BCE Maths appliquees ESC ECE 2007
Epreuve de maths appliquees - ECE 2007
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Probabilités finies, discrètes et dénombrementAlgèbre linéaireFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Calcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesStatistiquesProbabilités continues
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Annale de maths appliquees BCE ESC pour la filiere ECE, session 2007.
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293
Concepteur Epreuves ESC : ESC CHAMBERY
ESC_MATE
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ESC_MATE
OPTION ECONOMIQUE
MATHEMATIQUES
mardi 15 Mai 2007, de 14 h. à 18 h.
N.B.
N.B.
Il n'est fait usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
EXERCICE 1
On considère les matrices :
On note
Soit l'application
- (a) Vérifier que
.
Montrer que
(b) Calculer
(b) Calculer
En déduire que la matrice
2. (a) Montrer que
(b) Montrer que
3. (a) Calculer
(b) En déduire que les seules valeurs propres possibles de
2. (a) Montrer que
(b) Montrer que
3. (a) Calculer
(b) En déduire que les seules valeurs propres possibles de
Le réel 0 est-il valeur propre de
(c) Soit
(c) Soit
Réciproquement montrer que si
En déduire que le réel 1 est valeur propre de
4. On considère la famille
(a) Justifier que
(b) Déterminer la matrice
(c) On considère
En déduire que le réel 1 est valeur propre de
4. On considère la famille
(a) Justifier que
(b) Déterminer la matrice
(c) On considère
Déterminer les coordonnées
EXERCICE 2
On désigne par
- (a) Montrer que
est dérivable sur et calculer sa dérivée .
(b) Etudier les variations desur (On précisera les limites aux bornes) et montrer que l'équation d'inconnue admet une unique solution notée .
(c) Calculeret puis justifier que .
(d) Montrer queconverge vers 0 . Justifier l'égalité , puis déterminer un équivalent simple de lorsque tend vers l'infini.
On considère maintenant et dans toute la suite deux fonctions notéeset :
La fonctionest définie sur par: .
La fonctionest définie sur par: . - (a) Justifier que
est de classe sur .
(b) Calculer les dérivées partielles d'ordre 1 de.
(c) Montrer que le seul point critique deest le point , où le réel est l' unique solution de l'équation , vue au 1 . (b).
(d) Calculer les dérivées partielles d'ordre 2 de. Montrer que présente en un minimum local de valeur . - (a) Montrer que pour tout
de .
(b) Etudier les variations deet montrer que présente en un minimum global.
(c) En déduire que le minimum local présenté enest aussi un minimum global pour . - On considère le programme PASCAL suivant :
program racine ;
var a,b:real;k:integer;
function f (x : real) : real ;
begin
f:= .........................................;
end ;
begin
a:= 0; b:=1;
for k :=1 to 10 do if ( ...........................) then }b:=(a+b)/2 else a:=(a+b)/2;+
writeln (' u = ', a );
end.
(a) Recopier et compléter la fonction
(b) Recopier et compléter la boucle de manière à ce qu'elle effectue une recherche dichotomique de
(b) Recopier et compléter la boucle de manière à ce qu'elle effectue une recherche dichotomique de
EXERCICE 3
Les parties A et B sont indépendantes .
On considère un moteur qui fonctionne sans interruption, en émettant du gaz carbonique dans l'atmosphère.
PARTIE A
Dans cette partie on suppose que le moteur subit chaque jour un contrôle de pollution afin de voir si le taux de gaz carbonique émis est réglementaire ( Si c'est bien le cas on dira que le contrôle est positif ).
On numérote ces contrôles à partir du jour numéro 1 et on les suppose indépendants .
A chacun de ces contrôles la probabilité d'être positif est
Au premier contrôle négatif, les réglages du moteur sont améliorés puis on le soumet dès le lendemain à une nouvelle série de contrôles indépendants, à raison de un contrôle par jour.
A chacun de ces nouveaux contrôles la probabilité d'être positif est alors de
On note dans toute la suite
On numérote ces contrôles à partir du jour numéro 1 et on les suppose indépendants .
A chacun de ces contrôles la probabilité d'être positif est
Au premier contrôle négatif, les réglages du moteur sont améliorés puis on le soumet dès le lendemain à une nouvelle série de contrôles indépendants, à raison de un contrôle par jour.
A chacun de ces nouveaux contrôles la probabilité d'être positif est alors de
On note dans toute la suite
- Justifier que
suit une loi classique , qu'on détaillera , et donner son espérance et sa variance. - (a) Donner
. Que s'est-il passé les cinq premiers jours si et se sont réalisés ?
En déduire que
(b) Plus généralement, montrer que pour
(b) Plus généralement, montrer que pour
- si
. - si
.
(c) Montrer que pour tout entier naturel.
PARTIE B
Dans cette partie
On note
On note
- Montrer que
est une densité de probabilité.
Dans la suite de cette partie B, un capteur mesure en permanence le taux de gaz carbonique émis par le moteur. On suppose que le temps écoulé entre le démarrage du moteur et l'instant précis ( en heures ) où son taux de gaz carbonique devient non règlementaire est une variable aléatoire
2. Montrer que
3. (a) Déterminer la fonction de répartition de
(b) Calculer les probabilités
4. On met en route
2. Montrer que
3. (a) Déterminer la fonction de répartition de
(b) Calculer les probabilités
4. On met en route
On note
(a) Montrer que la variable
(b) Calculer son risque quadratique noté
(a) Montrer que la variable
(b) Calculer son risque quadratique noté
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