Agrégation sciences industrielles de l'ingénieur externe 2024, épreuve 2, option ingénierie des constructionsSujet et rapport du jury
Agrégation externe section sciences industrielles de l'ingénieur option sii et ingénierie des constructions - Sujet de la deuxième épreuve écrite de la session 2024
Section : SCIENCES INDUSTRIELLES DE L'INGÉNIEUROption : SCIENCES INDUSTRIELLES DE L'INGÉNIEUR ET INGÉNIERIE DES CONSTRUCTIONS
MODÉLISATION D'UN SYSTÈME, D'UN PROCÉDÉ OU D'UNE ORGANISATION
Durée : 6 heures
Calculatrice autorisée selon les modalités de la circulaire du 17 juin 2021 publiée au BOEN du 29 juillet 2021.
L'usage de tout ouvrage de référence, de tout dictionnaire et de tout autre matériel électronique est rigoureusement interdit.
Il appartient au candidat de vérifier qu'il a reçu un sujet complet et correspondant à l'épreuve à laquelle il se présente.
Si vous repérez ce qui vous semble être une erreur d'énoncé, vous devez le signaler très lisiblement sur votre copie, en proposer la correction et poursuivre l'épreuve en conséquence. De même, si cela vous conduit à formuler une ou plusieurs hypothèses, vous devez la (ou les) mentionner explicitement.
NB : Conformément au principe d'anonymat, votre copie ne doit comporter aucun signe distinctif, tel que nom, signature, origine, etc. Si le travail qui vous est demandé consiste notamment en la rédaction d'un projet ou d'une note, vous devrez impérativement vous abstenir de la signer ou de l'identifier.
Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire
INFORMATION AUX CANDIDATS
Vous trouverez ci-après les codes nécessaires vous permettant de compléter les rubriques figurant en en-tête de votre copie
Ces codes doivent être reportés sur chacune des copies que vous remettrez.
Complexe sportif de l'Émulation Nautique
Toutes les parties sont indépendantes les unes des autres. En outre, au sein d'une même partie, un grand nombre de questions peut être traité de manière indépendante. Pour chaque question, en complément des résultats de calculs proprement dits, il convient de justifier les choix effectués et les calculs réalisés ainsi que de commenter les résultats obtenus. Une attention sera apportée à la présentation et à la clarté des explications.
Étude 1 : POUTRE CONTINUE EN BOIS SOUMIS AU VENT ET AU POIDS PROPRE (3 points)
Étude 2 : POTEAU HYPERSTATIQUE EN BOIS SOUMIS AU VENT (4 points)
Étude 3 : ÉTUDE MECANIQUE D'ÉLÉMENTS SECONDAIRES (3 points)
Étude 4 : ÉTUDE DU RISQUE DE CONDENSATION DE LA FAÇADE EXTÉRIEURE (3 points)
L'étude porte sur un complexe sportif possédant une structure mixte béton, acier et bois. Ce bâtiment abrite le siège et les cours de tennis couverts du club omnisports de l'Émulation Nautique de Toulouse. Il a été construit à Toulouse sur « l'lle du Ramier ». Il s'agit d'un bâtiment devant accueillir du public de type gymnase et bureau.
-La partie « Halle de tennis » est une structure porteuse en bois avec des assemblages et des renforts en acier de type hyperstatique surmontée d'une toiture en bâches tendues.
-La partie « Bureau » est située sur un côté du bâtiment. Cette zone est chauffée et isolée. Les murs qui la délimitent sont en ossature bois.
Contexte général du quartier.
Ce projet s'inscrit dans la dynamisation du « Grand parc Garonne » (figure 1) dans le quartier de l'« lle du Ramier » qui était un autrefois le poumon vert de la ville de Toulouse. Cette zone est actuellement en pleine mutation avec la démolition de l'ancien Hall des Expositions et le réaménagement de certaines zones vertes et des berges de la Garonne.
Le transfert du Parc des expositions (2020), ouvre des perspectives de reconquête d'un vaste poumon vert au cœur de la métropole. Pour transformer l'île en un parc urbain dédié à la nature, à la culture et aux loisirs, une concertation est engagée.
