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BCE Maths appliquées ESCP ECE 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths appliquées - ECE 2002

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Annale de maths appliquées BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2002.

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E.S.C.P. - E.A.P.

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mardi 14 Mai 2002, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

On désigne par I, O, J et A les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
I = (1, 0, 0; 0, 1, 0; 0, 0, 1), O = (0, 0, 0; 0, 0, 0; 0, 0, 0), J = (1, 1, 1; 1, 1, 1; 1, 1, 1), A = (− 3, 1, 1; 1, − 3, 1; 1, 1, − 3)
  1. a) Écrire la matrice A comme combinaison linéaire des matrices I et J, puis la matrice J comme combinaison linéaire des matrices A et I.
    b) Exprimer J^2 en fonction de J et en déduire que la matrice A vérifie l'égalité A^2 + 5A + 4I = O.
    c) Montrer que la matrice A est inversible et exprimer son inverse A^(− 1) en fonction des matrices I et J.
  2. a) Soit U la matrice-colonne (1; 1; 1). Calculer le produit matriciel JU.
En déduire une valeur propre de la matrice J.
b) Montrer que 0 est valeur propre de J et donner une base du sous-espace propre associé.
c) La matrice J est-elle inversible? La matrice J est-elle diagonalisable?
3. a) Soit X une matrice-colonne non nulle à trois éléments et λ un réel vérifiant JX = λX. Montrer qu'il existe un réel μ que l'on donnera en fonction de λ vérifiant AX = μX.
b) En déduire que A est diagonalisable et que ses valeurs propres sont -1 et -4 .
c) Sans expliciter la matrice A^(− 1), calculer ses valeurs propres et montrer qu'elle est diagonalisable.
4. Soit a un paramètre réel et F_a la fonction définie sur ℝ^2 par :
F_a(x, y) = (x, y, a)(− 3, 1, 1; 1, − 3, 1; 1, 1, − 3)(x; y; a)
a) Vérifier que cette fonction est de classe C^1 sur ℝ^2 et calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 en tout point (x, y) de ℝ^2.
b) Montrer qu'il existe un unique point (x_0, y_0) de ℝ^2, que l'on précisera, en lequel les dérivées partielles d'ordre 1 de F_a sont nulles. Calculer F_a(x_0, y_0).
c) Calculer, pour tout couple (x, y) de ℝ^2, le nombre : G_a(x, y) = F_a(x, y) + 1/3(3x − y − a)^2 + 2a^2 et préciser son signe.
d) En déduire que la fonction F_a admet un unique extremum sur ℝ^2. Préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum et donner sa valeur notée M(a).
e) Montrer que la fonction M qui, à tout réel a associe le nombre M(a), admet un unique extremum que l'on précisera. Que peut-on en conclure?

PROBLÈME

Pour toutes suites numériques u = (u_n)_(n ∈ ℕ) et v = (v_n)_(n ∈ 𝕀), on définit la suite u∗v = w par :
∀n ∈ ℕ, w_n = ∑_(k = 0)^n u_k v_(n − k)

Partie 1 : Exemples

1. Premiers exemples

Pour tout entier naturel n, calculer w_n en fonction de n dans chacun des cas suivants :
a) pour tout entier naturel n, u_n = 2 et v_n = 3.
b) pour tout entier naturel n, u_n = 2^n et v_n = 3^n.
c) pour tout entier naturel n, u_n = (2^n)/(n!) et v_n = (3^n)/(n!).

2. Programmation

Dans cette question, les suites u et v sont définies par : ∀n ∈ ℕ, u_n = ln(n + 1) et v_n = 1/(n + 1).
Écrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l'utilisateur une valeur de l'entier naturel n, qui calcule et affiche les valeurs w_0, w_1, …, w_n.

3. Un résultat de convergence

Dans cette question, la suite u est définie par: ∀n ∈ ℕ, u_n = (1/2)^n et v cst une suite de récls positifs, décroissante à partir du rang 1 et de limite nulle.
a) Établir, pour tout couple d'entiers naturels (n, m) vérifiant n < m, l'inégalité : ∑_(k = n + 1)^m u_k ⩽ u_n.
b) Soit n un entier strictement supérieur à 1. Prouver les inégalités :
w_(2n) ⩽ v_0 u_(2n) + 2v_n + v_1 u_n et w_(2n + 1) ⩽ v_0 u_(2n + 1) + 2v_(n + 1) + v_1 u_n
c) En déduire que les deux suites (w_(2n))_(n ∈ Π!) et (w_(2n + 1))_(n ∈ Π) convergent vers 0 . La suite (w_n)_(n ∈ Π) converge donc, elle aussi, vers 0 .
d) Soit b la suite définie par: ∀n ∈ ℕ, b_n = (− 1/2)^n. À l'aide de la question précédente, montrer que la suite b∗v est convergente et de limite nulle.

