BCE Maths appliquées EDHEC ECE 2004Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2004

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Présentation du sujet

Calcul de limite d'intégrale, diagonalisation d'un endomorphisme, expérience aléatoire en deux étapes et étude de fonction

Le sujet comporte trois exercices et un problème. L'exercice 1 calcule, par encadrement, la limite d'une intégrale dépendant d'un paramètre entier. L'exercice 2 diagonalise un endomorphisme de dérivation seconde sur les polynômes de degré au plus 2 et étudie la convergence de ses puissances normalisées. L'exercice 3 étudie une expérience aléatoire combinant un jeu de pile ou face et des tirages dans des urnes dépendant du résultat. Le problème étudie une famille de fonctions x*exp(-n/x), leurs asymptotes, une suite implicitement définie et une série associée.

1Exercice 1 : calcul d'une limite d'intégraleOn étudie la monotonie et la convergence de la suite des intégrales de 1/(1+t+t^n) sur [0,1] puis sur [1,+infini[, pour en déduire la limite de l'intégrale sur [0,+infini[.
2Exercice 2 : diagonalisation d'un endomorphismeOn détermine la matrice, les valeurs propres et les sous-espaces propres d'un endomorphisme de dérivation seconde pondérée sur les polynômes, puis on calcule ses puissances et on étudie la convergence de la suite des puissances normalisées.
3Exercice 3 : expérience aléatoire à deux étapesOn étudie la loi du rang du premier pile obtenu lors de n lancers, puis celle du nombre de boules blanches tirées dans une urne dont le contenu dépend de ce rang.
4Problème : étude de la famille de fonctions x*exp(-n/x)On étudie les variations, les asymptotes obliques et une suite (u_n) définie implicitement par f_n(u_n)=1, avant d'étudier une suite d'intégrales I_n et la divergence de la série associée.

Description

Annale de maths appliquées BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2004.

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La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

Le but de cet exercice est de calculer

lim_(n \to + \infty)\int_0^(+ \infty)1/(1 + t + t^n)dt

.
Pour tout

n

ℕ

, on pose

u_n = \int_0^1 1/(1 + t + t^n)dt

et on a, en particulier,

u_0 = \int_0^1 1/(2 + t)dt

Pour tout $n$ de $ℕ$ , justifier l'existence de $u_n$ .
Calculer $u_0$ et $u_1$ .
a. Montrer que la suite ( $u_n$ ) est croissante.
b. Montrer que: $\foralln \in ℕ, u_n \leq ln2$ .
c. En déduire que la suite ( $u_n$ ) est convergente.
a. Pour tout $n$ de $ℕ$ , écrire $ln2 - u_n$ sous la forme d'une intégrale.
b. En déduire que : $\foralln \in ℕ, ln2 - u_n \leq 1/(n + 1)$ .
c. Donner la limite de la suite $(u_n)$ .
Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 , on pose $v_n = \int_1^(+ \infty)1/(1 + t + t^n)dt$ .
a. Justifier la convergence de l'intégrale définissant $v_n$ .
b. Montrer que: $\foralln \geq 2, 0 \leq v_n \leq 1/(n - 1)$ .
c. En déduire $lim_(n \to + \infty)v_n$ , puis donner la valeur de $lim_(n \to + \infty)\int_0^(+ \infty)1/(1 + t + t^n)dt$ .

Exercice 2

On note

E

l'espace vectoriel des fonctions polynomiales réelles de degré inférieur ou égal à 2 . On note

e_0, e_1, e_2

les fonctions définies, pour tout réel

x

par

e_0(x) = 1, e_1(x) = x

e_2(x) = x^2

et on rappelle que

B = (e_0, e_1, e_2)

est une base de

E

.
Soit

f

l'application qui à toute fonction polynomiale

P

E

associe la fonction

Q = f(P)

