Ce polycopié donné en classe de MP*1 à Louis-Le-Grand en période de révisions des concours écrits constitue un véritable condensé du savoir mathématique exigé en MP*, soigneusement construit pour accompagner les préparationnaires dans la dernière ligne droite vers les concours.
Ce polycopié est rédigé par Nicolas Tosel, un des auteurs du célèbre Poly LLG.
On y trouve à la fois :
- des résultats de cours fondamentaux, choisis pour leur rôle central dans la formation du raisonnement mathématique,
- des démonstrations classiques et instructives, qui permettent de comprendre les idées profondes derrière les théorèmes,
- et une vaste collection d’exercices emblématiques et variés, issus de la tradition des grandes classes préparatoires, en particulier LLG, Henri-IV, Sainte-Geneviève, Ginette et autres institutions de référence.
Ce recueil est pensé comme un outil de travail intensif, idéal pour préparer efficacement les concours CentraleSupélec et Mines-Ponts, et indispensable pour se confronter à l’exigence des épreuves X-ENS.
Son intérêt réside dans l’équilibre entre applications immédiates du cours (révisions rapides, consolidation des acquis) et problèmes plus techniques et subtils (permettant d’approfondir la méthode, de perfectionner la rédaction et d’aiguiser l’intuition).
Exemples d’exercices et thèmes traités :
- Analyse : équivalents des sommes partielles et restes d’intégrales de Riemann, démonstration et applications de la formule de Stirling, étude du sinus intégral et du passage à la limite sous le signe ∫.
- Fonctions de variable réelle : existence d’un point fixe pour les applications continues [0,1]→[0,1], critères de Lipschitzianité, construction de fonctions de classe C∞ particulières.
- Suites et séries de fonctions : approximation de Weierstrass, lemme de Riemann-Lebesgue, convergence uniforme des séries entières, propriétés analytiques de la fonction ζ.
- Algèbre linéaire et réduction : critères de diagonalisation et trigonalisation, étude géométrique des sous-espaces stables, polynômes caractéristiques et minimaux, exemples de matrices nilpotentes, compagnons et de rang 1.
- Topologie et compacité : théorème de Bolzano-Weierstrass, propriétés des espaces vectoriels normés, densité des sous-espaces de fonctions, applications linéaires continues et norme opératorielle.
- Équations différentielles : théorème de Cauchy-Lipschitz, exponentielles de matrices, méthodes de variation des constantes, équations d’Euler, théorème de Sturm.
- Probabilités : axiomes de Kolmogorov, lois binomiales et de Poisson, lois géométriques, indépendance et couplage, espérance et variance, inégalités de Tchebychev et loi faible des grands nombres.
Chaque partie est conçue pour offrir à la fois un rappel synthétique du cours, des démonstrations structurées et une mise en pratique progressive à travers des exercices allant du classique au plus subtil, permettant de se rapprocher de l’esprit des concours d’excellence.
Véritable boîte à outils des préparationnaires ambitieux, ce polycopié se présente comme un compagnon indispensable : il permet de gagner en rigueur, en rapidité, en efficacité, et de viser l’excellence dans les épreuves écrites et orales des concours scientifiques les plus sélectifs.