R25 ne devrait pas être difficile à montrer.
Si </s>i=0<e>, </s>a_0=- \sum_{k=1}^{n} a_k c^k=c \sum_{k=1}^{n} a_k c^{k-1}<e> donc </s>c|a_0<e>.
Si </s>i\ne 0<e>, comme </s>c\ne 0<e>, donc on divise </s>P<e> par </s>X^i<e> et on se ramène au cas précédent.
R27 : Soit </s>a,b \in \mathbb{N}^{*}<e> premiers entre eux. On suppose : </s>\exists n \in \mathbb{N}, \exists c \in \mathbb{N}, ab={c}^{n}<e>. Alors </s>\exists {c}_1,{c}_2 \in \mathbb{N}, a={c}_{1}^{n}<e> et </s>b={c}_{2}^{n}<e>. Ça vient des Oraux X-ENS de chez Cassini.
Bonsoir,
Pas grand chose à voir avec la récurrence, plutôt avec l’étude des sous-groupes additifs de </s>\mathbb R<e>.
Honnêtement, Dattier, utilises-tu ici autre chose que la fait qu’un sous-groupe additif de </s>\mathbb R<e> engendré par deux réels « sans commune mesure » est dense dans </s>\mathbb R<e> ?
Dattier, tu prends un prétexte pour éviter de répondre à une question purement mathématique.
L’isomorphisme </s>(\mathbb R_+^*,\times)\to (\mathbb R,+)<e> donné par le logarithme néperien envoie un ensemble contenant </s>1<e>, stable par multiplication par </s>3<e> et par division par </s>2<e>, sur une partie de </s>\mathbb R<e> contenant tous les </s>a\ln(3)-b\ln(2)<e> où </s>a<e> et </s>b<e> sont entiers naturels. Une telle partie est dense du fait de l’irrationalité de </s>\ln(3)/\ln(2)<e>, et cette irrationalité se démontre facilement par l’unicité de la décomposition d’un entier en facteurs premiers.
Si tu avais lu le message précédent, tu aurais vu que c’est bien ce dont je parle, et par ailleurs c’est une conséquence assez immédiate de la densité du sous-groupe </s> \ln(3)\mathbb Z+\ln(2)\mathbb Z<e>. Je peux t’expliquer comment on dérive cette conséquence, si tu le souhaites.
Très jolies couleurs.
Si je comprends bien (il est parfois difficile de te suivre dans les remaniements successifs de ton message) tu utilises effectivement la densité de </s>\mathbb Z\,\ln(3)+\mathbb Z\,\ln(2)<e> ? Pourquoi refuser de le reconnaître ? Ou alors prétends-tu procéder vraiment autrement ? Comment, alors ?
Dattier : j’ai déjà remarqué ton utilisation du sobriquet « GaGa » quand tu es coincé dans ton argumentation. J’apprécierais que tu t’en tiennes à « GaBuZoMeu ». Merci !
Un « lemme » utile (théorème de Darboux).
R30 : la dérivée d’une fonction vérifie le TVI.
Exemple d’application :
Soit </s>f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}<e> dérivable telle que </s>\dfrac{f(x)}{|x|}<e> diverge vers +inf en +/-inf. Montrer que </s>f'<e> est surjective.