, où

Q

est la dérivée seconde de l'application qui à tout réel

x

associe

(x^2 - x)P(x)

a. Montrer que $f$ est un endomorphisme de $E$ .
b. Déterminer $f(e_0), f(e_1)$ et $f(e_2)$ en fonction de $e_0, e_1$ et $e_2$ .
c. En déduire que la matrice de $f$ dans la base $B$ est $A = (2, - 2, 0; 0, 6, - 6; 0, 0, 12)$ .
d. Montrer sans calcul que $f$ est un automorphisme de $E$ .
a. Donner les valeurs propres de $f$ , puis en déduire que $f$ est diagonalisable.
b. Déterminer les sous-espaces propres de $f$ .
a. Justifier l'existence d'une matrice $P$ inversible dont la première ligne ne contient que des " 1 " telle que $A = PDP^(- 1)$ , où $D = (2, 0, 0; 0, 6, 0; 0, 0, 12)$ .
b. Montrer que: $\foralln \in ℕ, A^n = PD^n P^(- 1)$ .
a. Déterminer la matrice $P^(- 1)$ .
b. En déduire explicitement, en fonction de $n$ , la matrice $A^n$ .
c. On dit qu'une suite de matrices ( $M_n$ ) tend vers la matrice $M$ , lorsque $n$ tend vers $+ \infty$ , si chaque coefficient de $M_n$ tend vers le coefficient situé à la même place dans $M$ .
On pose $B = 1/(12)A$ . Montrer que la suite ( $B^n$ ) tend vers une matrice $J$ vérifiant $J^2 = J$ .

Exercice 3

On désigne par

n

un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On lance

n

fois une pièce équilibrée (c'est-à-dire donnant "pile" avec la probabilité

1/2

et "face" également avec la probabilité

1/2

), les lancers étant supposés indépendants.
On note

Z

la variable aléatoire qui vaut 0 si l'on n'obtient aucun "pile" pendant ces

n

lancers et qui, dans le cas contraire, prend pour valeur le rang du premier "pile".

a. Déterminer, en argumentant soigneusement, l'ensemble $Z(Ω)$ .
b. Pour tout $k$ de $Z(Ω)$ , calculer $P(Z = k)$ . On distinguera les cas $k = 0$ et $k \geq 1$ .
c. Vérifier que $\sum_(k \in Z(Ω))P(Z = k) = 1$ .
d. On rappelle que l'instruction "random(2)" renvoie un nombre au hasard parmi les nombres 0 et 1 . Recopier et compléter le programme suivant pour qu'il simule l'expérience décrite ci-dessus, l'entier $n$ étant entré au clavier par l'utilisateur ("pile" sera codé par le nombre 1 et "face" par 0 ).
Program EDHEC2004 ;
var $k, n, z$ , lancer : integer ;
Begin
Randomize ;
Readln $(n); k:=0; z:=0$ ;
Repeat
$k:=k + 1$ ; lancer : $= random(2)$ ;
If (lancer $= 1$ ) then .......... ;
until (lancer $= 1$ or $\dots\dots\dots$ . ) ;
Writeln (z) ; end.

On dispose de

n + 1

urnes

U_0, U_1, \dots, U_n

telles que pour tout

k

{0, 1, \dots, n}

, l'urne

U_k

contient

k

boules blanches et

n - k

boules noires.
On effectue des tirages d'une boule, au hasard et avec remise dans ces urnes de la façon suivante : si après les lancers de la pièce décrits dans la première question, la variable

Z

prend la valeur

k

(avec

k \geq 1

), alors on tire une par une et avec remise,

k

boules dans l'urne

U_k

et l'on note

X

la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues à l'issue de ces tirages. Si la variable

Z

a pris la valeur 0 , aucun tirage n'est effectué et

X

prend la valeur 0 .
2) Déterminer

X(Ω)

.
3) a. Déterminer, en distinguant les cas

i = 0

1 \leq i \leq n

, la probabilité

P(X = i/Z = 0)

.
b. Déterminer, en distinguant les cas

i = n

0 \leq i \leq n - 1

, la probabilité

P(X = i/Z = n)

.
c. Pour tout

k

{1, 2, \dots, n - 1}

déterminer, en distinguant les cas

0 \leq i \leq k

k < i \leq n

, la probabilité conditionnelle

P(X = i/Z = k)

.
4) a. Montrer que

P(X = 0) = \sum_(k = 1)^(n - 1)((n - k)/(2n))^k + 1/(2^n)

