Cela m’a paru rapide à faire donc j’essaye ^^
</s>(z-i)^4 + p^2[(z-i)(z+i)]^2 = 0<e>
</s>(z-i)^4 + p^2(z-i)^2(z+i)^2 = 0<e>
</s>1 + p^2[(z+i)/(z-i)]^2 = 0<e>
</s>[(z+i)/(z-i)]^2 = (i/p)^2<e>
</s>(z+i)/(z-i) = i/p<e> (je ne sais pas si j’ai le droit d’enlever les carrés comme ça)
</s>pz + pi = zi + 1<e>
</s>z(p-i) = 1 - pi<e>
</s>z = (1-pi)/(p-i)<e>
1sala23 :
C’est ça ! Tu peux simplifier beaucoup en utilisant un télescopage (je sais pas si tu as fait le chapitre des sommes sur le PDF de llg) puis avec des manipulations qui sont au programme 
;
@Ali-H
Mets tes solutions (même incomplètes) en balise SPOILER pour éviter de spoiler les autres.
Par ailleurs, il faut trouver toutes les solutions
@Ali-H
Ta simplification de la 2ème à la 3ème ligne est un peu délicate.
Il n’y a pas qu’une seule solution 
Il suffit de prendre z = i pour s’en convaincre
Je viens de mettre en spoiler mais ça ne s’affiche plus 
Oui, si tu cites un messages, les spoilers ne fonctionnent pas bien.
Je pense avoir trouvé, j’essaie d’écrire ça correctement
Je viens de check, dès que je peux je me pencherai dessus (donc ce soir ou demain matin très probablement )
Exercice 6
</s>(z-i)^4 + p^2(z^2+1)^2 = 0<e>
</s>(z-i)^4 + p^2[(z-i)(z+i)]^2 = 0<e>
</s>(z-i)^4 + p^2(z-i)^2(z+i)^2 = 0<e>
</s>(z-i)^2 + p^2(z+i)^2 = 0<e>
Posons </s>Z = z - i<e>
</s>Z^2 + p^2(Z + 2i)^2 = 0<e>
</s>Z^2 + p^2Z^2 + 4p^2iZ - 4p^2 = 0<e>
</s>Z^2(p^2 + 1) + 4p^2iZ - 4p^2 = 0<e>
</s>Delta = 16p^2<e>
Delta > 0 donc deux solutions Z1 et Z2
</s>Z1 = (-4p^2i - 4p)/(2p^2 + 2) = (-2p^2i - 2p)/(p^2 + 1)<e>
</s>Z2 = (-4p^2i + 4p)/(2p^2 + 2) = (-2p^2i + 2p)/(p^2 + 1) <e>
Donc les deux solutions de l’équation sont
</s>z1 = (-2p^2i - 2p)/(p^2 + 1) + i <e>
</s>z1 = (-p^2i - 2p + i)/(p^2 + 1) <e>
et
</s>z2 = (-2p^2i + 2p)/(p^2 + 1) + i <e>
</s>z2 = (-p^2i + 2p + i)/(p^2 + 1) <e>
- Que se passe t-il entre les lignes 3 et 4 ?
- il y a moyen d’obtenir les solutions sous des formes plus simples, tout en se faisant moins mal
@Ali-H
Il manque une solution ^^
J’aurais fait quelque chose comme ça :
Soit </s>p<e> dans </s>\mathbb R<e>.
</s>(z-i)^4 + p^2(z^2 + 1)^2 = 0 \Leftrightarrow (z-i)^4 + (p(z + i))^2(z-i)^2 = 0<e>
</s> \Leftrightarrow (z-i)^2((z-i)^2 - (ip(z+i))^2) = 0<e>
</s> \Leftrightarrow (z-i)^2(z-i-ipz+p)(z-i+ipz-p) = 0<e>
</s> \Leftrightarrow (z-i)^2(z(1-ip)-i+p)(z(1+ip)-i-p) = 0<e>
</s> \Leftrightarrow z = i<e> ou </s> z = \displaystyle\frac{i-p}{1-ip} <e> ou </s> z = \displaystyle\frac{i+p}{1+ip}<e>
</s> \Leftrightarrow z = i<e> ou </s> z = -\displaystyle\frac{2p}{1+p^2} + i \displaystyle\frac{1-p^2}{1+p^2} <e> ou </s> z = \displaystyle\frac{2p}{1+p^2} + i \displaystyle\frac{1-p^2}{1+p^2}<e>
Petit exercice court :
Exercice 8
Soit </s>f<e> une fonction définie et continue sur </s>\mathbb R<e>.
Pour </s>a<e> dans </s>\mathbb R<e>, on considère la fonction </s>g<e> définie sur </s>\mathbb R \setminus \big\{0\big\} <e> par </s>g(x) = \displaystyle\frac{1}{x} \displaystyle\int_a^{a+x} f(t)dt<e>
Déterminer </s> \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} g(x)<e>.
Solution 8
[spoiler]
</s>f<e> étant continue et définie sur </s>\mathbb R<e>, elle admet une primitive qu’on notera </s>F<e>.