Le Grand Parc Garonne, qui s'étend sur 32 km et concerne 7 communes, vise à reconquérir les bords du fleuve, pour faire de la Garonne le lien fédérateur de la Métropole. La transformation de l'Ile du Ramier en un vaste parc urbain est l'un des trois volets du projet.
Figure 1 : Grand Parc Garonne
Le complexe.
Le projet du complexe sportif de la « Halle de tennis de l'Émulation Nautique» est présenté en format 3D (figure 2).
Figure 2 : projection extérieure du projet de la Halle
La figure 3 présente les deux parties distinctes du bâtiment d'étude : la halle de tennis pour la partie structurelle et les bureaux administratifs pour la partie thermique.
Figure 3 : halle de tennis et bureaux administratifs de l'Émulation nautique
Remarque générale importante
Pour l'établissement de ce sujet, le projet réel a été fortement simplifié. Ainsi, bien que les ordres de grandeur aient été globalement respectés, les valeurs données dans ce sujet ne sont pas directement celles qui ont été utilisées pour le dimensionnement de la halle. En outre, certaines des solutions technologiques proposées dans ce sujet ne sont pas celles qui ont été effectivement choisies pour la construction réelle.
L'étude structurelle de la halle de tennis s'articule en trois études distinctes et indépendantes les unes des autres. Les trois études, présentées en figure 4, sont : étude 1 - Poutre continue en bois soumise au vent ascendant et au poids propre étude 2 - Poteau hyperstatique en bois soumis à un vent latéral étude 3 - Étude mécanique d'éléments secondaires (arceau et renfort)
Figure 4 : présentation des éléments structuraux étudiés de la halle de tennis.
L'étude énergétique de la halle de tennis s'articule en trois études distinctes et indépendantes les unes des autres. Les trois études sont : étude 4 - Risque de condensation de la façade extérieure étude 5 - Intermittence de chauffage étude 6 - Installation géothermique
Étude 1 : poutre continue en bois soumise au vent et au poids propre
L'objectif de cette première étude consiste à vérifier la section de bois du dispositif structurel (poutre et poteau présenté en figure 5) soumis à deux types de chargement, le vent (étude 1.1) et son poids propre (étude 1.2).
Figure 5 : structure hyperstatique poteau - poutre en bois GL24h
1.1. Étude du portique hyperstatique soumis au vent ascendant sur la bâche de la toiture
Soit le portique hyperstatique en bois soumis uniquement à une série de charges ponctuelles de vent ascendantes simulant le vent (F_w). La figure 6 présente le schéma mécanique de cette structure.
Figure 6 : schéma mécanique du portique hyperstatique
1.2. Étude de la poutre hyperstatique soumise à son poids propre
Soit la poutre hyperstatique en bois soumise à son propre poids (charge uniformément gravitationnelle q_(pp) ). La figure 8 présente le schéma mécanique de cet élément.
Figure 8 : schéma mécanique de la poutre hyperstatique
Question 1.5. Établir le degré d'hyperstaticité de la poutre continue.
Question 1.6. Déterminer les valeurs littérales des moments fléchissants aux points 1, 2, 10 et 11.
Question 1.7. À partir de la méthode des trois moments (figure 9), déduire littéralement le moment fléchissant au point 6 noté M 6.
Question 1.8. En utilisant les équations Eq. 2 et Eq. 3, écrire les équations de l'effort tranchant V_y(x) et du moment fléchissant M_z(x) en fonction de x sur la longueur de la poutre.
Où : M_(zi)(x) est le moment fléchissant en travée i ; V_(yi)(x) est l'effort tranchant en travée i ; M_(i − 1), M_i sont les valeurs du moment fléchissant sur les appuis i-1 et i ; M_(zi)^′(x) est le moment fléchissant de la travée isostatique associée i ; V_(yi)^′(x) est l'effort tranchant de la travée isostatique associée i ;
Li est la longueur de la travée i.
Question 1.9. Tracer les diagrammes de l'effort tranchant et du moment fléchissant le long de la poutre.
