BCE Maths appliquées emlyon ECE 2017Sujet, corrigé et rapport du jury

Q: Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Le sujet porte sur l'étude d'une fonction et d'une suite itérative, les intégrales généralisées, les fonctions de deux variables, la réduction d'endomorphismes de polynômes, et les probabilités discrètes (modèle d'urne à renforcement) avec une convergence en loi.

Q: Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Le rapport ne communique pas de valeur chiffrée pour la moyenne de cette épreuve.

Q: Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Le jury relève des confusions entre e, e^x et e^(ln x), des affirmations de signe sans preuve, un système d'équations mal transformé faisant perdre l'unicité d'un point critique, et une croyance erronée que les valeurs propres d'une matrice symétrique se lisent sur sa diagonale.

Q: Cette épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 est-elle difficile ?

Les correcteurs la jugent équilibrée, progressive et bien graduée en difficulté, quoique un peu longue, ce qui a permis une bonne discrimination des candidats malgré une grande hétérogénéité des copies.

Epreuve de maths appliquées - ECE 2017

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2017 FilièreECE MatièreMathématiques

Annales BCE ECE Mathématiques BCE ECE 2017 ECE Mathématiques Mathématiques 2017

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Rapport du jury Lire en ligne LaTeX Word

Source du document : annales-prepa.fr

Présentation du sujet

Difficulté moyenne

Étude d'une fonction et d'une suite itérative, endomorphismes de R2[X] liés à la dérivation, et modèle probabiliste d'urne à renforcement

Le sujet de mathématiques I, BCE voie économique (EMLYON) 2017, comporte trois exercices indépendants. Le premier étudie une fonction réelle définie par une différence d'exponentielle et de logarithme, une suite itérative, des intégrales généralisées, puis un extremum d'une fonction de deux variables. Le deuxième étudie trois endomorphismes de l'espace des polynômes de degré au plus 2. Le troisième modélise des tirages successifs dans une urne où l'on ajoute une boule de la couleur tirée, avec plusieurs variables aléatoires discrètes et une convergence en loi.

1Exercice 1, partie I : étude de la fonction fDérivabilité, tableau de variations, tracé de la courbe représentative de f, puis existence et unicité d'une solution de l'équation f'(x) = x.
2Exercice 1, partie II : étude d'une suite et d'une sérieSuite itérative définie à partir de f, étude de sa croissance et de sa divergence vers l'infini, écriture d'un programme Scilab, puis étude de la nature de la série de terme général 1/un.
3Exercice 1, partie III : intégrales généraliséesConvergence et calcul de plusieurs intégrales généralisées associées à la fonction f.
4Exercice 1, partie IV : fonction de deux variables réellesRecherche du point critique d'une fonction de deux variables construite à partir de f, calcul de la matrice hessienne et nature de l'extremum local associé.
5Exercice 2 : endomorphismes de R2[X]Étude de trois endomorphismes de l'espace des polynômes de degré au plus 2 liés à la dérivation, avec représentation matricielle, diagonalisation et calcul d'un commutateur au cube.
6Exercice 3 : urne à renforcementSimulation informatique d'un tirage successif avec renforcement de couleur, étude du rang d'apparition de chaque couleur, du nombre de boules rouges tirées, puis d'une convergence en loi vers une variable à densité.

Difficulté moyenne. Les correcteurs jugent le sujet équilibré, progressif et bien gradué en difficulté, mais un peu long, ce qui a été pris en compte dans le barème ; ils relèvent une très grande hétérogénéité des copies, avec un écart qui se creuse entre les meilleures et les autres.

Ce qu'a observé le jury

6 erreurs relevées

Confusion entre e, e^x et e^(ln x) · Signe d'une dérivée affirmé sans preuve · Démonstrations fausses utilisant des comportements locaux

Les correcteurs estiment qu'il s'agit d'un très bon sujet, conforme au programme, intéressant, équilibré, progressif, complet, varié et bien gradué en difficulté, quoique un peu long. Les trois exercices sont abordés dans la quasi-totalité des copies. Le jury relève cependant une très grande hétérogénéité des copies, une rédaction souvent trop approximative et un manque de rigueur récurrent dans les notations, les phrases mathématiques et l'argumentation, de nombreux candidats appliquant des recettes sans raisonnement véritable.

