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BCE Maths appliquees emlyon ECE 2010

Epreuve de maths appliquees - ECE 2010

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Algèbre linéaireRéductionPolynômes et fractionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
BCE
Année
2010
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2010ECE MathématiquesMathématiques 2010

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Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2010.

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BANQUE COMMUNE D'ÉPREUVES

Concepteur : EMLYON Business School

è épreuve (option économique)

MATHÉMATIQUES

Lundi 3 mai 2010 de 8 heures à 12 heures
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Partie I : Un endomorphisme de l'espace vectoriel des matrices symétriques d'ordre 2

  • On note l'espace vectoriel des matrices carrées d'ordre 2 .
  • On note : .
  • On note l'ensemble des matrices carrées symétriques d'ordre 2 .
  1. Calculer les produits .
  2. Montrer que est un sous-espace vectoriel de et que ( ) est une base de . Déterminer la dimension de .
On note l'application qui, à chaque matrice de , associe la matrice .
3. a. Montrer : .
b. Montrer que est un endomorphisme de l'espace vectoriel .
c. Donner la matrice de dans la base de .

Partie II : Réduction d'une matrice carrée d'ordre 3

On note : .
  1. Vérifier que sont valeurs propres de et déterminer, pour chacune de celles-ci, une base du sous-espace propre associé. Est-ce que est diagonalisable ?
  2. Déterminer une matrice carrée d'ordre 3 , inversible, de première ligne égale à ( 440 , 40 , telle que .
  3. Vérifier que est la matrice nulle.
  4. En déduire : .
  5. Établir : , où désigne l'application identité de et où a été définie dans la partie I.

Exercice 2

On note l'application de classe , définie, pour tout , par :
et la courbe représentative de dans un repère orthonormé.
On donne la valeur approchée .

Partie I : Étude de et tracé de

  1. a. Calculer, pour tout .
    b. En déduire le sens de variation de .
    c. Calculer, pour tout .
  2. Déterminer la limite de en et la limite de en .
  3. Déterminer la nature des branches infinies de .
  4. Montrer que admet deux points d'inflexion dont on déterminera les coordonnées.
  5. Tracer . On utilisera un repère orthonormé d'unité graphique 2 centimètres, et on précisera la tangente à en l'origine et en chacun des points d'inflexion.
  6. Calculer .
À cet effet, on pourra utiliser le changement de variable défini par .

Partie II : Étude d'une suite et d'une série associées à

On considère la suite définie par et :
  1. Montrer que la suite est décroissante.
  2. Établir que la suite converge et déterminer sa limite.
  3. Écrire un programme en Turbo-Pascal qui calcule et affiche un entier tel que .
  4. a. Établir : .
    b. En déduire : .
    c. Démontrer que la série converge.

Partie III : Étude d'une fonction de deux variables réelles associée à

On considère l'application , définie, pour tout , par :
  1. Montrer que est de classe sur et exprimer, pour tout , les dérivées partielles premières de en ( ), à l'aide de et .
  2. Résoudre dans le système . En déduire les points critiques de .
  3. Est-ce que admet un minimum local ?

Exercice 3

Les deux parties sont indépendantes.

Partie I

Une gare dispose de deux guichets. Trois clients notés arrivent en même temps. Les clients et se font servir tandis que le client attend puis effectue son opération dès que l'un des deux guichets se libère.
On définit les variables aléatoires égales à la durée de l'opération des clients respectivement. Ces durées sont mesurées en minutes et arrondies à l'unité supérieure ou égale. On suppose que les variables aléatoires suivent la loi géométrique de paramètre et qu'elles sont indépendantes. On note .
On note l'événement : « termine en dernier son opération ».
Ainsi l'événement est égal à l'événement : .
On se propose de calculer la probabilité de .
  1. Rappeler la loi de ainsi que son espérance et sa variance .
On définit la variable aléatoire par .
2. Calculer la probabilité .
3. Soit un entier naturel non nul.
a. Justifier : .
b. En déduire : .
4. a. Montrer que admet une espérance et la calculer.
b. Montrer : . En déduire que admet une variance et la calculer.
5. Montrer que l'événement est égal à l'événement ( ).
6. a. En déduire : .
b. Exprimer à l'aide de et .

Partie II

Dans cette partie, est une variable aléatoire suivant la loi géométrique de paramètre et est une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .
On note .
On suppose que et sont indépendantes, c'est à dire :
  1. Rappeler une densité de ainsi que son espérance et sa variance.
  2. On définit la variable aléatoire par .
    a. Montrer : .
    b. En déduire : .
    c. Montrer que la variable aléatoire admet une densité et déterminer une densité de .

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