La méthode des trois moments permet de déterminer les moments sur les appuis pour une travée i. On rappelle la relation dans le cas d'une poutre à sections et inerties constantes :
Où :
-M_i est le moment sur l'appui i
-L_i est la longueur de la travée i (comprise entre les appuis i - 1 et i)
-φ_(ig) rotation en i, à gauche de l'appui i (calcul en travée isostatique)
-φ_(id) rotation en i, à droite de l'appui i (calcul en travée isostatique)
Figure 9 : méthode des trois moments
Étude 2 : poteau hyperstatique soumis au vent latéral
L'objectif de cette partie est de déterminer les réactions d'appui en pied (point A) d'un poteau hyperstatique (figure 10) soumis à une charge de vent (charge latérale horizontale qw) afin de dimensionner la pièce d'encrage avec le support béton (figure 11).
Remarque : le repère et les conventions de signe sont présents sur les figures 10, 12, 13 et 14.
Figure 10 : poteau hyperstatique d'étude soumis à un vent latéral
Figure 11 : ancrage du poteau hyperstatique
2.1. Étude d'un poteau isostatique soumis à une charge uniformément répartie
L'objectif de cette sous-partie est de définir littéralement les flèches horizontales aux points B et C ( h_B et hc) dans le cas où le poteau isostatique est soumis à une charge uniformément répartie (q_w). La figure 12 présente la configuration d'étude.
Question 2.1. À partir du formulaire de résistance des matériaux proposé dans le document technique DT2, établir l'expression littérale des déplacements horizontalement aux point B et C, respectivement h_B et hc .
Figure 12 : poteau isostatique soumis à qw
Remarque : on considère comme négatifs les déplacements hb et hc relatifs à la figure 12.
2.2. Étude d'un poteau isostatique soumis à une force ponctuelle en tête
L'objectif de cette sous-partie est de définir littéralement les flèches horizontales aux points B et C ( h_B et hc) dans le cas où le poteau isostatique est soumis à une charge ponctuelle (Fc) en tête (point C). La figure 13 présente la configuration d'étude.
Question 2.2. Déterminer les réactions d'appuis au point A et établir littéralement l'équation du moment fléchissant M_z(x). Tracer le diagramme du moment fléchissant.
Question 2.3. À partir de l'équation du moment courbure (Eq. 4), établir l'équation de la déformée y(x).
EI_(Gz)y^(′′)(x) = M_z(x)
Où :
E est le module d'élasticité ;
Igz est le moment quadratique selon l'axe z ;
y"(x) est la courbure ou dérivée seconde de la déformée y(x) ; M_z(x) est le moment fléchissant selon x.
Question 2.4. Déduire littéralement les flèches horizontales en B et en C (hb et hc).
Figure 13 : poteau isostatique soumis à F_c
Remarque : on considère comme positifs les déplacements h_B et h_c relatifs à la figure 13.
2.3. Étude d'un poteau isostatique soumis à une force ponctuelle à mi-travée
L'objectif de cette sous-partie est de définir littéralement les flèches horizontales aux points B et C ( h_B et hc) dans le cas où le poteau isostatique est soumis à une charge ponctuelle (F_B) à mi-travée (point B). La figure 14 présente la configuration d'étude.
Question 2.5. Déterminer les réactions d'appuis au point A et tracer les diagrammes de l'effort tranchant V_y(x) et du moment fléchissant M_z(x).
Dans la suite de cette étude on néglige l'énergie élastique de déformation due à l'effort tranchant W(V_y). Des indications sur la méthode et les tables des intégrales de Mohr sont proposées dans les documents techniques DT3 et DT4.
Question 2.6. Utiliser le théorème de Castigliano et les tables des intégrales de Mohr pour définir l'expression littérale de la flèche horizontale au point B (hв).
Question 2.7. À partir du théorème de la charge fictive (voir document technique DT5) appliquée au point C, déterminer littéralement la flèche horizontale au point C (hc).
Figure 14 : poteau isostatique soumis à F_B
Remarque : on considère comme positifs les déplacements hb et hc relatifs à la figure 14.
2.4. Étude du poteau hyperstatique
Question 2.8. Établir le degré d'hyperstaticité du poteau présenté en figure 10.
Question 2.9. Donner les cinq conditions de déplacement relatifs aux trois appuis du poteaux (encastrement en A et appuis simples en B et C).
Question 2.10. En utilisant le théorème de superposition et le principe de compatibilité des déplacements déterminés dans les parties précédentes (2.1, 2.2 et 2.3), déterminer les réactions d'appuis horizontales aux points B et C.