.
b. Montrer que

P(X = n) = 1/(2^n)

.
c. Exprimer, pour tout

i

{1, 2, \dots, n - 1}, P(X = i)

sous forme d'une somme que l'on ne cherchera pas à réduire.
5) Vérifier, avec les expressions trouvées à la question précédente, que

\sum_(i = 0)^n P(X = i) = 1

Problème

Dans ce problème, la lettre

n

désigne un entier naturel non nul.
On note

f_n

la fonction définie sur

ℝ

par :

f_n(x) = xe^(- n/x)

x \neq 0

f_n(0) = 0

.
On note (

C_n

) la courbe représentative de

f_n

dans un repère orthonormé (

O, i⃗, j⃗

a. Montrer que $f_n$ est continue à droite en 0 .
b. Montrer que $f_n$ est dérivable à droite en 0 et donner la valeur du nombre dérivé à droite en $0def_n$ .
a. Montrer que $f_n$ est dérivable sur $] - \infty, 0[$ et sur $]0, + \infty[$ . Pour tout réel $x$ non nul, calculer $f_n^'(x)$ puis étudier son signe.
b. Calculer les limites de $f_n$ en $+ \infty, - \infty$ et $0^-$ , puis donner le tableau de variation de $f_n$ .
a. Rappeler le développement limité à l'ordre 2 de $e^u$ lorsque $u$ est au voisinage de 0 .
b. En déduire que, lorsque $x$ est au voisinage de $+ \infty$ ou au voisinage de $- \infty$ , on a :

f_n(x) = x - n + (n^2)/(2x) + o(1/x)

c. En déduire qu'au voisinage de

+ \infty

, ainsi qu'au voisinage de

- \infty, (C_n)

admet une asymptote "oblique"

(D_n)

dont on donnera une équation. Préciser la position relative de

(D_n)

(C_n)

aux voisinages de

+ \infty

et de

- \infty

.
d. Donner l'allure de la courbe (

C_1

).
4) a. Montrer qu'il existe un unique réel, que l'on notera

u_n

, tel que

f_n(u_n) = 1

.
b. Vérifier que, pour tout

n

ℕ^*, u_n

est strictement supérieur à 1 et que

u_n

est solution de l'équation

xln(x) = n

.
c. Étudier la fonction

g

définie sur

[1, + \infty[

par

g(x) = xlnx

. En déduire, en utilisant la fonction

g^(- 1)

, que

lim_(n \to + \infty)u_n = + \infty

.
d. Justifier la relation

lnu_n + ln(lnu_n) = lnn

, puis montrer que

lnu_n \sim lnn

En déduire un équivalent de

u_n

lorsque

n

est au voisinage de

+ \infty

.
5) a. Montrer que la suite

(u_n)_(n \geq 1)

est strictement croissante.
b. Montrer que :

f_n(u_(n + 1)) = e^(1/(u_(n + 1)))

.
6) On pose

I_n = \int_(u_n)^(u_(n + 1))f_n(t)dt

.
a. Montrer que :

1 \leq (I_n)/(u_(n + 1) - u_n) \leq e^(1/(u_(n + 1)))

.
b. En déduire un équivalent de

I_n

lorsque

n

est au voisinage de

+ \infty

.
c. Montrer alors que la série de terme général

I_n

est divergente.

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths appliquées EDHEC ECE 2004 ?

Il porte sur les suites et intégrales à paramètre, la diagonalisation des endomorphismes, les probabilités conditionnelles et l'étude de fonctions avec asymptotes et suites implicites.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les trois exercices et le problème sont indépendants les uns des autres ; à l'intérieur de l'exercice 3, les deux premières questions sur le jeu de pile ou face précèdent l'étude des tirages dans les urnes qui en dépendent.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La convergence des suites monotones bornées, la diagonalisation des matrices et le calcul de leurs puissances, les probabilités conditionnelles, et les développements limités pour l'étude d'asymptotes.

Le sujet demande-t-il de programmer ?

Une question de l'exercice 3 demande de compléter un programme Pascal simulant l'expérience de pile ou face décrite dans l'énoncé.

Pas de description pour le moment

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