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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2004

Epreuve de maths appliquees - ECE 2004

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Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireRéduction
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Banque
BCE
Année
2004
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2004ECE MathématiquesMathématiques 2004

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2004.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD

Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES

Option économique

Mardi 4 mai 2004, de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Le but de cet exercice est de calculer .
Pour tout de , on pose et on a, en particulier,
  1. Pour tout de , justifier l'existence de .
  2. Calculer et .
  3. a. Montrer que la suite ( ) est croissante.
    b. Montrer que: .
    c. En déduire que la suite ( ) est convergente.
  4. a. Pour tout de , écrire sous la forme d'une intégrale.
    b. En déduire que : .
    c. Donner la limite de la suite .
  5. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on pose .
    a. Justifier la convergence de l'intégrale définissant .
    b. Montrer que: .
    c. En déduire , puis donner la valeur de .

Exercice 2

On note l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à 2 . On note les fonctions définies, pour tout réel par et et on rappelle que est une base de .
Soit l'application qui à toute fonction polynomiale de associe la fonction , où est la dérivée seconde de l'application qui à tout réel associe .
  1. a. Montrer que est un endomorphisme de .
    b. Déterminer et en fonction de et .
    c. En déduire que la matrice de dans la base est .
    d. Montrer sans calcul que est un automorphisme de .
  2. a. Donner les valeurs propres de , puis en déduire que est diagonalisable.
    b. Déterminer les sous-espaces propres de .
  3. a. Justifier l'existence d'une matrice inversible dont la première ligne ne contient que des " 1 " telle que , où .
    b. Montrer que: .
  4. a. Déterminer la matrice .
    b. En déduire explicitement, en fonction de , la matrice .
    c. On dit qu'une suite de matrices ( ) tend vers la matrice , lorsque tend vers , si chaque coefficient de tend vers le coefficient situé à la même place dans .
    On pose . Montrer que la suite ( ) tend vers une matrice vérifiant .

Exercice 3

On désigne par un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On lance fois une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant "pile" avec la probabilité et "face" également avec la probabilité ), les lancers étant supposés indépendants.
On note la variable aléatoire qui vaut 0 si l'on n'obtient aucun "pile" pendant ces lancers et qui, dans le cas contraire, prend pour valeur le rang du premier "pile".
  1. a. Déterminer, en argumentant soigneusement, l'ensemble .
    b. Pour tout de , calculer . On distinguera les cas et .
    c. Vérifier que .
    d. On rappelle que l'instruction "random(2)" renvoie un nombre au hasard parmi les nombres 0 et 1 . Recopier et compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience décrite ci-dessus, l'entier étant entré au clavier par l'utilisateur ("pile" sera codé par le nombre 1 et "face" par 0 ).
    Program EDHEC2004 ;
    var , lancer : integer ;
    Begin
    Randomize ;
    Readln ;
    Repeat
    ; lancer : ;
    If (lancer ) then .......... ;
    until (lancer or . ) ;
    Writeln (z) ; end.
On dispose de urnes telles que pour tout de , l'urne contient boules blanches et boules noires.
On effectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable prend la valeur (avec ), alors on tire une par une et avec remise, boules dans l'urne et l'on note la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à l'issue de ces tirages. Si la variable a pris la valeur 0 , aucun tirage n'est effectué et prend la valeur 0 .
2) Déterminer .
3) a. Déterminer, en distinguant les cas et , la probabilité .
b. Déterminer, en distinguant les cas et , la probabilité .
c. Pour tout de déterminer, en distinguant les cas et , la probabilité conditionnelle .
4) a. Montrer que .
b. Montrer que .
c. Exprimer, pour tout de sous forme d'une somme que l'on ne cherchera pas à réduire.
5) Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que .

Problème

Dans ce problème, la lettre désigne un entier naturel non nul.
On note la fonction définie sur par : si et .
On note ( ) la courbe représentative de dans un repère orthonormé ( ).
  1. a. Montrer que est continue à droite en 0 .
    b. Montrer que est dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en .
  2. a. Montrer que est dérivable sur et sur . Pour tout réel non nul, calculer puis étudier son signe.
    b. Calculer les limites de en et , puis donner le tableau de variation de .
  3. a. Rappeler le développement limité à l'ordre 2 de lorsque est au voisinage de 0 .
    b. En déduire que, lorsque est au voisinage de ou au voisinage de , on a :
c. En déduire qu'au voisinage de , ainsi qu'au voisinage de admet une asymptote "oblique" dont on donnera une équation. Préciser la position relative de et aux voisinages de et de .
d. Donner l'allure de la courbe ( ).
4) a. Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera , tel que .
b. Vérifier que, pour tout de est strictement supérieur à 1 et que est solution de l'équation .
c. Étudier la fonction définie sur par . En déduire, en utilisant la fonction , que .
d. Justifier la relation , puis montrer que .
En déduire un équivalent de lorsque est au voisinage de .
5) a. Montrer que la suite est strictement croissante.
b. Montrer que : .
6) On pose .
a. Montrer que : .
b. En déduire un équivalent de lorsque est au voisinage de .
c. Montrer alors que la série de terme général est divergente.

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