Question 2.11. Déterminer littéralement les trois réactions d'appuis au points A.
Étude 3 : étude mécanique d'éléments secondaires
L'objectif de la partie est de vérifier certains éléments secondaires comme un arc reprenant la bâche tendue soumise à de la neige (3.1) et un renfort métallique soumis à une charge surfacique (3.2).
3.1. Étude d'un arc métallique soumis à une charge de neige
Soit un arc métallique hyperstatique (figure 15) de longueur L et de hauteur f, biarticulé aux deux extrémités (A et B) supportant la bâche tendue et soumis aux charges de neige « qs ». La figure 16 présente le schéma mécanique de cet arc.
Figure 15 : arc hyperstatique soutenant la toile tendue
Figure 16 : schéma mécanique de l'arc hyperstatique métallique
Question 3.1. À partir du schéma mécanique en figure 16, établir le degré d'hyperstaticité de l'arc métallique bi-articulé.
Question 3.2. Donner l'expression des réactions d'appuis verticales sachant que les réactions d'appuis horizontales valent :
X_A = − X_B = q_s(L^2)/(8f)
Question 3.3. À partir de l'équation de l'arc (Eq. 6), montrer que le moment fléchissant est nul en chaque point de l'arc hyperstatique de la figure 16.
y = (4f)/(L^2)(L − x)x
3.2. Étude d'un renfort métallique
On s'intéresse à un renfort métallique rectangulaire placé sous la cage d'ascenseur (figure 17) de grande longueur, de hauteur H soumis à une charge surfacique gravitationnelle « p » représenté sur la figure 18.
Figure 17 : renfort métallique sous la cage d'ascenseur
Figure 18: schéma mécanique du renfort métallique
Certaines hypothèses sont à considérer :
-comportement élastique linéaire, de paramètres E et v.
-face inférieure en appui glissant et non-frottant, fixée seulement sur l'axe (O, e_3^(→−)),
-hypothèse des petites perturbations.
-on se place dans la zone centrale du massif pour se prémunir des effets de bord.
-le champ de déplacement donné par l'équation Eq. 7. U⃗ = (A ⋅ X_1 + C ⋅ X_2 2)e_1^(→−) + (− C ⋅ X_1 + B ⋅ X_2)e_2^(→−)
Question 3.4. À partir du tenseur des déformations linéarisées (équation Eq. 8) et de la schématisation du champ de déplacement en figure 19, montrer qu'il s'agit d'un problème de déformations planes.
ε¯^– = 1/2(grad^–^–U→ + (grad^–^–U→)^T)
Figure 19 : présentation du renfort métallique
Question 3.5. À partir de la loi de Hooke (équation Eq. 9) formulée à partir des coefficients de Lamé (équation Eq.10), écrire le tenseur de Cauchy σ¯^–.
Étude 4 : étude du risque de condensation de la façade extérieure
Cette partie traite de l'étude de la façade extérieure de l'ouvrage en contact avec les différents locaux (WC, vestiaires, Local réunion...). L'objectif de cette partie est de déterminer les pressions de vapeur et les pressions de vapeur saturantes d'interfaces des différents matériaux constituant la paroi afin de conclure sur le risque ou non de condensation superficielle et/ou dans la masse de la façade.
Les conditions intérieures et extérieures sont les suivantes :
-Conditions intérieures : Ti = 19^∘C, HR = 65%
-Conditions extérieures : Te = − 5^∘C, HR = 60%
La figure 20 représente la coupe transversale de la partie bureaux administratifs. La paroi étudiée est celle située entre les bureaux et l'extérieur.
Figure 20 : coupe transversale partie Bureaux
La figure 21 permet de visualiser la façade extérieure des bureaux en phase de chantier.
Figure 21 : façade extérieure en phase de chantier
Afin de simplifier l'étude, la partie courante uniquement de la paroi est étudiée. Les montants ne seront donc pas pris en compte dans les calculs.
La coupe de la paroi se trouve en figure 22.
