BCE Maths appliquees emlyon ECE 2009
Epreuve de maths appliquees - ECE 2009
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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsRéductionProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2009.
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BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES
EML
Concepteur : EMLYON Business School
Première épreuve (option économique) MATHÉMATIQUES
Lundi 27 avril 2009 de 8 heures à 12 heures
Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Exercice 1
On note
Partie I : Étude d'une fonction
- a. Montrer que
est continue sur .
b. Justifier queest de classe sur et sur , et calculer pour tout .
c. Montrer :
d. Établir que
2. a. Étudier les variations de l'application
2. a. Étudier les variations de l'application
b. Montrer :
c. Déterminer les limites de
Dresser le tableau des variations de
d. Montrer que la courbe représentative de
e. Tracer l'allure de la courbe représentative de
d. Montrer que la courbe représentative de
e. Tracer l'allure de la courbe représentative de
Partie II : Étude d'une suite récurrente associée à la fonction
On considère la suite
- Montrer que
admet un point fixe et un seul, noté , que l'on calculera. - a. Établir :
.
b. Montrer :
c. Montrer :
d. Établir :
- En déduire :
- Conclure que la suite
converge vers . - Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche le plus petit entier naturel
tel que .
Partie III : Étude d'une fonction définie par une intégrale
On note
- Montrer que
est de classe sur et que, pour tout :
- a. Montrer :
En déduire la limite de
b. Montrer :
b. Montrer :
En déduire la limite de
3. Dresser le tableau des variations de
3. Dresser le tableau des variations de
Exercice 2
On considère les matrices carrées d'ordre trois :
Partie I: Réduction de
- Est-ce que
est inversible ? - Déterminer les valeurs propres de
.
Justifier, sans calcul, que
3. Déterminer une matrice carrée
3. Déterminer une matrice carrée
Partie II : Résolution de l'équation
On se propose de résoudre l'équation (1) :
- Montrer :
. - Établir que, si
, alors . - En déduire que, si
, alors est diagonale. - Déterminer toutes les matrices diagonales
telles que . - En déduire la solution
de l'équation (1) dont toutes les valeurs propres sont positives ou nulles.
Partie III : Intervention d'un polynôme
- Montrer qu'il existe un polynôme
de degré deux, et un seul, que l'on calculera, tel que :
- En déduire :
. (La matrice a été définie en II.5.) - Montrer, pour toute matrice carrée
d'ordre trois :
Exercice 3
Une urne contient des boules blanches et des boules noires. La proportion de boules blanches est
Ainsi, on a :
Ainsi, on a :
Partie I : Tirages avec arrêt dès qu'une boule noire a été obtenue
Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête dès que l'on a obtenu une boule noire.
On note
On note
- Reconnaître la loi de
. Pour tout entier , donner et rappeler l'espérance et la variance de . - En déduire que
admet une espérance et une variance. Déterminer et .
Partie II : Tirages avec arrêt dès qu'une boule blanche et une boule noire ont été obtenues
Dans cette partie, on effectue des tirages successifs avec remise et on s'arrête dès que l'on a obtenu au moins une boule blanche et au moins une boule noire.
On note
On note
On note
Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l'événement
Pour tout entier naturel non nul
On note
On note
On note
Ainsi, on peut remarquer que la probabilité de l'événement
Pour tout entier naturel non nul
- a. Montrer, pour tout entier
.
b. Vérifier :.
c. Montrer que la variable aléatoireadmet une espérance et que : . - a. Pour tout entier
, déterminer .
(On distinguera les caset .)
b. En déduire :.
c. Déterminer la loi de la variable aléatoire.
On admet que l'espérance de
3. Donner la loi de
4. Montrer que les variables aléatoires
5. Montrer que le couple (
3. Donner la loi de
4. Montrer que les variables aléatoires
5. Montrer que le couple (
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