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BCE Maths appliquées ESC ECE 2005Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2005

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Annale de maths appliquées BCE ESC pour la filiere ECE, session 2005.

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Concepteur Epreuves ESC : ESC SAINT-ETIENNE

OPTION : ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES

Mardi 24 Mai 2005, de 14 h. à 18 h.
Il n'est fait usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE 1

Soit 𝔅 = (e_1, e_2, e_3) la base canonique de l'espace vectoriel ℝ^3. On considère les matrices :
A = (3, − 1, 0; 1, 6, 1; − 3, − 8, 0); I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1); O = (0, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, 0)
On note :
f l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice relativement à la base 𝔅 est A.
id l'endomorphisme de ℝ^3 dont la matrice relativement à la base 𝔅 est I.
h l'endomorphisme de ℝ^3 défini par : h = f − 3id.
N la matrice de l'endomorphisme h relativement à la base 𝔅.
  1. a) Vérifier que N = (0, − 1, 0; 1, 3, 1; − 3, − 8, − 3). En déduire N^2 ≠ O; N^3 = O.
    b) Montrer que si λ est valeur propre de N alors λ = 0.
Etablir alors que 0 est la seule valeur propre de h.
c) En déduire que f admet 3 pour unique valeur propre.
d) Déterminer une base et la dimension du sous-espace propre de f associé à la valeur propre 3 .
e) L' endomorphisme f est-il diagonalisable ? est il bijectif ?
2. a) On considère les vecteurs de ℝ^3 :
u_1 = (1, − 1, 1); u_2 = h(u_1); u_3 = h(u_2).
Calculer u_2 et u_3. Vérifier que h(u_3) = (0, 0, 0).
b) Montrer que la famille ( u_1, u_2, u_3 ) est une base de ℝ^3, qu'on notera 𝔅^′.
c) Déterminer la matrice N^′ de h relativement à la base ℬ^′.
d) Montrer que la matrice de f relativement à la base ℬ^′ est 3I + N^′.
On considère la matrice P = (1, 1, 1; − 1, − 1, 0; 1, 2, − 1).
3. a) A l'aide des questions précédentes, montrer que P est inversible et que A = P(3I + N^′)P^(− 1).
b) Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.
b1. Montrer que A^n = P(3I + N^′)^n P^(− 1).
b2. Justifier que (N^′)^3 = O.
En déduire trois réels a_n, b_n, c_n tels que (3I + N^′)^n = a_n I + b_n N^′ + c_n N^(′2).
b3. Montrer que A^n = a_n I + b_n N + c_n N^2.

EXERCICE 2

On considère la fonction de deux variables f définie sur l'ouvert U = ]0; + ∞[ × ]0; + ∞[ par :
f((x, y)) = x^2 lny − ylnx
  1. On note g la fonction définie sur ]0; + ∞[ par g(t) = 4t^2 − 2tlnt − 1.
    (a) Montrer que g est C^2 sur son domaine et calculer g^′(t) et g^(′′)(t) pour t > 0.
    (b) Etudier les variations de g^′ sur ]0; + ∞[ puis celle de g sur ]0; + ∞[.
    ( On précisera à chaque fois les limites aux bornes )
    (c) En déduire que l'équation g(t) = 0 admet une unique solution notée α.
    (d) Vérifier que : lnα = 2α − 1/(2α)
  2. (a) Montrer que f est C^2 sur U.
    (b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de f.
    (c) En déduire que si (x_0, y_0) est un point critique de f, alors x_0 > 1 et y_0 = ((x_0)^2)/(lnx_0).
    (d) Etablir alors que g(lnx_0) = 0.
En déduire que f possède un unique point critique noté M, de coordonnées (e^α, (e^(2α))/α) où α est le réel défini au 1.(c).
3. (a) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de f.
(b) En utilisant la relation de la question 1.(d), montrer que 2lny_0 + (y_0)/((x_0)^2) = 2/α.
En déduire que la fonction f ne présente pas d'extremum.
4. On définit sur ℝ l'application h telle que {h(t) = (36)/5f((t, t)) lorsque t ∈ ]0; 1]; h(t) = 0 lorsque t ≤ 0 ou t > 1
(a) Montrer que h est continue sur ℝ.
(b) Soit k un entier naturel non nul et a un réel de ]0; 1]. Calculer ∫_a^1 t^k lntdt. En déduire que l'intégrale ∫_0^1 t^k lntdt existe et vaut − 1/((k + 1)^2).
(c) Montrer que pour tout réel t de ]0; 1], (t − 1)lnt ≥ 0.
En déduire que h est positive sur ℝ.
(d) Montrer que h est une densité de probabilité.

EXERCICE 3

Une urne contient initialement deux boules rouges et une boule bleue indiscernables au toucher.
On appelle " épreuve " la séquence suivante :
On tire une boule de l'urne, puis :
  • Si la boule tirée est bleue, on la remet dans l'urne.
  • Si la boule tirée est rouge, on ne la remet pas dans l'urne mais on remet une boule bleue dans l'urne à sa place.
L'expérience aléatoire consiste à effectuer une succession illimitée d'épreuves.
Pour tout entier naturel n non nul, on note Y_n la variable aléatoire discrète égale au nombre de boules rouges présentes dans l'urne à l'issue de la n - ième épreuve.
On notera pour chaque entier naturel k non nul les événements suivants :
R_k : " Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule rouge de l'urne. "
B_k : "Lors de la k-ième épreuve on a extrait une boule bleue de l'urne."
  1. Donner la loi de probabilité de Y_1.
  2. Quelles sont les valeurs possibles de Y_n dans le cas où n est supérieur ou égal à 2 ?
  3. Calculer pour tout entier naturel non nul n, P(Y_n = 2).
  4. On pose pour tout entier naturel non nul n, u_n = P(Y_n = 1).
    (a) Rappeler la valeur de u_1 et montrer que u_2 = 2/3.
    (b) En utilisant un système complet d'événements lié à la variable Y_n, montrer que pour tout entier naturel n ≥ 2, u_(n + 1) = 2/3u_n + 2/(3^(n + 1)).
    Cette relation reste-t-elle valable lorsque n = 1 ?
    (c) On pose pour tout entier naturel n non nul v_n = u_n + 2/(3^n).
Montrer que la suite (v_n)_(n ∈ IN^∗) est géométrique.
En déduire v_n en fonction de n et de v_1,
Etablir enfin que pour tout entier naturel non nul n, u_n = 2(2/3)^n − 2/(3^n).
(d) Déduire des résultats précédents P(Y_n = 0) pour tout entier naturel non nul n.
5. Calculer l'espérance de Y_n.
6. On note Z la variable aléatoire égale au numéro de l'épreuve amenant la dernière boule rouge.
(a) Donner Z(Ω).
(b) Soit k un entier supérieur ou égal à 2 .
Exprimer l'événement ( Z = k ) en fonction des variables Y_k et Y_(k − 1).
(c) En déduire la loi de Z.

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