WikiPrépaLivrets

BCE Maths appliquées emlyon ECE 2009Sujet, corrigé et rapport du jury

Epreuve de maths appliquées - ECE 2009

Pas encore noté
Logo concours BCE

Explorer les annales

BanqueBCEAnnée2009FilièreECEMatièreMathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2009ECE MathématiquesMathématiques 2009

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)
Corrigé
Rapport du juryLire en ligneLaTeXWord
Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Difficulté moyenne
Étude d'une fonction et de sa fonction intégrale, racine carrée d'une matrice, loi géométrique
Afficher ou masquer la section

L'épreuve comporte trois exercices indépendants. Le premier étudie une fonction définie par morceaux, une suite récurrente associée puis une fonction définie par une intégrale. Le deuxième porte sur la réduction d'une matrice carrée d'ordre trois et la recherche d'une racine carrée matricielle. Le troisième, sur les probabilités, fait intervenir la loi géométrique.

  1. 1Exercice 1, partie I : étude d'une fonctionpremière annéeContinuité, dérivabilité de classe C1, variations et asymptote d'une fonction définie par morceaux.
  2. 2Exercice 1, partie II : suite récurrente associéepremière annéePoint fixe de la fonction, majoration de l'écart et convergence de la suite récurrente, algorithme Pascal.
  3. 3Exercice 1, partie III : fonction définie par une intégralepremière annéeCaractère C1 et variations d'une fonction G définie par une intégrale dépendant d'une borne.
  4. 4Exercice 2 : réduction et racine carrée d'une matricepremière annéeDiagonalisation d'une matrice d'ordre trois puis recherche d'une matrice N telle que N² soit diagonale.
  5. 5Exercice 3 : probabilités et loi géométriquepremière annéeÉtude de variables aléatoires liées par une loi géométrique et manipulation de séries de probabilités.

Difficulté moyenne. Le rapport qualifie le sujet de très bon sujet progressif, bien gradué en difficulté dans chaque exercice, avec une moyenne de 10,41/20 sur l'ensemble de l'épreuve.

L'épreuve en chiffres

Moyenne 10,41 / 20
Afficher ou masquer la section
Moyenne
10,41/ 20

Source : rapport du jury. Notes publiées par le concours (après harmonisation le cas échéant). Courbe : estimation par une loi normale.

Ce qu'a observé le jury

5 erreurs relevées
Oubli récurrent du cas particulier x = 0 · Manque de rigueur avec les valeurs absolues · Tableaux de variations incohérents pour G
Afficher ou masquer la section

Les correcteurs jugent le sujet progressif, couvrant une large partie des connaissances exigibles, notamment de première année, et bien adapté à la voie économique. Une bonne gradation de la difficulté a permis aux candidats de valoriser leur préparation sur les questions classiques, tout en distinguant les meilleurs sur des questions plus fines. Environ la moitié des copies reste cependant d'un niveau très insuffisant.

Les erreurs les plus sanctionnées

  1. 1
    Oubli récurrent du cas particulier x = 0Exercice 1

    L'examen du cas x = 0 est presque systématiquement omis lors de la résolution de l'équation f(x) = x, comme à d'autres endroits du problème.

    « Il y a souvent oubli du cas x = 0. »
  2. 2
    Manque de rigueur avec les valeurs absoluesExercice 1, partie II

    La manipulation des valeurs absolues dans les inégalités de convergence de la suite manque souvent de rigueur.

    « Encore un manque de rigueur dans la manipulation des valeurs absolues. »
  3. 3
    Tableaux de variations incohérents pour GExercice 1, partie III

    De nombreux tableaux de variations de la fonction G sont aberrants, notamment en faisant décroître G à partir d'une limite moins l'infini, ce qui est impossible.

    « Trop de tableaux de variations de G sont aberrants »
  4. 4
    Confusion entre implication et réciproqueExercice 2, partie II

    De nombreuses copies affirment sans preuve qu'une matrice N est diagonale dès que son carré l'est, confondant implication et réciproque.

    « Beaucoup de copies affirment, sans preuve, que, si N 2 est diagonale, alors N est diagonale »
  5. 5
    Confusion entre les paramètres p et qExercice 3, partie I

    Quelques candidats confondent les deux paramètres de la loi géométrique, p et q.

