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BCE Maths appliquées ESC ECE 2003Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2003

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Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2003.

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EPREUVES ESC CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

MATHEMATIQUES

OPTION ECONOMIQUE

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies. Les candidats sont invités ý encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs. Ils ne doivent faire usage d'aucun document;
L'usage de toute calculatrice ou de tout matériel électronique est interdit pendant cette épreuve.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1

On pose pour a réel strictement positif la fonction f_a définie sur [0; a] par :
Pour tout x ∈ [0; a], f_a(x) = (a − x)/(a(a + x))
(a) Justifier la dérivabilité de f_a sur [0; a] et calculer sa dérivée.
En déduire le tableau des variations de f_a en précisant les valeurs aux bornes.
(b) Montrer que f_a réalise une bijection de [0; a] sur [0; 1/a].
On note f_a^(− 1) sa bijection réciproque.
Donner le tableau des variations de f_a^(− 1) en précisant les valeurs aux bornes.
(c) Montrer que f_a^(− 1) = f_(1/a).
2.
(a) Justifier l'existence de l'intégrale ∫_0^a f_a(x)dx, notée I_a.
(b) Déterminer deux constantes α et β telles que : ∀x ∈ [0; a], (1 − x)/(1 + x) = α + β/(1 + x).
En déduire que I_1 = 2ln2 − 1.
(c) Montrer gràce au changement de variable x = au que I_a = I_1.
3. On considère dans ce paragraphe la fonction h_a définie sur ℝ de la manière suivante:
{si x ∈ [0; a],, h_a(x) = 1/(2ln2 − 1)f_a(x); si x ∉ [0; a],, h_a(x) = 0
(a) Montrer que h_a est une densité de probabilité.
On note X_a une variable aléatoire réelle admettant une densité égale à h_a.
On note H_a la fonction de répartition de la variable X_a.
(b) Calculer l'espérance E(a + X_a). En déduire l'espérance E(X_a).
(c) Calculer l'espérance E((a + X_a)^2). En déduire E(X_a^2) puis la variance V(X_a).
(d) Soit la variable aléatoire à densité T définie par T = 1/aX_a.
Montrer que pour tout réel t de [0; 1] : P(T ⩽ t) = H_a(at).
En déduire que T suit la même loi que X_1.

EXERCICE 2

On considère pour n entier naturel non nul la matrice carrée d'ordre 3 suivante :
A_n = (1, 1/n, 1/n; (− 1)/n, (n + 2)/n, 1/n; 1/n, (− 1)/n, 1) et on note I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)
On note f_n l'endomorphisme de ℝ^3 représenté par A_n relativement ý la base canonique de ℝ^3. On considère également les vecteurs de ℝ^3 : u⃗ = (1, 1, − 1), v⃗ = (1, 1, 0) et w⃗ = (0, − 1, 1).
  1. Déterminer pour tout triplet (x, y, z) de ℝ^3 l'expression de f_n((x, y, z)) en fonction de n, x, y, z.
(a) Montrer que u⃗, v⃗, w⃗ sont vecteurs propres de f_n.
(b) Montrer que la famille ( u⃗, v⃗, w⃗ ) est une base de ℝ^3.
(c) En déduire une matrice P telle que :
− P inversible et P^(− 1) = (1, − 1, − 1; 0, 1, 1; 1, − 1, 0); − P^(− 1)A_n P = D_n, où D_n = I + 1/nH et H = (0, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1)
  1. On pose pour tout entier naturel n non nul Π_n = A_1 A_2⋯A_n ( avec Π_1 = A_1 ).
    (a) Montrer que Π_n = PD_1 D_2⋯D_n P^(− 1).
    (b) Montrer par récurrence sur n que pour tout entier naturel n non nul :
D_1 D_2⋯D_n = I + nH o H est la matrice d finie au 2 (c)
(c) En déduire les neuf coefficients de la matrice Π_n.
4.
(a) Montrer que pour tout entier naturel n non nul D_1 D_2⋯D_n est inversible et que
(D_1 D_2⋯D_n)^(− 1) = I − n/(n + 1)H o H est la matrice d finie au 2(c)
(b) En déduire que Π_n est inversible et donner les neuf coefficents de Π_n^(− 1).

EXERCICE 3

On suppose que p est un réel fixé de ]0; 1[ qui représente la probabilité qu'un billet de 100 euros soit faux.
On dispose d'un détecteur de faux billets imparfait qui allume une lumière qui est soit bleue lorsqu'il considère que le billet testé est vrai, soit rouge lorsqu'il considère que le billet testé est faux.
On note F : " Le billet testé est faux " et B : " La lumière qui s'allume est bleue".
On note P(F¯/B) = α et P(F/B¯) = β, et on suppose dans tout l'exercice que α + β > 1.
1.
(a) En utilisant une formule des probabilités totales pour exprimer P(F), montrer que
P(B) = (β − p)/(α + β − 1)
En déduire que 1 − α ⩽ p ⩽ β.
(b) Montrer que la probabilité que le détecteur valide un faux billet est
P(B/F) = ((1 − α)(β − p))/(p(α + β − 1))
(c) On suppose dans cette question uniquement que β = α = 0, 95 et on note
x = α + p − 1 = p − 0, 05
Montrer que 1 − P(B/F) = (0, 95x)/(0, 9(x + 0, 05)).
En déduire un réel a tel que P(B/F) = 1 − ax + xε(x) avec lim_(x → 0; x > 0)ε(x) = 0.
2. On considère le programme Turbo-Pascal suivant, où p représente la valeur p citée en introduction
program ESC2003;
var x, v,d,r:real;
begin
randomize ;
if random < p then v := 0 else v := 1;
r := random;
x := r * r;
d:=(1 - x) * v + x * (1 - v );
end.
On rappelle que random est une variable ý densité qui suit une loi uniforme et qui fournit ý chaque appel un réel choisi au hasard dans [0; 1]. Les deux appels ý la fonction random sont indépendants. On note V, D, R, les variables aléatoires égales au valeurs de v, d, r lorsque le programme a été exécuté.
(a) Montrer que P(V = 0) = p.
(b) Exprimer D en fonction de R et de V.
(c) Soit s un réel fixé de ]0; 1[, appelé "seuil".
En remarquant que R et V sont deux variables aléatoires indépendantes, montrer que :
P(D < s/V = 0) = √s et P(D ⩾ s/V = 1) = √(1 − s)
En déduire
P(D < s) = p√s + (1 − p)(1 − √(1 − s))
On utilise ce programme pour simuler un détecteur, avec (V = 0) pour " le billet est faux" et ( D < s ) pour " le rouge s'allume ".
(d) Montrer que la probabilité que le détecteur se trompe est égale ý 1 − (1 − p)√(1 − s) − p√s.
(e) On suppose ici que p = 1/4. Etudier sur ]0; 1 [ la fonction définie parf(t) = 3√(1 − t) + √t. En déduire que pour le seuil s = 1/(10) la qualité du détecteur est maximum.

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