à un moment tu confonds (u_n) et (v_n) : f est donnée par la limite de v_n donc il te manque une étape
Arg en effet, il faut que je somme les inégalités et que j’ajoute les termes manquants… Je vais faire ca, merci.
En théorie c’est corrigé, mais je suis trop fatigué pour l’assurer avec certitude, je vais bien me relire demain.
Merci encore pour l’exo et pour les remarques.
Bonne soirée !
C’est bon (en fait ton K fait mieux que tendre vers 0, il est nul ^^)
Cool merci.
En effet les termes s’annulent ^^
Exercice 22 :
Calculer pour tout entier naturel non nul la somme suivante :
[ctex] S_n = \sum_{k=1}^n \sqrt{1 + \dfrac{1}{k^2} + \dfrac{1}{(k+1)^2}}[/ctex]
Solution de l’exo 22 :
Soit </s>S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{1+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}}<e>
En mettant au même dénominateur et en développant on trouve : </s>S_n = \sum_{k=1}^{n} \sqrt{\frac{k^4+2k^3+3k^2+2k+1}{k^2(k+1)^2}}<e>
Puisque </s>(a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac<e>, on a </s>k^4+2k^3+3k^2+2k+1 = (k^2 +k+1)^2<e> et la somme devient </s>S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{k^2+k+1}{k(k+1)}<e> qu’on peut réécrire </s>S_n = \sum_{k=1}^{n} (1+\frac{1}{k(k+1)})= \sum_{k=1}^{n} 1 + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k(k+1)} <e>
De plus, par décomposition en éléments simples, il vient : </s>\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}<e>
Donc </s>S_n = n + \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1}<e>
Enfin par téléscopage on a </s>\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k} -\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{k+1} = 1 - \frac{1}{n+1}<e>
Finalement </s>S_n = n + 1 - \frac{1}{n+1}<e>
Bravo !
Exercice 23 : Montrer que les fonctions périodiques non-constantes n’admettent pas de limite en </s>+\infty<e>
Ma solution exercice 23 :
Soit </s> f<e> une fonction T-périodique non constante de </s>\mathbb{R}<e> dans </s>\mathbb{R}<e>.
On suppose par l’absurde que </s>f<e> admet une limite en </s>+\infty<e>
Si cette limite est </s>+\infty<e> alors on a une contradiction car pour tout </s>x<e> entier, </s>f(x\times T) = f(0)<e> alors que </s>\lim\limits_{x\to +\infty} f(x\times T) = +\infty<e>. Donc </s>f<e> ne peut pas avoir </s>+\infty<e> comme limite.
Par un raisonnement identique, on élimine le cas où la limite est </s>-\infty<e> donc </s>\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)=l\in\mathbb{R}<e>.
Comme </s>f<e> n’est pas constante, il existe </s>(a,b)\in\mathbb{R}^2<e> tel que </s>f(a) \neq f(b)<e>.
Or, pour x entier, </s>\lim\limits_{x\to+\infty} f(a+x\times T) = \lim\limits_{x\to +\infty} f(b+x\times T) = l<e> soit </s>f(a) = f(b)<e> ce qui est absurde.
Donc </s>f<e> n’admet pas de limite en </s>+\infty<e>.
Pourquoi est-ce que pour tout x réel, </s>f(x\times T) = f(0)<e> ?
En remplaçant x réel par n entier (par exemple) cela sera déjà mieux 
Ensuite il restera qu’à priori l’existence de </s>lim_{n \rightarrow+\infty} f(a+nT)<e> n’a rien a voir avec celle de </s>lim_{t \rightarrow +\infty} f(t)<e> * mais avec un peu de quantificateurs (Pour tout x > un certain M « assez grand » f(x) est « assez près » de l etc. ) on s’en sort.
Même si la quantification de la limite est sans doute un peu hors du programme de TS.
*En fait si, la non existence de la première implique que la seconde n’existe pas non plus, mais la caractérisation séquentielle de la limite est encore plus HP
J'ai beaucoup séché sur ce problème, sans trouver de solution et j'ai donc décidé de lire votre solution, que je comprends à peine (ce qui m'éffraie!) alors que je rentre en MPSI.
En fait, je ne trouve pas naturelle la factorisation que vous avez faite du numérateur. Comment l'avez-vous vue?
Une autre chose : je ne comprends pas les mots de téléscopage ni de décomposition en éléments simples : pouvez vous m'éxpliquer?
Je vous répondre par message privé si cela ne vous dérange pas ^^
Aucun souci 
Je voulais dire x entier.
Ton prof fera ça très bien l’an prochain !