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BCE Maths appliquées emlyon ECE 2007Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2007

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Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2007.

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BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

CODE SUJET; 296; EML_M ATS

Concepteur : EM LYON

Première épreuve (option économique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 30 avril 2007 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

TOURNEZ S.V.P.

Exercice 1

On considère la matrice carrée d'ordre trois suivante :
A = (0, 1/2, 1/2; 1/2, 0, 1/2; 1/2, 1/2, 0).
  1. Montrer, sans calcul, que A est diagonalisable.
  2. Déterminer une matrice diagonale D et une matrice inversible et symétrique P, de première ligne (1, 1, 1) et de deuxième ligne (1, − 1, 0), telles que A = PDP^(− 1).
    Calculer P^(− 1).
  3. Déterminer, pour tout n ∈ ℕ^∗, la matrice A^n par ses éléments.
  4. Soient u_0, v_0, w_0 trois nombres réels positifs ou nuls tels que u_0 + v_0 + w_0 = 1.
On note X_0 = (u_0; v_0; w_0) et, pour tout n ∈ ℕ^∗, X_n = (u_n; v_n; w_n) la matrice colonne définie par la relation de récurrence : X_n = AX_(n − 1).
a. Montrer, pour tout n ∈ ℕ : X_n = A^n X_0.
b. En déduire, pour tout n ∈ ℕ :
{u_n = 1/3 + (u_0 − 1/3)(− 1/2)^n; v_n = 1/3 + (v_0 − 1/3)(− 1/2)^n; w_n = 1/3 + (w_0 − 1/3)(− 1/2)^n
c. Déterminer les limites respectives u, v, w de u_n, v_n, w_n lorsque le nombre entier n tend vers l'infini.
On note, pour tout n ∈ ℕ : d_n = √((u_n − u)^2 + (v_n − v)^2 + (w_n − w)^2).
d. Montrer, pour tout n ∈ ℕ : d_n ⩽ 1/(2^(n − 1)).
e. Déterminer un entier naturel n tel que : d_n ⩽ 10^(− 2).

Exercice 2

Préliminaire

On donne : 0, 69 < ln2 < 0, 70.
On considère l'application :
g : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ, x ⟼ g(x) = x^2 + lnx
  1. Montrer que g est continue et strictement croissante sur ] 0; + ∞ [ et déterminer les limites de g en 0 et en + ∞.
  2. Montrer que l'équation g(x) = 0, d'inconnue x ∈ ]0; + ∞[, admet une solution et une seule.
On note α l'unique solution de cette équation.
3. Montrer : 1/2 < α < 1.

Partie A

On note I = [1/2; 1] et on considère l'application :
f : I ⟶ ℝ, x ⟼ f(x) = x − 1/4x^2 − 1/4lnx
  1. a. Montrer que f est strictement croissante sur I.
    b. Montrer : 1/2 < f(1/2) < f(1) < 1.
    c. En déduire : ∀x ∈ I, f(x) ∈ I.
  2. On considère la suite réelle (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f(u_n).
    a. Calculer u_1.
    b. Montrer : ∀n ∈ ℕ, u_n ∈ I.
    c. Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) est décroissante.
    d. Montrer que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge et que sa limite est le réel α.

Partie B

On considère l'application :
F : ℝ_+^∗ × ℝ ⟶ ℝ, (x, y) ⟼ F(x, y) = xe^y + ylnx.
  1. a. Montrer que F est de classe C^1 sur ℝ_+^∗ × ℝ et calculer les dérivées partielles premières de F en tout point (x, y) de ℝ_+^∗ × ℝ.
    b. Montrer que F admet un point critique et un seul que l'on exprimera à l'aide du nombre réel α.
  2. Est-ce que F admet un extremum local ?

Exercice 3

  1. On considère l'application f : ℝ ⟶ ℝ définie pour tout nombre réel x par :
{f(x) = e^(− x), si x > 0; f(x) = 0, si x ⩽ 0
Montrer que f est une densité de probabilité.
On considère une variable aléatoire X admettant f pour densité.
2. On définit la variable aléatoire discrète Y à valeurs dans ℕ de la façon suivante :
  • l'événement ( Y = 0 ) est égal l'événement ( X < 1 ),
★ pour tout nombre entier strictement positif n, l'événement (Y = n) est égal à l'événement ( n ⩽ X < n + 1 ).
a. Montrer, pour tout entier naturel n : P(Y = n) = (1 − 1/e)e^(− n).
b. Montrer que la variable aléatoire Y + 1 suit une loi géométrique dont on précisera le paramètre. En déduire l'espérance et la variance de Y.
c. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il simule la variable aléatoire Y.
program eml2007;
var y:integer; u:real;
begin
    randomize;
    u:=random; y:=...;
    while ... do.
        ... ... ...
    writeln('y vaut ', y);
end.
  1. Soit U une variable de Bernoulli telle que P(U = 1) = P(U = 0) = 1/2.
On suppose que les variables aléatoires U et Y sont indépendantes.
Soit la variable aléatoire T = (2U − 1)Y, produit des variables aléatoires 2U − 1 et Y.
Ainsi, T est une variable aléatoire discrète à valeurs dans ℤ, l'ensemble des entiers relatifs.
a. Montrer que la variable aléatoire T admet une espérance E(T) et calculer E(T).
b. Vérifier que T^2 = Y^2.
En déduire que la variable aléatoire T admet une variance V(T) et calculer V(T).
c. Pour tout nombre entier relatif n, calculer la probabilité P(T = n).
4. Soit la variable aléatoire D = X − Y. On note F_D la fonction de répartition de D.
a. Justifier : ∀t ∈ ] − ∞; 0[, F_D(t) = 0, et : ∀t ∈ [1; + ∞[, F_D(t) = 1.
b. Soit t ∈ [0; 1[. Exprimer l'événement (D ⩽ t) à l'aide des événements (n ⩽ X ⩽ n + t), n ∈ ℕ.
c. Pour tout nombre réel t ∈ [0; 1[ et pour tout nombre entier naturel n, calculer la probabilité P(n ⩽ X ⩽ n + t).
d. Montrer : ∀t ∈ [0; 1[, F_D(t) = (1 − e^(− t))/(1 − e^(− 1)).
e. Montrer que D est une variable aléatoire à densité. Déterminer une densité de D.

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