Les erreurs les plus sanctionnées

1
Confusion entre e, e^x et e^(ln x)1.a
Des candidats confondent e et e élevé à la puissance x, ou e élevé à la puissance ln x et e fois ln x, entraînant de grossières erreurs de calcul dès la première question.
« Des candidat(e)s confondent e et e x, e lnx et e ln x. »
2
Signe d'une dérivée affirmé sans preuve4.a
Le signe de la dérivée est trop souvent affirmé sans preuve, par confusion entre les inégalités e élevé à la puissance x supérieur à 1 et e élevé à la puissance x supérieur à 0.
« Le signe de u′(x) est trop souvent a rmé sans preuve, par confusion entre les inégalités »
3
Démonstrations fausses utilisant des comportements locaux9.a
Cette question a donné lieu à des démonstrations fausses utilisant des comportements locaux, alors qu'une méthode efficace consistait à étudier les variations de deux fonctions auxiliaires proposées dans le corrigé.
« Des démonstrations fausses, utilisant des comportements locaux. »
4
Système d'équations des points critiques mal transformé13
Dans la majorité des copies, le système correct définissant les points critiques est remplacé sans justification par un système différent, ce qui ne fait obtenir que l'existence d'un point fixe et non son unicité, pourtant demandée.
« les candidat(e)s n'obtiennent que l'existence d'un point xe et non l'unicité »
5
Valeurs propres crues lisibles sur la diagonale d'une matrice symétrique14.b
Trop de candidats croient à tort que les valeurs propres d'une matrice symétrique se lisent sur la diagonale, confondant probablement matrice symétrique et matrice diagonale.
« Trop de candidat(e)s croient, à tort, que les valeurs propres d'une matrice symétrique se lisent sur la diagonale »
6
Notations dénuées de sens en probabilitésExercice 3, question 5
De grossières confusions apparaissent entre une variable aléatoire, un événement et une probabilité, avec des écritures dénuées de sens telles que la probabilité d'une variable aléatoire elle-même ou une somme d'événements.
« L'écriture P (Xk) n'a aucun sens. »

Ce qui a été bien réussi

La question 1.b est correctement résolue lorsque les réponses à la question 1.a étaient exactes.
L'inégalité un > 2 est en général correctement obtenue par récurrence à la question 5.
Le calcul des dérivées partielles premières de F à la question 13 est en général correct.
Les questions 6 et 7 de l'exercice 2, très faciles, sont résolues dans la quasi-totalité des copies.
Les trois exercices sont abordés dans la quasi-totalité des copies, un petit nombre seulement faisant l'impasse sur le troisième.

Conseils du jury

Ne jamais affirmer un résultat (limite, signe d'une expression) sans en donner la preuve rigoureuse.
Revenir aux définitions plutôt que d'appliquer des recettes toutes faites, en particulier pour l'indépendance de variables aléatoires ou les valeurs propres d'une matrice.
Exprimer les résultats dans le bon registre : par exemple les sous-espaces d'un espace de polynômes doivent être décrits par des polynômes, pas par des triplets de coordonnées.
Numéroter les questions selon l'énoncé, les séparer clairement, et encadrer proprement les résultats à la règle.
Soigner la rigueur des notations et des phrases mathématiques, la présentation influençant fortement l'appréciation des copies.

Synthèse rédigée par WikiPrépa à partir du rapport officiel du jury (à télécharger en PDF). Les citations sont extraites du rapport.

Description

Annale de maths appliquées BCE emlyon pour la filiere ECE, session 2017.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

Conception : emlyon business school

1 ère épreuve (OPTION ÉCONOMIQUE)

MATHÉMATIQUES

mardi 25 avril 2017, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

EXERCICE 1

On considère la fonction

f : ]0; + \infty[ ⟶ ℝ

définie, pour tout

x

]0; + \infty[

, par :

f(x) = e^x - eln(x).

On admet les encadrements numériques suivants :

2, 7 < e < 2, 8 7, 3 < e^2 < 7, 4 0, 6 < ln(2) < 0, 7.

