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BCE Maths appliquees EDHEC ECE 2016

Epreuve de maths appliquees - ECE 2016

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Probabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesRéductionFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Séries et familles sommablesInformatique
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Banque
BCE
Année
2016
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2016ECE MathématiquesMathématiques 2016

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Description

Annale de maths appliquees BCE EDHEC pour la filiere ECE, session 2016.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
36482381-51c0-4c5d-a7e4-cd3371092083

Conception : EDHEC

OPTION ÉCONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

mardi 3 mai 2016, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On désigne par l'endomorphisme identité de et par la matrice identité de .
On note la base canonique de et on considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est : .
  1. Calculer puis déterminer un polynôme annulateur de de degré 2 .
  2. a) En déduire la seule valeur propre de (donc aussi de ).
    b) La matrice est-elle diagonalisable ? Est-elle inversible ?
  3. Déterminer une base ( ) du sous-espace propre de associé à la valeur propre de .
  4. a) On pose . Montrer que la famille ( ) est une base de .
    b) Vérifier que la matrice de dans la base ( ) est triangulaire et que ses éléments diagonaux sont tous égaux à 2 .
    c) En écrivant , déterminer, pour tout entier naturel , la matrice comme combinaison linéaire de et , puis de et .
  5. a) Expliquer pourquoi l'on a :
b) Utiliser le polynôme annulateur obtenu à la première question pour déterminer en fonction de et de .
c) Vérifier que la formule trouvée à la question 5a) reste valable pour .

Exercice 2

Pour chaque entier naturel , on définit la fonction par: .
  1. Étude de .
    a) Montrer que est de classe sur puis déterminer pour tout de . Donner le sens de variation de .
    b) En minorant , établir que .
    c) En déduire que pour chaque entier naturel , il existe un unique réel, noté , élément de , tel que .
  2. Étude de la suite ( ).
    a) Montrer que .
    b) Montrer que: .
  3. a) Utiliser la question 2b) pour compléter les commandes Scilab suivantes afin qu'elles permettent d'afficher un entier pour lequel est inférieur ou égal à .

    while -------
    n = ------
    end
    disp(n)
    b) Le script ci-dessus affiche l'une des trois valeurs et . Préciser laquelle en prenant 2,3 comme valeur approchée de .
  4. On pose .
    a) Montrer que .
    b) Établir que, pour tout réel supérieur ou égal à -1 , on a : .
    c) Vérifier ensuite que : .
    d) Déduire de l'encadrement obtenu en 2b) que : .

Exercice 3

Dans cet exercice, toutes les variables aléatoires sont supposées définies sur un même espace probabilisé ( ). On désigne par un réel de .
On considère deux variables aléatoires indépendantes et , telles que suit la loi uniforme sur , et suit la loi uniforme sur .
On considère également une variable aléatoire , indépendante de et , dont la loi est donnée par :
Enfin, on note la variable aléatoire, définie par :
On note et les fonctions de répartition respectives des variables et .
  1. Donner les expressions de et selon les valeurs de .
  2. a) Établir, grâce au système complet d'événements , que :
b) Vérifier que puis expliciter dans les cas :
c) On admet que est une variable à densité. Donner une densité de la variable aléatoire .
d) Établir que admet une espérance et une variance , puis les déterminer.
3) On se propose de montrer d'une autre façon que possède une espérance et un moment d'ordre 2 puis de les déterminer.
a) Vérifier que l'on a: .
b) Déduire de l'égalité précédente que possède une espérance et retrouver la valeur de .
c) En déduire également que possède un moment d'ordre 2 et retrouver la valeur de .
4) a) Soit une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre . Déterminer la loi de .
b) On rappelle que grand( 1,1 , 'unf', ) et sont des commandes Scilab permettant de simuler respectivement une variable aléatoire à densité suivant la loi uniforme sur et une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
Écrire des commandes Scilab permettant de simuler , puis .

Problème

Partie 1 : questions préliminaires.

Dans cette partie, désigne un réel élément de .
  1. a) Pour tout de et pour tout de , simplifier la somme .
    b) En déduire que : .
    c) Établir par encadrement que l'on a: .
    d) En déduire que : .
  2. Soit un entier naturel fixé. À l'aide de la formule du triangle de Pascal, établir l'égalité :
  1. Soit un entier naturel non nul. On considère une suite de variables aléatoires, mutuellement indépendantes, suivant toutes la loi géométrique de paramètre , et on pose .
    a) Déterminer puis établir que, pour tout entier supérieur ou égal à , on a:
b) En déduire, par récurrence sur , que la loi de est donnée par :
c) En déduire, pour tout de et pour tout entier naturel non nul :
d) On rappelle que la commande grand( , 'geom', p ) permet à Scilab de simuler variables aléatoires indépendantes suivant toutes la loi géométrique de paramètre .
Compléter les commandes Scilab suivantes pour qu'elles simulent la variable aléatoire .
n = input('entrez une valeur de n supérieure à 1 : ')
S = ------
disp(S)

Partie 2 : étude d'une variable aléatoire.

Dans cette partie, on désigne par un réel de et on pose .
On considère la suite définie par :
  1. a) Vérifier que la suite est à termes positifs.
    b) Montrer, en utilisant un résultat de la partie 1, que .
On considère dorénavant une variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par :
  1. a) Montrer que possède une espérance et la déterminer.
    b) Montrer également que possède une variance et vérifier que : .
  2. Soit un entier naturel non nul. On considère une variable aléatoire dont la loi, conditionnellement à l'événement ( ), est la loi binomiale de paramètres et .
    a) Montrer que puis utiliser la formule des probabilités totales, ainsi que la question 1) de la partie 1 , pour montrer que :
b) Après avoir montré que, pour tout couple de , on a , établir que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
En déduire, grâce à la question 3) de la première partie, l'égalité :
c) Vérifier que l'on a .
d) Montrer que possède une espérance et donner son expression en fonction de et .
e) Montrer aussi que possède une variance et que l'on a :

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