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OPTION ECONOMIQUE

MATHÉMATIQUES

Exercice 1

1. a) Déterminer .
   b) En déduire que est inversible et écrire comme combinaison linéaire de et .
2. On pose .
   a) Exprimer pour tout entier naturel , la matrice comme combinaison linéaire de et , puis l'écrire comme combinaison linéaire de et .
   b) Vérifier que l'expression précédente est aussi valable pour .
3. a) Utiliser la première question pour déterminer la seule valeur propre de .
   b) En déduire si est ou n'est pas diagonalisable.
4. On pose et .
   a) Montrer que le rang de est égal à 1 .
   b) Justifier que ( ) est une base de .
5. a) Montrer que la famille ( ) est une base de .
   b) Déterminer la matrice de dans cette même base.
6. Soit la matrice . Justifier l'inversibilité de puis écrire la relation existant entre les matrices et .
7. On note ( ) la base canonique de et on rappelle que, pour tout de , la matrice n'a que des coefficients nuls sauf celui situé à l'intersection de la -ième ligne et de la -ième colonne qui vaut 1 .
   a) Montrer que l'ensemble des matrices qui commutent avec , c'est-à-dire des matrices vérifiant l'égalité , est le sous-espace vectoriel de engendré par la famille ( ). Vérifier que la dimension de est égale à 5 .
   b) Soit une matrice quelconque de . Établir l'équivalence :

Exercice 2

1. Donner l'ensemble des valeurs que peut prendre la variable .
2. a) Pour tout de , justifier que .
   b) Utiliser la formule des probabilités composées pour trouver , pour tout de .
   c) Reconnaître la loi de et donner son espérance et sa variance.
3. On note la variable aléatoire qui vaut 1 si la boule numérotée 1 a été piochée lors de l'expérience précédente, et qui vaut 0 sinon.
   a) Pour tout de , montrer, toujours grâce à la formule des probabilités composées, que :

n=input('entrez une valeur pour n : ')
nB=n-1
X=1
u=grand(1,1,'uin',1,nB+1)
while u<nB+1
    nB=----
    u=grand(1,1,'uin',1,----)
    X=----
end
disp(X, 'la boule noire est apparue au tirage numéro')

n=input('entrez une valeur pour n :')
nB=n-1
X=1
Y=----
u=grand(1,1,'uin',1,nB+1)
while u<nB+1
    nB=----
    if u==1 then Y=----
    end
    u=grand(1,1,'uin',1,----)
    X=----
end
disp(X,'la boule noire est apparue au tirage numéro')
disp(Y,'la valeur de Y est')

Exercice 3

1. Déterminer et .
2. a) Montrer que la suite ( ) est décroissante.
   b) En déduire que la suite ( ) est convergente.
3. On se propose dans cette question de déterminer la limite de la suite ( ).
   a) Rappeler la valeur de l'intégrale .
   b) En déduire la valeur de l'intégrale puis celle de .
   c) Montrer que, pour tout réel , on a : .
   d) En déduire que : puis donner la limite de la suite .
4. Calculer puis montrer que . Que peut-on en déduire en ce qui concerne la série de terme général ?
5. a) Établir, grâce à une intégration par parties, que, pour tout entier naturel , on a :

6. Informatique.

n=input('entrez une valeur pour n :')
x=1:n
m=2*n+1
y=1:m
v=----
w=----
u=----*v^2/w
disp(u)

Problème

Partie 1 : étude de quelques propriétés d'une variable aléatoire

1. Montrer que peut être considérée comme une densité.

Partie 2 : simulation de

6. On pose et on admet que est une variable aléatoire définie sur le même espace probabilisé que . On note sa fonction de répartition.
   a) Pour tout réel , exprimer à l'aide de la fonction .
   b) En déduire que suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.
7. On rappelle qu'en Scilab, la commande grand( 1,1 , 'exp', 1 /lambda) simule une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre . Écrire des commandes Scilab utilisant grand et permettant de simuler .

Partie 3 : estimation d'un paramètre