Figure 22 : coupe de la façade extérieure
Les caractéristiques des différents matériaux constituant la paroi de l'intérieur vers l'extérieur sont les suivantes :
On note l'intérieur par l'indice i, puis les interfaces par les deux matériaux ou milieux qui les entourent. À titre d'exemple, la surface intérieure sera notée par l'indice i-1, la surface entre le BA13 et l'isolant sera notée par l'indice 1-2...
La résistance thermique surfacique intérieure est R_(si) = 0, 250 m^2 ⋅ K ⋅ W^(− 1).
La résistance thermique surfacique extérieure est R_(se) = 0, 04 m^2 ⋅ K ⋅ W^(− 1).
La résistance thermique de conduction d'une couche de matériau homogène est définie par R = e/λ[m^2 ⋅ K ⋅ W^(− 1)].
La résistance de vapeur d'une couche de matériau homogène est définie par :
R = e/π[m^2 ⋅ s ⋅ Pa ⋅ kg^(− 1)].
Pour la pression de vapeur saturante, on utilise de la formule de Rankine :
Pv_(sat) = 101325 × e^((13, 7 − (5120)/T)); où T est la température en K.
Les pressions de vapeur intérieure et extérieure sont définies respectivement par :
-Pv_i = HR_i(%) × Pv_(sat i);
-Pv_e = HR_e(%) × Pv_(sat e).
Les pressions de vapeur surfaciques sont égales aux pressions de vapeur du milieu en contact (pas de résistance de vapeur surfacique).
Question 4.1 : Du point de vue de l'isolation thermique et du transport de la vapeur, on ne tient pas compte de la toile teinte blanche. Expliquer pourquoi.
Question 4.2 : Calculer la résistance totale Rvap_(tot) au transfert de vapeur et le flux surfacique de vapeur φ_v dans la paroi.
Question 4.3 : Déterminer le profil des pressions de vapeur dans la paroi. Reporter les résultats dans le document réponse DR1.
Question 4.4 : Calculer la résistance thermique totale Rth_(tot), le coefficient de transmission thermique U ainsi que la densité de flux thermique φ_(th).
Question 4.5 : Déterminer le profil des températures et des pressions de vapeur saturante P_(vs) dans la paroi. Reporter les résultats dans le document réponse DR1.
Question 4.6 : Sur le document réponse DR1,tracer à l'échelle les profils Pv(x) et Pvs(x) dans la paroi où x représente la distance à la surface intérieure du mur. Compléter la légende.
Question 4.7 : Conclure quant au risque de condensation superficielle et dans la masse. En cas de risque de condensation, expliquer la ou les solutions techniques à mettre en œuvre pour éviter ce risque.
Étude 5 : intermittence de chauffage
On admet dans cette partie que l'ensemble de la zone « bureaux » est chauffée à 19°C et que l'ensemble des parois déperditives délimitant cette zone sont en contact avec l'extérieur.
La zone « bureaux » est alors caractérisée par une conductance totale entre intérieur et extérieur notée US (exprimée en kW ⋅ ^∘C^(− 1) ) et une capacité calorifique globale équivalente notée MC (exprimée en kJ ⋅ ^∘C^(− 1) ).
On envisage d'exploiter de manière intermittente l'installation thermique de cette zone inoccupée la nuit, en coupant le chauffage entre 18h et 7h du matin.
On considère dans la suite de l'étude une journée de 24 h, pendant laquelle la température extérieure Te est supposée demeurer constante et égale à 0 °C. On suppose que le régime permanent établi à une température Ti = 19^∘C dure toute la journée.
Question 5.1 : Montrer que US(T − T_e)dt + MCdT = 0 et expliquer les différents termes de cette équation.
Question 5.2 : Lorsque le chauffage est coupé, en déduire que l'expression de la température intérieure en fonction du temps est la suivante : T(t) = Te + A.e^(− (US)/(MC)), A étant une constante d'intégration.
Identifier la constante de temps du phénomène et conclure quant aux conditions d'isolation et d'inertie les plus favorables à l'économie d'énergie.
Question 5.3 : On coupe le chauffage à t = 0, en déduire l'expression de la constante A.
Question 5.4 : À l'aide des valeurs US = 0, 078 kW ⋅ ^∘C^(− 1) et MC = 7000 kJ ⋅ ^∘C^(− 1), déduire la température dans les bureaux à 7h du matin.
