BCE Maths appliquees emlyon ECE 2007
Epreuve de maths appliquees - ECE 2007
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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesIntégrales généralisées
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2007.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
Concepteur : EM LYON
Première épreuve (option économique)
MATHÉMATIQUES
Lundi 30 avril 2007 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Exercice 1
On considère la matrice carrée d'ordre trois suivante :
- Montrer, sans calcul, que
est diagonalisable. - Déterminer une matrice diagonale
et une matrice inversible et symétrique , de première ligne et de deuxième ligne , telles que .
Calculer. - Déterminer, pour tout
, la matrice par ses éléments. - Soient
trois nombres réels positifs ou nuls tels que .
On note
a. Montrer, pour tout
b. En déduire, pour tout
a. Montrer, pour tout
b. En déduire, pour tout
c. Déterminer les limites respectives
On note, pour tout
d. Montrer, pour tout
e. Déterminer un entier naturel
d. Montrer, pour tout
e. Déterminer un entier naturel
Exercice 2
Préliminaire
On donne :
On considère l'application :
On considère l'application :
- Montrer que
est continue et strictement croissante sur ] [ et déterminer les limites de en 0 et en . - Montrer que l'équation
, d'inconnue , admet une solution et une seule.
On note
3. Montrer :
3. Montrer :
Partie A
On note
- a. Montrer que
est strictement croissante sur .
b. Montrer :.
c. En déduire :. - On considère la suite réelle
définie par et, pour tout .
a. Calculer.
b. Montrer :.
c. Montrer que la suiteest décroissante.
d. Montrer que la suiteconverge et que sa limite est le réel .
Partie B
On considère l'application :
- a. Montrer que
est de classe sur et calculer les dérivées partielles premières de en tout point de .
b. Montrer queadmet un point critique et un seul que l'on exprimera à l'aide du nombre réel . - Est-ce que
admet un extremum local ?
Exercice 3
- On considère l'application
définie pour tout nombre réel par :
Montrer que
On considère une variable aléatoire
2. On définit la variable aléatoire discrète
On considère une variable aléatoire
2. On définit la variable aléatoire discrète
- l'événement (
) est égal l'événement ( ),
★ pour tout nombre entier strictement positif
a. Montrer, pour tout entier naturel
b. Montrer que la variable aléatoire
c. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il simule la variable aléatoire
a. Montrer, pour tout entier naturel
b. Montrer que la variable aléatoire
c. Recopier et compléter le programme ci-dessous pour qu'il simule la variable aléatoire
program eml2007;
var y:integer; u:real;
begin
randomize;
u:=random; y:=...;
while ... do.
... ... ...
writeln('y vaut ', y);
end.
- Soit
une variable de Bernoulli telle que .
On suppose que les variables aléatoires
Soit la variable aléatoire
Ainsi,
a. Montrer que la variable aléatoire
b. Vérifier que
Soit la variable aléatoire
Ainsi,
a. Montrer que la variable aléatoire
b. Vérifier que
En déduire que la variable aléatoire
c. Pour tout nombre entier relatif
4. Soit la variable aléatoire
a. Justifier :
b. Soit
c. Pour tout nombre réel
d. Montrer :
e. Montrer que
c. Pour tout nombre entier relatif
4. Soit la variable aléatoire
a. Justifier :
b. Soit
c. Pour tout nombre réel
d. Montrer :
e. Montrer que
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