J’ai repris l’exercice 14 à zéro. Trouver la contradiction, ça m’a pris un peu de temps
[spoiler]Soit </s>(U_n)<e> la suite définie par :
</s>\forall n \in \mathbb N, U_{n+1} = \sqrt{U_n} + \displaystyle\frac{1}{n+1} <e> et </s>U_{0}\ge0<e>.
On peut démontrer par récurrence que pour tout </s>n \in \mathbb N^* <e>, </s>U_n<e> est à valeurs dans </s>[1;+\infty[<e>.
Supposons que </s>(U_n)<e> converge vers un réel </s>\ell<e>.
</s>\displaystyle\frac{1}{n+1}<e> est négligeable (car </s>\displaystyle\frac{1}{n+1} \rightarrow 0<e> mais je ne sais toujours pas si on a le droit de retirer </s>\displaystyle\frac{1}{n+1}<e> ^^) donc </s>U_n \rightarrow \ell<e> et </s>U_{n+1} \rightarrow \sqrt{\ell}<e>. La fonction </s>f : x \in \mathbb R_+ \mapsto \sqrt{x}<e> est continue sur </s>\mathbb R_+<e> donc en </s>\ell<e>.
Par unicité de la limite, </s>\ell = \sqrt{\ell} \Rightarrow \ell = 1<e> (car </s>U_n<e> est à valeurs dans </s>[1;+\infty[<e> pour tout </s>n≠0<e>.)
Démontrons que </s>(U_n)<e> est convergente.
Supposons qu’il existe un entier </s>N<e> tel que </s> U_{N+1} \leq U_{N} <e>. Il est facile de constater que cela implique </s> U_{N+2} \leq U_{N+1} <e>. Par récurrence, on en déduit qu’à partir du rang </s>N<e> s’il existe, </s>(U_n)<e> est décroissante.
Ainsi, soit </s>(U_n)<e> est strictement croissante, soit </s>(U_n)<e> est décroissante à partir d’un certain rang </s>N<e>.
D’après ce qu’il précède, si </s>(U_n)<e> converge vers un réel </s>\ell<e> alors </s>\ell = 1<e>. Or </s>U_n<e> est à valeurs dans </s>[1;+\infty[<e> pour tout </s>n≠0<e> donc si </s>(U_n)<e> est strictement croissante, alors </s>(U_n)<e> diverge nécessairement vers </s>+\infty<e>.
Raisonnons par l’absurde et supposons que </s>(U_n)<e> est strictement croissante et donc diverge vers </s>+\infty<e>.
Or </s>U_n \rightarrow + \infty<e> donc </s> \displaystyle\frac{1}{\sqrt{U_n}} + \displaystyle\frac{1}{U_n(n+1)} \rightarrow 0<e>.
Par définition, pour tout </s> \varepsilon >0<e>, on a à partir d’un certain rang </s>\mid \displaystyle\frac{1}{\sqrt{U_n}} + \displaystyle\frac{1}{U_n(n+1)} \mid < \varepsilon <e>.
Il suffit de prendre </s> \varepsilon = 1<e> pour voir une contradiction.
Donc </s>(U_n)<e> n’est pas strictement croissante.
On en déduit donc que </s>(U_n)<e> est décroissante à partir d’un certain rang. De plus, </s>(U_n)<e> est minorée par </s>1<e> pour </s>n ≠ 0<e>. Donc </s>(U_n)<e> est convergente.
Solution exercice 15 :
On va montrer que les deux suites convergent vers 1.
Pour cela, on va raisonner par l’absurde en supposant qu’au moins l’une d’elle ne converge pas vers 1.
Sans perdre de généralités, on va supposer que c’est la suite </s>(u_n)<e>.
En utilisant la définition de la convergence vue en terminale, cela veut dire qu’il existe un intervalle ouvert contenant 1 qui ne contient pas toutes les valeurs de la suite </s>(u_n)<e> à partir d’un certain rang.
Ainsi, soit </s>]1-\varepsilon; 1+\varepsilon[<e> un intervalle qui ne contient pas toutes les valeurs à partir d’un certain rang.
Comme </s>\lim\limits_{n\to+\infty}u_nv_n=1<e>, il existe un rang N tel que pour tout </s>n\ge N<e>, </s>u_nv_n\in ]1-\varepsilon;1+\varepsilon[<e>.
De plus, d’après la non convergence de </s>(u_n)<e> vers 1, il existe un </s>n\ge N<e> tel que </s>0\le u_n\le 1-\varepsilon<e>. Or, comme </s>0\le v_n\le 1<e>, on obtient :
[ctex]0\le u_nv_n\le 1-\varepsilon[/ctex]
Soit </s>u_nv_n\notin]1-\varepsilon;1+\varepsilon[<e>. Ce qui est absurde.
Donc </s>(u_n)<e> et </s>(v_n)<e> convergent vers 1.
En fait, si $z$ et une racine de multiplicité n de $P$, $conj(z)$ sera aussi une racine de multiplicité n de $P$, etc… (il suffit pour s’en convaincre de reprendre le même argument avec $P’(x)$ ).
Errys, j’ai simplifié, dis moi si c’est cela jt’avoue que le truc télescopé (désolé d’écorcher le nom xD) ne m’a pas trop aidé, j’avais essayé de transformer le « a_n » en « b_n+1 - b_n » mais j’ai clairement pas réussi, du coup j’ai décomposé la somme et avec un ptit jeu d’indice ça se simplifie très vite
Je récapitule les exercices qui ont déjà été posté :
[spoiler]
PS : le i présent dans la formule est le i allant de 1 à n, cela ne signifie pas qu’il y a des complexes !
Chronoxx, oui j’ai vu ce qu’était une somme télescopique, bon c’est du HP assez léger on va dire xD mais je trouve plus simple de s’amuser avec les sommes x)
Mais merci pour m’avoir montré la méthode avec la somme télescopique !
Soit </s>(u_n)<e> et </s>(v_n)<e> les deux suites en question.
On a </s>(u_n)<e> monotone et bornée donc </s>(u_n)<e> converge vers un réel l.
De même, </s>(v_n)<e> converge vers un réel l’.
Si </s>v_n\rightarrow 0<e> alors </s>(1/v_n)<e> diverge vers +/- infini donc par produit, </s>(u_n/v_n)<e> diverge vers +/- l’infini donc n’est pas borné ce qui est absurde.
D’où </s>\lim\limits_{n\to+\infty}v_n\neq 0<e> et donc </s>(1/v_n)<e> converge vers 1/l’.
jt’avoue que le truc télescopé (désolé d’écorcher le nom xD) ne m’a pas trop aidé, j’avais essayé de transformer le « a_n » en « b_n+1 - b_n » mais j’ai clairement pas réussi, du coup j’ai décomposé la somme et avec un ptit jeu d’indice ça se simplifie très vite 