Le chauffage est relancé à 7h.
Question 5.5 : Établir l'expression de la montée en température des bureaux. En déduire la puissance de chauffage à installer pour obtenir une température de 19 °C à 9h (heure d'arrivée du personnel).
Question 5.6 : Comparer cette puissance avec celle nécessaire pour maintenir la température de 19 °C en continu dans les conditions extérieures de base, T_e = − 5^∘C. Conclure.
Étude 6 : installation géothermique
Cette partie traite de la possibilité d'installer une canalisation géothermique qui servira de source froide pour la pompe à chaleur. L'objectif est de déterminer à quelle profondeur il faut placer la canalisation géothermique pour que cette source reste à température constante ou varie peu.
On se place dans le repère cartésien de la figure 23. La surface du sol correspond au plan d'équation z = 0. La température au niveau de cette surface varie autour d'une température moyenne T_0 de manière sinusoïdale en fonction du temps :
T(0, t) = T_0 + αcos(ωt) où ω est la pulsation et α est une constante.
On considère un point M(x, y, z) dans le sol qui sera repéré en fonction de ses coordonnées, avec z ≥ 0. On cherche à déterminer le champ de température en M noté T(M, t).
Figure 23 : schéma du repère cartésien
La conduction thermique est régie par la loi de Fourier : φ⃗(M, t) = − λgrad^(→−)T(M, t) où φ⃗(M, t) est le vecteur densité de flux thermique λ est la conductivité thermique du sol T(M, t) est la température locale en un point M, au temps t
On pose θ(z, t) = T(z, t) − T_0 qui représente l'écart de température avec la température moyenne T_0. L'équation de la chaleur est la suivante :
ρc(∂θ(z, t))/(∂t) = λ(∂^2 θ(z, t))/(∂z^2)
On cherche à déterminer la solution de l'équation de la chaleur en régime sinusoïdal permanent. On introduit alors la variable complexe suivante :
θ_–(z, t) = f(z)e^(iωt), avec i^2 = − 1 et f(z) une fonction qui dépend de z.
L'inconnue θ(z, t) est la partie réelle de θ_–(z, t), soit θ(z, t) = Re(θ_–(z, t)).
Question 6.1 : Citer les quatre composants d'une pompe à chaleur et expliquer leurs rôles respectifs.
Question 6.2 : Déterminer l'équation différentielle vérifiée par f(z). On posera a = λ/(ρc), expliquer ce que représente cette constante.
Question 6.3 : Expliquer ce que représente physiquement la grandeur ω.
On donne − i = ((1 − i)/(√2))^2 où i est le nombre complexe tel que i^2 = − 1.
Question 6.4 : Montrer que la solution générale de l'équation différentielle vérifiée parf est :
f(z) = Ae^(i√(ω/(2a))z)e^(√(ω/(2a))z) + Be^(− i√(ω/(2a))z)e^(− √(ω/(2a))z) où A et B sont des constantes.
Question 6.5 : Déterminer l'une des constantes en étudiant la condition aux limites lorsque z tend vers + ∞. En déduire l'expression de f(z).
Question 6.6 : Montrer que θ_–(z, t) se met sous forme θ_–(z, t) = αe^(− z/δ)e^(i(ωt − z/δ)) où δ est une grandeur à exprimer en fonction de ω et a.
Question 6.7 : Exprimer T(z, t) en fonction des paramètres : T_0, δ, α et ω et des variables z et t. Interpréter physiquement l'expression obtenue et le paramètre δ.
Question 6.8 : Déterminer l'expression de la profondeur P pour laquelle l'amplitude des variations de température dans le sol est atténuée d'un facteur 10 par rapport à celle en surface du sol en fonction de δ.
Question 6.9 : On donne pour un sol humide a = 0, 258 ⋅ 10^(− 6) m^2 ⋅ s^(− 1). Calculer numériquement la valeur de P dans le cas de variations de températures quotidiennes. Conclure quant à la profondeur d'enfouissement de la canalisation géothermique.
