BCE Maths appliquees ESC ECE 2005
Epreuve de maths appliquees - ECE 2005
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Algèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesProbabilités finies, discrètes et dénombrementIntégrales généralisées
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Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2005.
Lecture web du sujet
Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.
Concepteur Epreuves ESC : ESC SAINT-ETIENNE
OPTION : ECONOMIQUE
MATHEMATIQUES
Mardi 24 Mai 2005, de 14 h. à 18 h.
Il n'est fait usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
EXERCICE 1
Soit
On note :
id l'endomorphisme de
id l'endomorphisme de
- a) Vérifier que
. En déduire .
b)Montrer que si est valeur propre de alors .
Etablir alors que 0 est la seule valeur propre de
c) En déduire que
d) Déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de
e) L' endomorphisme
2. a) On considère les vecteurs de
Calculer
b) Montrer que la famille (
c) Déterminer la matrice
d) Montrer que la matrice de
c) En déduire que
d) Déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de
e) L' endomorphisme
2. a) On considère les vecteurs de
Calculer
b) Montrer que la famille (
c) Déterminer la matrice
d) Montrer que la matrice de
On considère la matrice
3. a) A l'aide des questions précédentes, montrer que
b) Soit
b1. Montrer que
b2. Justifier que
En déduire trois réels
b3. Montrer que
3. a) A l'aide des questions précédentes, montrer que
b) Soit
b1. Montrer que
b2. Justifier que
En déduire trois réels
b3. Montrer que
EXERCICE 2
On considère la fonction de deux variables
- On note
la fonction définie sur par .
(a) Montrer queest sur son domaine et calculer et pour .
(b) Etudier les variations desur puis celle de sur .
( On précisera à chaque fois les limites aux bornes )
(c) En déduire que l'équationadmet une unique solution notée .
(d) Vérifier que : - (a) Montrer que
est sur .
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de.
(c) En déduire que siest un point critique de , alors et .
(d) Etablir alors que.
En déduire que
3. (a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de
(b) En utilisant la relation de la question 1.(d), montrer que
3. (a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de
(b) En utilisant la relation de la question 1.(d), montrer que
En déduire que la fonction
4. On définit sur
(a) Montrer que
(b) Soit
(c) Montrer que pour tout réel
4. On définit sur
(a) Montrer que
(b) Soit
(c) Montrer que pour tout réel
En déduire que
(d) Montrer que
(d) Montrer que
EXERCICE 3
Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher.
On appelle " épreuve " la séquence suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :
On appelle " épreuve " la séquence suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :
- Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne.
- Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l'urne mais on remet une boule bleue dans l'urne à sa place.
L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d'épreuves.
Pour tout entier naturel
Pour tout entier naturel
On notera pour chaque entier naturel
- Donner la loi de probabilité de
. - Quelles sont les valeurs possibles de
dans le cas où est supérieur ou égal à 2 ? - Calculer pour tout entier naturel non nul
. - On pose pour tout entier naturel non nul
, .
(a) Rappeler la valeur deet montrer que .
(b) En utilisant un système complet d'événements lié à la variable, montrer que pour tout entier naturel .
Cette relation reste-t-elle valable lorsque?
(c) On pose pour tout entier naturelnon nul .
Montrer que la suite
En déduire
Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul
(d) Déduire des résultats précédents
5. Calculer l'espérance de
6. On note
(a) Donner
(b) Soit
En déduire
Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul
(d) Déduire des résultats précédents
5. Calculer l'espérance de
6. On note
(a) Donner
(b) Soit
Exprimer l'événement (
(c) En déduire la loi de
(c) En déduire la loi de
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