Merci, je vais regarder. La preuve pour l’unicité est-elle bonne ?
Pour l’exercice 7 (la partie 1) :
[spoiler]Appelons les numéros sur nos jetons </s>a_1,a_2...a_1997<e>.
Regardons le minimum de a_1 ;a_1+a_2 ;a_1+a_2+a_3...
Si ce minimum est positif, alors on a gagné. Si il ne l’est pas, effectuons un changement de variables en nommant b_1 le numéro immédiatement après le a_i qui nous a donné notre minimum, puis b_2 celui qui le suit, etc.
Il suffit alors de regarder le cercle pour s’apercevoir que nous avons bien là une solution au problème initial (non, vraiment, regardez. Je suis incapable de rédiger ça ^^)
[/spoiler]
Euh… Pardon pour la mise en page. Je sais pas pourquoi le Latex se met pas en branle 
Bonsoir,
Un court exercice d’analyse, ça ne fait pas de mal ^^
Exercice 12
Pour </s>X<e> dans </s>\mathbb R<e>, on appelle la partie entière de </s>X<e> (notée </s>\lfloor X\rfloor<e>) l’unique entier </s>p<e> tel que </s>p \leq X < p+1<e>.
Soient </s>x<e> dans </s>\mathbb R<e> et </s> (U_{n})_{n \in \mathbb N^{*}}<e> la suite définie par :
</s>\forall n \in \mathbb N^{*}<e>, </s>U_{n} = \displaystyle\frac{1}{n^2} \displaystyle\sum_{k=1}^n \lfloor kx\rfloor <e>
Montrer que la suite </s>(U_{n})<e> converge et calculer sa limite.
Exercice 11(sans l’indice)
[spoiler] On veut </s>P(2) = P(7) = P(12) = a<e> </s>( = \dfrac{1}{11} )<e>
</s> P_{n}(m) <e> désigne la probabilité d’obtenir m avec le dé numéro n
</s> P(2) = P_{1}(1) * P_{2}(1) = y * P_{1}(1) = a <e> avec </s> y \neq 0 <e>
</s> P(12) = P_{1}(6) * P_{2}(6) = x * P_{1}(6) = a <e> avec </s> x \neq 0 <e>
</s> P(7) = P_{1}(1) * x + P_{1}(6) * y + X = a <e> avec </s> X \ge 0<e>
</s> P_{1}(1) * x + P_{1}(6) * y \le a <e>
</s> \dfrac{a*x}{y} + \dfrac{a*y}{x} \le a <e>
</s> \dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x} \le 1 <e>
</s> x^2 + y^2 \le x*y <e>
</s> (x-y)^2 + x*y \le 0 <e>
Ce qui est absurde, donc c’est impossible. Désolé si c’est lacunaire et s’il manque des trucs (détail des notations), j’ai déjà assez de mal avec ce langage 
[/spoiler]
Solution exercice 12 :
Soit </s>x\in\mathbb{R}<e>,
On a : </s>E(kx)\le kx\le E(kx)+1<e> d’où </s>kx-1\le E(kx)\le kx<e>
Soit :
[ctex]a_n=\dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n kx-1}{n^2}\le U_n\le \dfrac{\displaystyle\sum_{k=1}^n kx}{n^2}=b_n[/ctex]
Pour tout entier naturel n :
[ctex]a_n = \dfrac{x\times n\times (n+1)}{2n^2} - \dfrac{1}{n} = x\times\dfrac{n^2+n}{2n^2} - \dfrac{1}{n}=x\times\dfrac{n+1}{2n}-\dfrac{1}{n}[/ctex]
D’où </s>\lim\limits_{n\to+\infty} a_n = x\times\dfrac{1}{2}<e>
De la même manière, on trouve </s>\lim\limits_{n\to+\infty}b_n = x\times \dfrac{1}{2}<e>
D’où, </s>U_n\rightarrow \dfrac{x}{2}<e>
Un autre exercice d’analyse :
Exercice 13
On considère un polynôme </s>f<e> de degré impair. Montrer que l’équation P(x) = 0 admet au moins 1 solution réelle.
On rappelle, qu’un polynôme </s>f<e> de degré impair, peut être considéré comme une fonction f telle que :
</s>\forall x\in\mathbb{R}, f(x) = c_0 + c_1\times x^1+\ldots+ c_{2n+1}x^{2n+1} <e>
Où n est un entier naturel et </s>(c_0,\ldots, c_{2n+1})<e> des réels.
Exercice 13
[spoiler] On considère le coefficient </s> c_{2n+1} <e> positif (démonstration similaire s’il est négatif)
La limite en -inf du polynôme vaut -inf (on peut factoriser par </s>c_{2n+1} * x^{2n+1} <e> pour le prouver, avec la parenthèse qui tend vers 1, mais jamais j’écris ça en LaTeX désolé 
De même, la limite en +inf vaut +inf
On applique le TVI comme le polynôme est continu, donc l’équation P(x) = 0 admet au moins une solution réelle
[/spoiler]
Bravo 
Exercice 13
Soit </s>P<e> un polynôme de degré impair défini par :
</s>P : x \in \mathbb R \mapsto \displaystyle\sum_{i=0}^{2n+1} a_i x^{i} <e> avec </s>n<e> entier naturel.