DOCUMENT TECHNIQUE DT1 - Modélisation RSA de la structure étudiée
Modélisation RSA du portique hyperstatique en bois
Diagramme de l'effort normal du portique
Diagramme de l'effort tranchant du portique
Diagramme du moment fléchissant du portique
DOCUMENT TECHNIQUE DT2 - Formulaire de résistance des matériaux
TYPE DE CHARGE
SCHEMA
ÉQUATIONS DE V, M, ω ET f EN FONCTION DE x
A
Effort tranchant
de A à C :ω = − px(x^2 − 3ax + 3a^2)/(6EI); f = − px^2(x^2 − 4ax + 6a^2)/(24EI)
V = p(L − x)M = − p(L − x)^2/2; ω = − p(L^2 x − Lx^2 + x^3/3)/(2EI); f = − p(L^2 x^2/2 − Lx^3/3 + x^4/12)/(2EI)
Effort tranchant
Effort tranchant
Effort tranchant
de A à C : deC à B :V = pb; M = pbx + M_A; ω = pbx^2/(2EI) + M_A x/(EI); f = pbx^3/(6EI) + M_A x^2/(2EI)
DOCUMENT TECHNIQUE DT3 - Méthodes énergétiques et théorème de Castigliano
1. HYPOTHÈSES DES THEORM ES ENERGETIQUES
Les hypothèses sont:
-Forces de poids propre négligées (sauf mention explicite contraire).
-Loi de comportement du solide élastique linéaire.
-Aucun échange de chaleur entre le solide et l'extérieur. Aucune dissipation calorifique due aux frottements dans la matière ainsi qu'aux liaisons.
-Effets d'inertie négligés.
-Petits déplacements du solide, n'affectant pas les directions des efforts extérieurs appliqués (effets du second ordre négligés).
2 TRAVAIL DES FORCES EXTÉRIEURES SUR UNE STRUCTURE AU COMPORTEMENT ÉLASTIQUE LINÉAIRE
(F_1^(→−), F_2^(→−), …, F_i^(→−), …, F_n^(→−)) Forces extérieures appliquées sur la structure ( u_1, u_2, …, u_i, …, u_n ) Déplacements des points d'application des forces dans les directions et sens respectifs de chaque force.
Le travail des efforts extérieurs a pour expression : W_e = 1/2∑_(i = 1)^n F_i u_i
Remarque : la notion de force est prise au sens général. Pour un couple appliqué en A_i dont la section droite subirait la rotation θ_i, on
Dans le cas des treillis et autres systèmes sollicités uniquement en traction / compression :
W_i = 1/2∑_(i = 1)^n∫(N_i^2(x))/(E_i S_i(x))dx
4 Egalite DE CLAPEYRON
Le travail des forces extérieures appliquées à une structure au comportement élastique linéaire et vérifiant les hypothèses du § II. 1 est intégralement emmagasiné sous forme d'énergie élastique de déformation :
Théorème de Castigliano
Soit un solide (E) soumis à un ensemble de n forces données.
La dérivée partielle de l'énergie de déformation par rapport à la i ^(ème) force F⃗_i indépendante des autres est égale au déplacement algébrique u_i pris dans la direction et le sens de F⃗_i
(∂W_i(F_1, F_2, …, F_i, …, F_n))/(∂F_i) = u_i
Remarque : F_i et u_i sont pris au sens général ( F_i → C_i, u_i → θ_i )
Illustration
Nota: M, M', M^(′′), m, m^′, m^(′′) en valeur algébrique (c'est à dire >0, <0 ou = 0 )
Remarque : le produit résultant de l'intersection des deux configurations de moment est à multiplier par l'intervalle d'étude.
DOCUMENT TECHNIQUE DT5 - Théorème de la charge fictive
Soit un solide soumis à n forces F_i aux points (A_1, A_2, …, A_i, …, A_n). On veut connaître le déplacement au point A_(n + 1) dans la direction Δ. Ce déplacement est noté u_(n + 1).
Pour cela on applique une charge fictive F¯_(n + 1) de direction Δ en ce point.
Soit W_i(F_1, F_2, …, F_n, F¯_(n + 1)) l'énergie de déformation associée au nouveau chargement.
Le déplacement u_(n + 1) dans le système de chargement initial s'écrit donc :
Même année, CAPETCAPET sciences industrielles de l'ingénieur externe 2024, épreuve 1, option ingénierie mécaniqueCAPET · 2024Sujet seul
