La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités ý encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document;

L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.

Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On pose pour réel strictement positif la fonction définie sur par :

(a) Justifier la dérivabilité de sur et calculer sa dérivée.

En déduire le tableau des variations de en précisant les valeurs aux bornes.
(b) Montrer que réalise une bijection de sur .

On note sa bijection réciproque.
Donner le tableau des variations de en précisant les valeurs aux bornes.
(c) Montrer que .
2.
(a) Justifier l'existence de l'intégrale , notée .
(b) Déterminer deux constantes et telles que : .

En déduire que .
(c) Montrer gràce au changement de variable que .
3. On considère dans ce paragraphe la fonction définie sur de la manière suivante:

(a) Montrer que est une densité de probabilité.

On note une variable aléatoire réelle admettant une densité égale à .
On note la fonction de répartition de la variable .
(b) Calculer l'espérance . En déduire l'espérance .
(c) Calculer l'espérance . En déduire puis la variance .
(d) Soit la variable aléatoire à densité définie par .

Montrer que pour tout réel de .
En déduire que suit la même loi que .

On considère pour entier naturel non nul la matrice carrée d'ordre 3 suivante :
et on note
On note l'endomorphisme de représenté par relativement ý la base canonique de . On considère également les vecteurs de et .

(a) Montrer que sont vecteurs propres de .
(b) Montrer que la famille ( ) est une base de .
(c) En déduire une matrice telle que :

(c) En déduire les neuf coefficients de la matrice .
4.
(a) Montrer que pour tout entier naturel non nul est inversible et que

(b) En déduire que est inversible et donner les neuf coefficents de .

On suppose que est un réel fixé de qui représente la probabilité qu'un billet de 100 euros soit faux.
On dispose d'un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit bleue lorsqu'il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu'il considère que le billet testé est faux.
On note : " Le billet testé est faux " et " La lumière qui s'allume est bleue".
On note et , et on suppose dans tout l'exercice que .
1.
(a) En utilisant une formule des probabilités totales pour exprimer , montrer que

En déduire que .
(b) Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet est

(c) On suppose dans cette question uniquement que et on note

Montrer que .
En déduire un réel tel que avec .
2. On considère le programme Turbo-Pascal suivant, où p représente la valeur citée en introduction

program ESC2003;
var x, v,d,r:real;
begin
randomize ;
if random < p then v := 0 else v := 1;
r := random;
x := r * r;
d:=(1 - x) * v + x * (1 - v );
end.

On rappelle que random est une variable ý densité qui suit une loi uniforme et qui fournit ý chaque appel un réel choisi au hasard dans . Les deux appels ý la fonction random sont indépendants. On note , les variables aléatoires égales au valeurs de lorsque le programme a été exécuté.
(a) Montrer que .
(b) Exprimer en fonction de et de .
(c) Soit un réel fixé de , appelé "seuil".

En remarquant que et sont deux variables aléatoires indépendantes, montrer que :

En déduire

On utilise ce programme pour simuler un détecteur, avec pour " le billet est faux" et ( ) pour " le rouge s'allume ".
(d) Montrer que la probabilité que le détecteur se trompe est égale ý .
(e) On suppose ici que . Etudier sur ]0; 1 [ la fonction définie . En déduire que pour le seuil la qualité du détecteur est maximum.