PARTIE I : Étude de la fonction $f$

a. Montrer que $f$ est deux fois dérivable sur $]0; + \infty[$ et calculer, pour tout $x$ de $]0; + \infty[, f^'(x)$ et $f^('')(x)$ .
b. Dresser le tableau de variations de $f^'$ avec la limite de $f^'$ en 0 et la limite de $f^'$ en $+ \infty$ et préciser $f^'(1)$ .
Dresser le tableau de variations de $f$ avec la limite de $f$ en 0 et la limite de $f$ en $+ \infty$ et préciser $f(1)$ .
Tracer l'allure de la courbe représentative de $f$ .
a. Étudier les variations de la fonction $u : ]0; + \infty[ ⟶ ℝ, x ⟼ f^'(x) - x$ .
b. En déduire que l'équation $f^'(x) = x$ , d'inconnue $x \in ]0; + \infty[$ , admet une solution et une seule, notée $α$ , et montrer : $1 < α < 2$ .

PARTIE II : Étude d'une suite, étude d'une série

On considère la suite réelle

(u_n)_(n \in ℕ)

définie par :

u_0 = 2 et, pour tout n de ℕ, u_(n + 1) = f(u_n)

Montrer que, pour tout $n$ de $ℕ, u_n$ existe et $u_n ⩾ 2$ .
a. Étudier les variations, puis le signe, de la fonction $g : [2; + \infty[ ⟶ ℝ, x ⟼ f(x) - x$ .
b. En déduire que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est croissante.
Démontrer que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ admet $+ \infty$ pour limite.
Écrire un programme en Scilab qui, étant donné un réel $A$ , renvoie un entier naturel $N$ tel que $u_N ⩾ A$ .
a. Démontrer : $\forallx \in [2; + \infty[, 2ln(x) ⩽ x ⩽ (e^x)/3$ .
b. En déduire : $\foralln \in ℕ, u_(n + 1) ⩾ (6 - e)/2u_n$ .
c. Déterminer la nature de la série de terme général $1/(u_n)$ .

PARTIE III : Étude d'intégrales généralisées

Montrer que l'intégrale $\int_0^1 f(x)dx$ converge et calculer cette intégrale.
L'intégrale $\int_1^(+ \infty)f(x)dx$ converge-t-elle?
Montrer que l'intégrale $\int_2^(+ \infty)1/(f(x))dx$ converge.

On pourra utiliser le résultat de la question 9.a.

PARTIE IV : Étude d'une fonction de deux variables réelles

On considère la fonction

F : ]1; + \infty[^2 ⟶ ℝ

, de classe

C^2

sur l'ouvert

]1; + \infty[^2

, définie, pour tout

(x, y)

]1; + \infty[^2

, par :

F(x, y) = f(x) + f(y) - xy.

Montrer que $F$ admet un point critique et un seul et qu'il s'agit de ( $α, α$ ), le réel $α$ ayant été défini à la question $4$ de la partie $I$ .
a. Déterminer la matrice hessienne de $F$ en $(α, α)$ .
b. La fonction $F$ admet-elle un extremum local en ( $α, α$ )? Si oui, s'agit-il d'un maximum local ou s'agit-il d'un minimum local?

EXERCICE 2

On note

E = ℝ_2[X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 2 et

ℬ = (1, X, X^2)

la base canonique de

E

.
Pour tout polynôme

P

E

, on note indifféremment

P

P(X)

.
Pour tout

(α, β, γ) \in ℝ^3

, la dérivée

P^'

du polynôme

P = α + βX + γX^2

est le polynôme

P^' = β + 2γX

, et la dérivée seconde

P^('')

P

est le polynôme

P^('') = 2γ

.
On note, pour tout polynôme

P

E

a(P) = P - XP^', b(P) = P - P^', c(P) = 2XP - (X^2 - 1)P^'.

Par exemple:

a(X^2) = X^2 - X(2X) = - X^2

.
Enfin, on note

f = b \circ a - a \circ b

PARTIE I: Étude de $a$

Montrer que $a$ est un endomorphisme de $E$ .
a. Montrer que la matrice $A$ de $a$ dans la base $ℬ$ de $E$ est $A = (1, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, - 1)$ .
b. Déterminer le rang de la matrice $A$ .
L'endomorphisme $a$ est-il bijectif ? Déterminer Ker ( $a$ ) et $Im(a)$ .

