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BCE Maths appliquees emlyon ECE 2017

Epreuve de maths appliquees - ECE 2017

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Suites et séries de fonctionsIntégrales généraliséesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continues
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Banque
BCE
Année
2017
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2017ECE MathématiquesMathématiques 2017

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Description

Annale de maths appliquees BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2017.

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Conception : emlyon business school

1 ère épreuve (OPTION ÉCONOMIQUE)

MATHÉMATIQUES

mardi 25 avril 2017, de 14 h. à 18 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE 1

On considère la fonction définie, pour tout de , par :
On admet les encadrements numériques suivants :

PARTIE I : Étude de la fonction

  1. a. Montrer que est deux fois dérivable sur et calculer, pour tout de et .
    b. Dresser le tableau de variations de avec la limite de en 0 et la limite de en et préciser .
  2. Dresser le tableau de variations de avec la limite de en 0 et la limite de en et préciser .
  3. Tracer l'allure de la courbe représentative de .
  4. a. Étudier les variations de la fonction .
    b. En déduire que l'équation , d'inconnue , admet une solution et une seule, notée , et montrer : .

PARTIE II : Étude d'une suite, étude d'une série

On considère la suite réelle définie par :
  1. Montrer que, pour tout de existe et .
  2. a. Étudier les variations, puis le signe, de la fonction .
    b. En déduire que la suite est croissante.
  3. Démontrer que la suite admet pour limite.
  4. Écrire un programme en Scilab qui, étant donné un réel , renvoie un entier naturel tel que .
  5. a. Démontrer : .
    b. En déduire : .
    c. Déterminer la nature de la série de terme général .

PARTIE III : Étude d'intégrales généralisées

  1. Montrer que l'intégrale converge et calculer cette intégrale.
  2. L'intégrale converge-t-elle?
  3. Montrer que l'intégrale converge.
On pourra utiliser le résultat de la question 9.a.

PARTIE IV : Étude d'une fonction de deux variables réelles

On considère la fonction , de classe sur l'ouvert , définie, pour tout de , par :
  1. Montrer que admet un point critique et un seul et qu'il s'agit de ( ), le réel ayant été défini à la question de la partie .
  2. a. Déterminer la matrice hessienne de en .
    b. La fonction admet-elle un extremum local en ( )? Si oui, s'agit-il d'un maximum local ou s'agit-il d'un minimum local?

EXERCICE 2

On note l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et la base canonique de .
Pour tout polynôme de , on note indifféremment ou .
Pour tout , la dérivée du polynôme est le polynôme , et la dérivée seconde de est le polynôme .
On note, pour tout polynôme de :
Par exemple: .
Enfin, on note .

PARTIE I: Étude de

  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. a. Montrer que la matrice de dans la base de est .
    b. Déterminer le rang de la matrice .
  3. L'endomorphisme est-il bijectif ? Déterminer Ker ( ) et .
On admet, pour la suite de l'exercice, que et sont des endomorphismes de .
On note et les matrices, dans la base de , de et respectivement.

PARTIE II : Étude de

  1. Montrer que est bijectif et que, pour tout de , on a : .
  2. a. Montrer que admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci.
    b. L'endomorphisme est-il diagonalisable ?

PARTIE III : Étude de

  1. Montrer : .
  2. L'endomorphisme est-il bijectif ?
  3. a. Déterminer une matrice , carrée d'ordre trois, inversible, dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 , et une matrice , carrée d'ordre trois, diagonale, à coefficients diagonaux dans l'ordre croissant, telles que .
    b. En déduire que l'endomorphisme est diagonalisable et déterminer une base de constituée de vecteurs propres de .

PARTIE IV : Étude de

  1. Montrer : .
  2. En déduire: .

EXERCICE 3

On considère une urne contenant initialement une boule bleue et deux boules rouges.
On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la façon suivante : on pioche une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne en ajoutant une boule de la même couleur que celle qui vient d'être obtenue.
Pour tout de , on note l'événement: « on obtient une boule bleue au -ième tirage»
l'événement: « on obtient une boule rouge au -ième tirage».

PARTIE I : Simulation informatique

  1. Recopier et compléter la fonction suivante afin qu'elle sìmule l'expérience étudiée et renvoie le nombre de boules rouges obtenues lors des premiers tirages, l'entier étant entré en argument.
function s = EML(n)
    b = 1 // b désigne le nombre de boules bleues présentes dans l'urne
    r = 2 // r désigne le nombre de boules rouges présentes dans l'urne
    s = 0 // s désigne le nombre de boules rouges obtenues lors des n tirages
    for k = 1:n
        x = rand()
        if ... then
            ...
        else
            ...
        end
    end
endfunction
  1. On exécute le programme suivant :
n = 10
m = 0
for i = 1:1000
    m = m+EML(n)
end
disp(m/1000)
On obtient : 6.657. Comment interpréter ce résultat?

PARTIE II : Rang d'apparition de la première boule bleue et rang d'apparition de la première boule rouge

On définit la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule bleue et la variable aléatoire égale au rang d'apparition de la première boule rouge.
3. a. Montrer : .
b. La variable aléatoire admet-elle une espérance? une variance?
4. Déterminer la loi de . La variable aléatoire admet-elle une espérance? une variance?

PARTIE III : Nombre de boules rouges obtenues au cours de tirages

On définit, pour tout de , la variable aléatoire égale à 1 si l'on obtient une boule rouge au -ième tirage et égale à 0 sinon.
On définit, pour tout de , la variable aléatoire égale au nombre de boules rouges obtenues au cours des premiers tirages.
5. Donner, pour tout de , une relation entre et certaines variables aléatoires pour .
6. Déterminer la loi de , son espérance et sa variance.
7. a. Déterminer la loi du couple ( ).
b. En déduire la loi de .
c. Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
8. Soient et .
a. Calculer .
b. Justifier : , puis en déduire : .
9. Montrer que, pour tout de admet une espérance et : .
10. Soit .
a. Montrer : .
b. En déduire : .
c. Déterminer alors la loi de la variable aléatoire . Que remarque-t-on?

PARTIE IV: Étude d'une convergence en loi

On s'intéresse dans cette partie à la proportion de boules rouges obtenues lors des premiers tirages. On pose, pour tout de .
11. Justifier, pour tout de et : .
12. Soit . Montrer, pour tout de , où . éè
13. En déduire que la suite de variables aléatoires converge en loi vers une variable aléatoire à densité, dont on précisera la fonction de répartition et une densité.

- FIN -

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