</s>P(x) = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + ... + a_{2n + 1}x^{2n+1}<e> avec </s> a_{2n + 1}≠0<e>
</s> \quad \quad \quad= a_{2n + 1}x^{2n+1}(\displaystyle\frac{a_0}{a_{2n + 1}x^{2n+1}} + \displaystyle\frac{a_1 x}{a_{2n + 1}x^{2n+1}} + ... + 1)<e> en considérant </s>a_{2n + 1}x^{2n+1} ≠ 0<e>
On suppose que </s>a_{2n + 1} > 0<e>, </s>\displaystyle\lim_{x \rightarrow - \infty } P(x) = -\infty<e> et </s>\displaystyle\lim_{x \rightarrow + \infty } P(x) = +\infty<e>.
TVI (continue).
On raisonne de manière analogue pour </s>a_{2n + 1} < 0<e>.
</s>P(x) = 0<e> admet au moins une solution.
Haha, c’est vrai que la rédaction, c’est ce qu’il y a de plus long 
Plus dur :
Exercice 14
Etudier la convergence de la suite </s>(u_n)<e> définie par :
</s>u_0\ge 0<e> et pour tout entier naturel n : </s>u_{n+1} = \sqrt{u_n} + \dfrac{1}{n+1}<e>
Exercice 14
Soit </s>(V_n)<e> définie par :
</s>\forall n \in \mathbb N, V_{n+1} = \sqrt{V_n} <e> et </s>V_{0}>0<e>.
Si </s>0< V_{0} < 1<e>, on démontre par récurrence qu’alors </s>0<V_{n} \leq V _{n+1} < 1<e>.</s>\quad<e> (1)
Si </s>V_{0} \ge 1<e>, on démontre par récurrence qu’alors </s>1\leq V _{n+1} \leq V_{n}<e>. </s>\quad<e> (2)
Démontrons que </s>(U_n) <e> est convergente.
On suppose par la suite que </s>n≠0<e>.
</s>1 \leq U_{n+1} \leq U_{n} <e> (Encore une démo par récurrence)
Donc </s>(U_n) <e> converge.
J’ai un doute à partir de là, je ne sais pas si on a le droit de faire ça mais tentons 
Pour </s>n<e> grand, </s>\displaystyle\frac{1}{n+1}<e> est négligeable donc </s>U_n \underset{+\infty}{\sim} V_n<e>.
La fonction </s>f:x \in \mathbb R_+ \mapsto \sqrt{x}<e> est continue sur cet intervalle.
</s>V_n \rightarrow \ell<e> et </s>V_{n+1} \rightarrow \sqrt{\ell}<e>.
Par unicité de la limite :
</s>\ell = \sqrt{\ell} \Leftrightarrow \ell=1<e> ou </s>\ell=0 <e>.
D’après (1) et (2), </s>\ell=1<e>.
Donc </s>U_n \rightarrow 1<e>
Non, tu ne peux pas faire ca 
Car certes </s>1/n+1<e> devient négligeable devant </s>u_{n}<e> mais tu ne sais pas si </s>v_n<e> et </s>u_n<e> sont proches.
Peut-être que quelqu’un d’autre pourra mieux expliquer… Après peut-être que je me trompe mais dans ce cas là, c’est hp
C’est ce que je me suis dit en effet ^^
Bon, dommage !
On peut résoudre l’exercice 14 très facilement avec la limsup et la liminf mais c’est hors-programme en terminale (normal) et aussi hors-programme en prépa (je n’ai jamais compris pourquoi). En prépa, c’est faisable en revenant à la définition de limite (mais au combien plus pénible à rédiger qu’avec la limsup et la liminf). Avec les outils de terminale, je n’en sais rien. Voyez-vous la définition rigoureuse de la limite en terminale?
Woops j’avais mal lu une partie de ta solution (mes yeux fatiguent :p), j’étais resté bloqué sur l’équivalent.
Peux-tu expliquer comment tu montres que </s>(U_n)<e> est décroissante (les grandes lignes de la récurrence) ? Car je n’avais pas réussi à faire ca par récurrence donc j’aimerai bien voir
Non, on ne voit pas la définition avec tous les quantificateurs. La limite nous est définie comme un nombre vers lequel une fonction f se rapproche quand x devient de plus en plus grand.
On ne voit pas la définition avec tous les quantificateurs mais la définition donnée convient pour la solution
EDIT: grillé
EDIT2 : Voici la définition de la convergence dans le programme officiel : tout intervalle ouvert contenant l contient toutes les valeurs </s>u_n<e> à partir d’un certain rang. C’est donc identique à la définition avec les quantificateurs, mais avec des mots
Mmm
</s> U_{n+1} < U_{n} <e> (H.R)
</s> \sqrt{U_{n+1}} < \sqrt{U_{n}} <e>
</s> \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+1} < \sqrt{U_{n}} + \frac{1}{n+1}<e>
Or </s>\frac{1}{n+2} < \frac{1}{n+1} <e> donc </s> \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+2} < \sqrt{U_{n+1}} + \frac{1}{n+1} <e> d’où le résultat.
Normalement, si j’ai pas fait de fautes.