Partie 2 : Application à l'étude d'un ensemble de suites

Dans cette partie, A désigne l'ensemble des suites a = (a_n)_(n ∈ Π) de réels positifs vérifiant :
∀n ∈ ℕ^∗, a_(n + 1) ⩽ 1/2(a_n + a_(n − 1))
  1. Montrer que toute suite décroissante de réels positifs est élément de A et qu'une suite strictement croissante ne peut appartenir à A.
  2. Soit z = (z_n)_(n ∈ ℕ) une suite réelle vérifiant : ∀n ∈ ℕ^∗, z_(n + 1) = 1/2(z_n + z_(n − 1)).
    a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles α et β telles que l'on a :
∀n ∈ ℕ, z_n = α + β(− 1/2)^n
b) En déduire qu'il existe des suites appartenant à A et non monotones.
3. Soit a = (a_n)_(n ∈ 𝕀) un élément de A et b la suite définie par : ∀n ∈ ℕ, b_n = (− 1/2)^n.
On définit alors la suite c par : c_0 = a_0 et ∀n ∈ ℕ^∗, c_n = a_n + 1/2a_(n − 1).
a) Montrer que la suite c est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle converge vers un nombre ℓ que l'on ne cherchera pas à calculer.
b) Pour tout entier naturel n, établir l'égalité : ∑_(k = 0)^n(− 1/2)^k c_(n − k) = a_n.
Que peut-on en déduire pour les suites b∗c et a ?
c) Soit ε la suite définie par : ∀n ∈ ℕ, ε_n = c_n − ℓ. Montrer que la suite b∗ε converge vers 0 .
d) On désigne par d la suite b∗ε.
Pour tout entier naturel n, établir l'égalité : d_n = a_n − 2/3ℓ(1 − (− 1/2)^(n + 1)).
En déduire que la suite a converge et préciser sa limite.

Partie 3 : Application aux variables aléatoires

Dans cette partie, toutes les variables aléatoires envisagées sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( Ω, A, P ).

1. Résultats préliminaires

On suppose que X et Y sont deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans ℕ et on désigne par S leur somme.
a) Pour tout entier naturel n, on pose : u_n = P([X = n]) et v_n = P([Y = n]).
Montrer que l'on a: ∀n ∈ ℕ, P([S = n]) = w_n, ( w étant la suite définie à partir des suites u et v en tête du problème).
b) Retrouver alors le résultat de la question 1.c) de la Partie 1 par un choix adéquat des lois de X et de Y.
c) Pour toute variable aléatoire Z à valeurs dans ℕ, on note 2^(− Z) la variable aléatoire prenant, pour tout entier naturel n, la valeur 2^(− n) si et seulement si l'événement [ Z = n ] est réalisé. Montrer que la variable aléatoire 2^(− Z) admet une espérance donnée par:
On note r(Z) cette espérance.
E(2^(− Z)) = ∑_(n = 0)^∞P([Z = n])(1/2)^n
d) Que peut-on dire des variables aléatoires 2^(− X) et 2^(− Y) ?
En déduire l'égalité : r(S) = r(X)r(Y).
e) On suppose que (X_n)_(n ∈ I !*) est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans ℕ et de méme loi. Pour tout entier naturel non nul q. on désigne par S_q la variable aléatoire définie par : S_q = ∑_(i = 1)^q X_i. Établir l'égalité : r(S_q) = (r(X_1))^q.

2. Une formule sommatoire

a) Montrer que les égalités : ∀n ∈ ℕ, P([Z = n]) = (1/2)^(n + 1) définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire Z à valeurs dans ℕ. Calculer alors le nombre r(Z).
b) On suppose que (X_n)_(n ∈ ℕ) * est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans ℕ, de même loi que Z et, pour tout entier naturel non nul q, on désigne encore par S_q la variable :
S_q = ∑_(i = 1)^q X_i
En admettant, pour tout entier naturel non nul q, l'égalité ∑_(k = 0)^n C_(k + q)^q = C_(n + q + 1)^(q + 1), montrer par récurrence que la loi de S_q est donnée par :
∀n ∈ ℕ, P([S_q = n]) = C_(n + q − 1)^(q − 1)(1/2)^(n + q)
c) Pour tout entier naturel non nul q, calculer le nombre r(S_q) et en déduire la relation :
∑_(n = 0)^∞C_(n + q − 1)^(q − 1)(1/4)^n = (4/3)^q

3. Un exemple concret

On admet, dans cette question, que la variable aléatoire Z définie à la question 2.a) représente le nombre de petits devant naître en 2003 d'un couple de kangourous. Chaque petit kangourou a la même probabilité 1/2 d'être mâle ou femelle, indépendamment des autres. On note F la variable aléatoire égale au nombre de femelles devant naître en 2003.
a) Préciser, pour tout entier naturel n, la loi conditionnelle de F sachant [Z = n].
b) À l'aide de la formule obtenue en 2.c, montrer que la loi de F est donnée par :
∀n ∈ ℕ, P([F = n]) = 2/3(1/3)^n
c) Justifier l'existence des espérances E(Z) et E(F) des variables aléatoires Z et F, puis vérifier l'égalité : E(Z) = 2E(F).

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