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BCE Maths appliquees ESCP ECE 2002

Epreuve de maths appliquees - ECE 2002

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Algèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsRéductionCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesInformatique
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2002ECE MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESCP pour la filiere ECE, session 2002.

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E.S.C.P. - E.A.P.

CONCOURS D'ADMISSION SUR CLASSES PREPARATOIRES

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mardi 14 Mai 2002, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

On désigne par et les matrices carrées d'ordre 3 suivantes :
  1. a) Écrire la matrice comme combinaison linéaire des matrices et , puis la matrice comme combinaison linéaire des matrices et .
    b) Exprimer en fonction de et en déduire que la matrice vérifie l'égalité .
    c) Montrer que la matrice est inversible et exprimer son inverse en fonction des matrices et .
  2. a) Soit la matrice-colonne . Calculer le produit matriciel .
En déduire une valeur propre de la matrice .
b) Montrer que 0 est valeur propre de et donner une base du sous-espace propre associé.
c) La matrice est-elle inversible? La matrice est-elle diagonalisable?
3. a) Soit une matrice-colonne non nulle à trois éléments et un réel vérifiant . Montrer qu'il existe un réel que l'on donnera en fonction de vérifiant .
b) En déduire que est diagonalisable et que ses valeurs propres sont -1 et -4 .
c) Sans expliciter la matrice , calculer ses valeurs propres et montrer qu'elle est diagonalisable.
4. Soit a un paramètre réel et la fonction définie sur par :
a) Vérifier que cette fonction est de classe sur et calculer ses dérivées partielles d'ordre 1 en tout point de .
b) Montrer qu'il existe un unique point de , que l'on précisera, en lequel les dérivées partielles d'ordre 1 de sont nulles. Calculer .
c) Calculer, pour tout couple de , le nombre : et préciser son signe.
d) En déduire que la fonction admet un unique extremum sur . Préciser s'il s'agit d'un minimum ou d'un maximum et donner sa valeur notée .
e) Montrer que la fonction qui, à tout réel associe le nombre , admet un unique extremum que l'on précisera. Que peut-on en conclure?

PROBLÈME

Pour toutes suites numériques et , on définit la suite par :

Partie 1 : Exemples

1. Premiers exemples

Pour tout entier naturel , calculer en fonction de dans chacun des cas suivants :
a) pour tout entier naturel et .
b) pour tout entier naturel et .
c) pour tout entier naturel et .

2. Programmation

Dans cette question, les suites et sont définies par : et .
Écrire un programme en Turbo-Pascal qui demande à l'utilisateur une valeur de l'entier naturel , qui calcule et affiche les valeurs .

3. Un résultat de convergence

Dans cette question, la suite est définie par: et cst une suite de récls positifs, décroissante à partir du rang 1 et de limite nulle.
a) Établir, pour tout couple d'entiers naturels vérifiant , l'inégalité : .
b) Soit n un entier strictement supérieur à 1. Prouver les inégalités :
c) En déduire que les deux suites et convergent vers 0 . La suite converge donc, elle aussi, vers 0 .
d) Soit la suite définie par: . À l'aide de la question précédente, montrer que la suite est convergente et de limite nulle.

Partie 2 : Application à l'étude d'un ensemble de suites

Dans cette partie, désigne l'ensemble des suites de réels positifs vérifiant :
  1. Montrer que toute suite décroissante de réels positifs est élément de et qu'une suite strictement croissante ne peut appartenir à .
  2. Soit une suite réelle vérifiant : .
    a) Montrer qu'il existe deux constantes réelles et telles que l'on a :
b) En déduire qu'il existe des suites appartenant à et non monotones.
3. Soit un élément de et la suite définie par : .
On définit alors la suite par : et .
a) Montrer que la suite est décroissante à partir du rang 1 et qu'elle converge vers un nombre que l'on ne cherchera pas à calculer.
b) Pour tout entier naturel , établir l'égalité : .
Que peut-on en déduire pour les suites et ?
c) Soit la suite définie par : . Montrer que la suite converge vers 0 .
d) On désigne par la suite .
Pour tout entier naturel , établir l'égalité : .
En déduire que la suite a converge et préciser sa limite.

Partie 3 : Application aux variables aléatoires

Dans cette partie, toutes les variables aléatoires envisagées sont supposées définies sur le même espace probabilisé ( ).

1. Résultats préliminaires

On suppose que et sont deux variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans et on désigne par leur somme.
a) Pour tout entier naturel , on pose : et .
Montrer que l'on a: , ( étant la suite définie à partir des suites et en tête du problème).
b) Retrouver alors le résultat de la question 1.c) de la Partie 1 par un choix adéquat des lois de et de .
c) Pour toute variable aléatoire à valeurs dans , on note la variable aléatoire prenant, pour tout entier naturel , la valeur si et seulement si l'événement [ ] est réalisé. Montrer que la variable aléatoire admet une espérance donnée par:
On note cette espérance.
d) Que peut-on dire des variables aléatoires et ?
En déduire l'égalité : .
e) On suppose que est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans et de méme loi. Pour tout entier naturel non nul . on désigne par la variable aléatoire définie par : . Établir l'égalité : .

2. Une formule sommatoire

a) Montrer que les égalités : définissent la loi de probabilité d'une variable aléatoire à valeurs dans . Calculer alors le nombre .
b) On suppose que * est une suite de variables aléatoires indépendantes, à valeurs dans , de même loi que et, pour tout entier naturel non nul , on désigne encore par la variable :
En admettant, pour tout entier naturel non nul , l'égalité , montrer par récurrence que la loi de est donnée par :
c) Pour tout entier naturel non nul , calculer le nombre et en déduire la relation :

3. Un exemple concret

On admet, dans cette question, que la variable aléatoire définie à la question 2.a) représente le nombre de petits devant naître en 2003 d'un couple de kangourous. Chaque petit kangourou a la même probabilité d'être mâle ou femelle, indépendamment des autres. On note la variable aléatoire égale au nombre de femelles devant naître en 2003.
a) Préciser, pour tout entier naturel , la loi conditionnelle de sachant .
b) À l'aide de la formule obtenue en 2.c, montrer que la loi de est donnée par :
c) Justifier l'existence des espérances et des variables aléatoires et , puis vérifier l'égalité : .

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