    « Quelques candidat(e)s confondent p et q. »

Ce qui a été bien réussi

  • Les exercices 1 et 2 sont abordés dans la quasi-totalité des copies.
  • L'éventail complet des notes a été utilisé et le sujet a joué pleinement son rôle de sélection.

Conseils du jury

  • Toujours examiner explicitement le cas particulier x = 0 lorsque la fonction est définie par morceaux.
  • Manipuler les valeurs absolues et les inégalités avec rigueur, notamment leur caractère strict.
  • Vérifier la cohérence d'un tableau de variations avec les limites calculées avant de le présenter.
  • Numéroter les questions selon l'énoncé et mettre en évidence les résultats, par exemple en les encadrant.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2009.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.
Afficher ou masquer la section
Sujet en PDF
BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
EML ____ MATE

Concepteur : EMLYON Business School

Première épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES

Lundi 27 avril 2009 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Exercice 1

On note f : ℝ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout x ∈ ℝ, par :
f(x) = {x/(e^x − 1), si x ≠ 0; 1, si x = 0.

Partie I : Étude d'une fonction

  1. a. Montrer que f est continue sur ℝ.
    b. Justifier que f est de classe C^1 sur ] − ∞; 0[ et sur ]0; + ∞[, et calculer f^′(x) pour tout x ∈ ] − ∞; 0[ ∪ ]0; + ∞[.
    c. Montrer :
f^′(x) ⟶ _(x ⟶ 0) − 1/2
d. Établir que f est de classe C^1 sur ℝ et préciser f^′(0).
2. a. Étudier les variations de l'application u : ℝ ⟶ ℝ, définie, pour tout x ∈ ℝ, par:
u(x) = (1 − x)e^x − 1.
b. Montrer :
∀x ∈ ℝ, f^′(x) < 0.
c. Déterminer les limites de f en − ∞ et en + ∞.
Dresser le tableau des variations de f.
d. Montrer que la courbe représentative de f admet une droite asymptote, lorsque la variable tend vers − ∞.
e. Tracer l'allure de la courbe représentative de f.

Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à la fonction f

On considère la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) définie par u_0 = 1 et, pour tout n ∈ ℕ, u_(n + 1) = f(u_n).
  1. Montrer que f admet un point fixe et un seul, noté α, que l'on calculera.
  2. a. Établir : ∀x ∈ [0; + ∞[, e^(2x) − 2xe^x − 1 ⩾ 0.
    b. Montrer :
∀x ∈ ]0; + ∞[, f^′(x) + 1/2 = (e^(2x) − 2xe^x − 1)/(2(e^x − 1)^2)
c. Montrer :
∀x ∈ [0; + ∞[, − 1/2 ⩽ f^′(x) < 0
d. Établir :
∀n ∈ ℕ, |u_(n + 1) − α| ⩽ 1/2|u_n − α|
  1. En déduire :
∀n ∈ ℕ, |u_n − α| ⩽ 1/(2^n)(1 − α)
  1. Conclure que la suite (u_n)_(n ∈ ℕ) converge vers α.
  2. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel n tel que |u_n − α| < 10^(− 9).

Partie III : Étude d'une fonction définie par une intégrale

On note G : ℝ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout x ∈ ℝ, par :
G(x) = ∫_x^(2x)f(t)dt
  1. Montrer que G est de classe C^1 sur ℝ et que, pour tout x ∈ ℝ :
G^′(x) = {(x(3 − e^x))/(e^(2x) − 1), si x ≠ 0; 1, si x = 0
  1. a. Montrer :
∀x ∈ [0; + ∞[, 0 ⩽ G(x) ⩽ xf(x)
En déduire la limite de G en + ∞.
b. Montrer :
∀x ∈ ] − ∞; 0], G(x) ⩽ xf(x)
En déduire la limite de G en − ∞.
3. Dresser le tableau des variations de G. On n'essaiera pas de calculer G(ln3).

Exercice 2

On considère les matrices carrées d'ordre trois : A = (0, 1, 3; 0, 1, 3; 0, 0, 4) et D = (0, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 4).

Partie I: Réduction de A

  1. Est-ce que A est inversible ?
  2. Déterminer les valeurs propres de A.
Justifier, sans calcul, que A est diagonalisable.
3. Déterminer une matrice carrée P d'ordre trois, inversible, dont tous les termes diagonaux sont égaux à 1 , telle que A = PDP^(− 1) et calculer P^(− 1).