Ainsi, on a sur </s>\mathbb R \setminus \big\{0\big\}<e>, </s>g(x) = \displaystyle\frac{F(a+x) - F(a)}{x}<e>
Alors, par définition de la dérivée en utilisant le taux d’accroissement, on a </s> \displaystyle\lim_{x \rightarrow 0} g(x) = f(a)<e>
[/spoiler]
Un petit exercice d’arithmétique pour les spé maths
Exercice 9
Soient </s>m<e> et </s>n<e> des nombres naturels non nuls tels que </s>mn+1<e> est divisible par 24. Montrer que </s>m+n<e> est divisible par 24 également.
Solution exercice 9 :
On a </s>mn\equiv -1\pmod{24}<e>. Donc </s>m(-n)\equiv 1\pmod{24}<e>.
Ainsi, il existe un entier k tel que </s>m(-n) - 24k = 1<e> donc m et 24 sont premier entre eux. Cela implique que 3 et 2 ne divisent pas m.
De plus, </s>m+n\equiv m(-n)\times m + n\pmod{24}<e> d’où :
[ctex]m+n\equiv -n(m^2-1)\equiv -n(m-1)(m+1)\pmod{24}[/ctex]
3 ne divise pas m donc </s>3|m+1<e> ou </s>3|m-1<e>. Donc </s>3|-n(m-1)(m+1)<e>. De plus, m-1 et m+1 sont deux entiers pairs consécutifs donc un est divisible par 4 et l’autre par 2. D’où 8|-n(m-1)(m+1).
Ainsi, comme 3 et 8 divisent -n(m+1)(m-1), 24 divise aussi -n(m+1)(m-1) et donc 24|m+n.
'
@Ali-H
On sait que </s>m<e> est impair donc </s>m-1<e> et </s>m+1<e> sont des entiers pairs consécutifs.
Donc un des deux est divisible par 4 et l’autre par 2, donc le produit </s>(m-1)(m+1)<e> est divisible par 8
J’ai oublié de préciser que m est impair ^^
Sinon, si 2|a et 4| b alors 24|ab, parce que a =2k et b=4j donc ab = 8*kj.
Qu’est-ce qui te bloque sur les autres solutions ? Normalement il n’y a pas de HP.
Solution exo 9
[spoiler]Soient </s>m<e> et </s>n<e> deux entiers naturels non nuls et </s>a<e> dans </s>\mathbb Z^{*}<e> tel que </s>m+n\equiv a [24]<e>. On a donc :
</s>n(m+n) \equiv an [24] \Rightarrow mn + 1 \equiv -n^{2} + an +1 [24]<e>
En posant </s>b =-n^{2} + an +1 <e>, </s>mn + 1 \equiv b [24]<e> </s> \;\;(1)<e>
- Démontrons que pour tout
</s>q<e> dans</s>\mathbb Z^{*}<e>,</s>\sqrt{q^2 + 4} <e> n’est pas un entier.
Raisonnons par l’absurde et supposons que pour</s>q<e> dans</s>\mathbb R^{*}<e>,</s>\sqrt{q^2 + 4} = k<e> où</s>k<e> est un entier naturel non nul. On obtient ainsi :
</s>q^2 + 4 = k^2 \Leftrightarrow (q+k)(q-k) = -4 <e>
Or</s>k<e> est strictement positif d’oùa fortiori :
</s>\displaystyle\begin{cases}q-k=-2\\q+k=2\end{cases} \Leftrightarrow \displaystyle\begin{cases}q = 0\\k=2\end{cases} <e>. Contradiction car</s>q ≠ 0<e>
Il en résulte que pour tout</s>a<e> dans</s>\mathbb Z^{*}<e>,</s>\sqrt{a^2 + 4} <e> n’est pas un entier.
- On considère le polynôme
</s>P<e> défini sur</s>\mathbb R^{*}_{+}<e> par</s>P : x \in \mathbb R^{*}_{+} \mapsto -x^2 + ax + 1<e>
Son discriminant</s>\Delta = a^2 + 4 > 0<e> donc</s>P<e> a deux racines réelles :
</s>x_1 = \displaystyle\frac{a-\sqrt{a^2 + 4}}{2}<e> et</s>x_2 = \displaystyle\frac{a+\sqrt{a^2 + 4}}{2}<e>
D’après ce qui précède,</s>x_1<e> et</s>x_2<e> ne sont pas des entiers.
Autrement dit pour tout</s>i<e> dans</s>\mathbb N^{*} <e>,</s>-i^2 + ai + 1 ≠ 0<e> donc</s>b=-n^2 + an + 1 ≠ 0<e>
- D’après
</s>(1)<e>,</s>(m+n \not\equiv 0[24] \Rightarrow mn + 1 \not\equiv 0[24]) \Leftrightarrow (mn + 1 \equiv 0[24] \Rightarrow m+n \equiv 0[24])<e>[/spoiler]
PS : J’ai fait quelque chose de compliqué mais normalement, ça passe ^^ (pas mal de rédaction inutile je pense)
EDIT : Correction </s>\mathbb R^{*}<e> en </s>\mathbb Z^{*}<e>