On admet, pour la suite de l'exercice, que

b

c

sont des endomorphismes de

E

.
On note

B

C

les matrices, dans la base

ℬ

E

, de

b

c

respectivement.

PARTIE II : Étude de $b$

Montrer que $b$ est bijectif et que, pour tout $Q$ de $E$ , on a : $b^(- 1)(Q) = Q + Q^' + Q^('')$ .
a. Montrer que $b$ admet une valeur propre et une seule et déterminer celle-ci.
b. L'endomorphisme $b$ est-il diagonalisable ?

PARTIE III : Étude de $c$

Montrer : $C = (0, 1, 0; 2, 0, 2; 0, 1, 0)$ .
L'endomorphisme $c$ est-il bijectif ?
a. Déterminer une matrice $R$ , carrée d'ordre trois, inversible, dont les coefficients de la première ligne sont tous égaux à 1 , et une matrice $D$ , carrée d'ordre trois, diagonale, à coefficients diagonaux dans l'ordre croissant, telles que $C = RDR^(- 1)$ .
b. En déduire que l'endomorphisme $c$ est diagonalisable et déterminer une base de $E$ constituée de vecteurs propres de $c$ .

PARTIE IV : Étude de $f$

Montrer : $\forallP \in E, f(P) = P^'$ .
En déduire: $(BA - AB)^3 = 0$ .

EXERCICE 3

On considère une urne contenant initialement une boule bleue et deux boules rouges.
On effectue, dans cette urne, des tirages successifs de la façon suivante : on pioche une boule au hasard, on note sa couleur, puis on la replace dans l'urne en ajoutant une boule de la même couleur que celle qui vient d'être obtenue.

Pour tout

k

ℕ^*

, on note

B_k

l'événement: « on obtient une boule bleue au

k

-ième tirage»

R_k

l'événement: « on obtient une boule rouge au

k

-ième tirage».

PARTIE I : Simulation informatique

Recopier et compléter la fonction suivante afin qu'elle sìmule l'expérience étudiée et renvoie le nombre de boules rouges obtenues lors des $n$ premiers tirages, l'entier $n$ étant entré en argument.

function s = EML(n)
    b = 1 // b désigne le nombre de boules bleues présentes dans l'urne
    r = 2 // r désigne le nombre de boules rouges présentes dans l'urne
    s = 0 // s désigne le nombre de boules rouges obtenues lors des n tirages
    for k = 1:n
        x = rand()
        if ... then
            ...
        else
            ...
        end
    end
endfunction

On exécute le programme suivant :

n = 10
m = 0
for i = 1:1000
    m = m+EML(n)
end
disp(m/1000)

On obtient : 6.657. Comment interpréter ce résultat?

PARTIE II : Rang d'apparition de la première boule bleue et rang d'apparition de la première boule rouge

On définit la variable aléatoire

Y

égale au rang d'apparition de la première boule bleue et la variable aléatoire

Z

égale au rang d'apparition de la première boule rouge.
3. a. Montrer :

\foralln \in ℕ^*, P([Y = n]) = 2/((n + 1)(n + 2))

.
b. La variable aléatoire

Y

admet-elle une espérance? une variance?
4. Déterminer la loi de

Z

. La variable aléatoire

Z

admet-elle une espérance? une variance?

PARTIE III : Nombre de boules rouges obtenues au cours de $n$ tirages

On définit, pour tout

k

ℕ^*

, la variable aléatoire

X_k

égale à 1 si l'on obtient une boule rouge au

k

-ième tirage et égale à 0 sinon.
On définit, pour tout

n

ℕ^*

, la variable aléatoire

S_n

égale au nombre de boules rouges obtenues au cours des

n

premiers tirages.
5. Donner, pour tout

n

ℕ^*

, une relation entre

S_n

et certaines variables aléatoires

X_k

pour

k \in ℕ^*

.
6. Déterminer la loi de

X_1

, son espérance et sa variance.
7. a. Déterminer la loi du couple (

X_1, X_2

).
b. En déduire la loi de

X_2

.
c. Les variables aléatoires

X_1

X_2

sont-elles indépendantes?
8. Soient

n \in ℕ^*

k \in [ [0; n] ]

.
a. Calculer

P(R_1 \cap \dots \cap R_k \cap B_(k + 1) \cap \dots \cap B_n)