Partie II : Résolution de l'équation M^2 = A

On se propose de résoudre l'équation (1) : M^2 = A, d'inconnue M, matrice carrée d'ordre trois. Soit M une matrice carrée d'ordre trois. On note N = P^(− 1)MP. (La matrice P a été définie en I.3.)
  1. Montrer : M^2 = A ⟺ N^2 = D.
  2. Établir que, si N^2 = D, alors ND = DN.
  3. En déduire que, si N^2 = D, alors N est diagonale.
  4. Déterminer toutes les matrices diagonales N telles que N^2 = D.
  5. En déduire la solution B de l'équation (1) dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.

Partie III : Intervention d'un polynôme

  1. Montrer qu'il existe un polynôme Q de degré deux, et un seul, que l'on calculera, tel que :
Q(0) = 0, Q(1) = 1, Q(4) = 2.
  1. En déduire : − 1/6A^2 + 7/6A = B. (La matrice B a été définie en II.5.)
  2. Montrer, pour toute matrice carrée F d'ordre trois :
AF = FA ⟺ BF = FB.

Exercice 3

Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches est p et la proportion de boules noires est q.
Ainsi, on a : 0 < p < 1, 0 < q < 1 et p + q = 1.

Partie I : Tirages avec arrêt dès qu'une boule noire a été obtenue

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête dès que l'on a obtenu une boule noire.
On note T la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués et U la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
  1. Reconnaître la loi de T. Pour tout entier k ⩾ 1, donner P(T = k) et rappeler l'espérance et la variance de T.
  2. En déduire que U admet une espérance et une variance. Déterminer E(U) et V(U).

Partie II : Tirages avec arrêt dès qu'une boule blanche et une boule noire ont été obtenues

Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête dès que l'on a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire.
On note X la variable aléatoire égale au nombre de tirages effectués.
On note Y la variable aléatoire égale au nombre de boules blanches obtenues.
On note Z la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues.
Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l'événement (Y = 1) ∪ (Z = 1) est égale à 1 .
Pour tout entier naturel non nul i, on note :
B_i l'événement « la i-ème boule tirée est blanche»,
N_i l'événement « la i-ème boule tirée est noire».
  1. a. Montrer, pour tout entier k ⩾ 2 : P(X = k) = qp^(k − 1) + pq^(k − 1).
    b. Vérifier : ∑_(k = 2)^(+ ∞)P(X = k) = 1.
    c. Montrer que la variable aléatoire X admet une espérance et que : E(X) = 1/p + 1/q − 1.
  2. a. Pour tout entier k ⩾ 2, déterminer P((X = k) ∩ (Y = 1)).
    (On distinguera les cas k = 2 et k ⩾ 3.)
    b. En déduire : P(Y = 1) = q(1 + p).
    c. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y.
On admet que l'espérance de Y existe et que : E(Y) = 1/q(1 − p + p^2).
3. Donner la loi de Z et son espérance.
4. Montrer que les variables aléatoires YZ et X − 1 sont égales.
5. Montrer que le couple ( Y, Z ) admet une covariance et exprimer Cov(Y, Z) à l'aide de E(X), E(Y) et E(Z).

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 EMLYON ECE 2009 ?
Afficher ou masquer la section

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques 1 EMLYON ECE 2009 ?

Le sujet porte sur l'étude d'une fonction et d'une fonction définie par une intégrale, la réduction et la racine carrée d'une matrice d'ordre trois, et les probabilités avec la loi géométrique.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées sur l'épreuve EMLYON ECE 2009 ?

Le jury relève un oubli récurrent du cas x = 0, un manque de rigueur sur les valeurs absolues, des tableaux de variations incohérents et une confusion entre implication et réciproque pour la diagonalisation de matrices.

L'épreuve de mathématiques EMLYON ECE 2009 est-elle difficile ?

Le rapport la décrit comme un très bon sujet, progressif et bien gradué en difficulté, avec une moyenne de 10,41/20, mais souligne qu'environ la moitié des copies reste d'un niveau très insuffisant.

Quels exercices de l'épreuve EMLYON ECE 2009 sont les plus abordés ?

Les exercices 1 (analyse) et 2 (algèbre) sont abordés dans la quasi-totalité des copies, tandis que l'exercice 3 de probabilités est parfois délaissé.

Pas de description pour le moment