.
b. Justifier :

P([S_n = k]) = (n/k)P(R_1 \cap \dots \cap R_k \cap B_(k + 1) \cap \dots \cap B_n)

, puis en déduire :

P([S_n = k]) = (2(k + 1))/((n + 1)(n + 2))

.
9. Montrer que, pour tout

n

ℕ^*, S_n

admet une espérance et :

E(S_n) = (2n)/3

.
10. Soit

n \in ℕ^*

.
a. Montrer :

\forallk \in [ [0; n] ], P_([S_n = k])([X_(n + 1) = 1]) = (k + 2)/(n + 3)

.
b. En déduire :

P([X_(n + 1) = 1]) = (E(S_n) + 2)/(n + 3)

.
c. Déterminer alors la loi de la variable aléatoire

X_(n + 1)

. Que remarque-t-on?

PARTIE IV: Étude d'une convergence en loi

On s'intéresse dans cette partie à la proportion de boules rouges obtenues lors des

n

premiers tirages. On pose, pour tout

n

ℕ^*, T_n = (S_n)/n

.
11. Justifier, pour tout

n

ℕ^* : \forallx < 0, P([T_n ⩽ x]) = 0,

et :

\forallx > 1, P([T_n ⩽ x]) = 1

.
12. Soit

x \in [0; 1]

. Montrer, pour tout

n

ℕ^* : P([T_n ⩽ x]) = ((⌊nx⌋ + 1)(⌊nx⌋ + 2))/((n + 1)(n + 2))

, où

⌊

é è ⌋désignelafonctionpartieentière.

13. En déduire que la suite de variables aléatoires

(T_n)_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable aléatoire à densité, dont on précisera la fonction de répartition et une densité.

- FIN -

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Le sujet porte sur l'étude d'une fonction et d'une suite itérative, les intégrales généralisées, les fonctions de deux variables, la réduction d'endomorphismes de polynômes, et les probabilités discrètes (modèle d'urne à renforcement) avec une convergence en loi.

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Le rapport ne communique pas de valeur chiffrée pour la moyenne de cette épreuve.

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Le jury relève des confusions entre e, e^x et e^(ln x), des affirmations de signe sans preuve, un système d'équations mal transformé faisant perdre l'unicité d'un point critique, et une croyance erronée que les valeurs propres d'une matrice symétrique se lisent sur sa diagonale.

Cette épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 est-elle difficile ?

Les correcteurs la jugent équilibrée, progressive et bien graduée en difficulté, quoique un peu longue, ce qui a permis une bonne discrimination des candidats malgré une grande hétérogénéité des copies.

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths appliquées emlyon ECE 2017

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Présentation du sujet

Ce qu'a observé le jury

Les erreurs les plus sanctionnées

Ce qui a été bien réussi

Conseils du jury

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

Conception : emlyon business school

MATHÉMATIQUES

EXERCICE 1

PARTIE I : Étude de la fonction f

PARTIE II : Étude d'une suite, étude d'une série

PARTIE III : Étude d'intégrales généralisées

PARTIE IV : Étude d'une fonction de deux variables réelles

EXERCICE 2

PARTIE I: Étude de a

PARTIE II : Étude de b

PARTIE III : Étude de c

PARTIE IV : Étude de f

EXERCICE 3

PARTIE I : Simulation informatique

PARTIE II : Rang d'apparition de la première boule bleue et rang d'apparition de la première boule rouge

PARTIE III : Nombre de boules rouges obtenues au cours de n tirages

PARTIE IV: Étude d'une convergence en loi

- FIN -

Questions fréquentes

Sur quels chapitres porte l'épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Quelle est la moyenne à l'épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Quelles erreurs le jury a-t-il le plus relevées à cette épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 ?

Cette épreuve de mathématiques I BCE ECE (EMLYON) 2017 est-elle difficile ?

Commentaires• BCE Maths appliquées emlyon ECE 2017

Commentaires• BCE Maths appliquées emlyon ECE 2017

PARTIE I : Étude de la fonction $f$

PARTIE I: Étude de $a$

PARTIE II : Étude de $b$

PARTIE III : Étude de $c$

PARTIE IV : Étude de $f$

PARTIE III : Nombre de boules rouges obtenues au cours de $n$ tirages