Vendredi 4 Mai 2001 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Le but du problème est l'étude du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires qu'on aborde d'abord de façon générale (partie I), puis dans un cas particulier (partie II).

On considère deux variables aléatoires et définies sur un même espace probabilisé et admettant des espérances et et des variances et et on suppose (on rappelle que si et seulement si, avec une probabilité égale à est constante). La covariance des deux variables aléatoires et (que celles-ci soient discrètes ou à densité) est alors le nombre réel défini par :

a) Exprimer en fonction de et en déduire la formule suivante pour tout nombre réel :

b) En déduire que .

A quelle condition nécessaire et suffisante a-t-on l'égalité ?

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ETARLISSEMENT D'ENSEIGNEMENT SUPERIEUR PRIVE
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ETARLISSEMENTS PRIVES DENSEIGNEMENT SUPERIEUR
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AFFILIES A LA CHAMBRE DE COMMERCE ET DINDUSTRIE DE VERSAILLES VAL DOOISE-YVELINES
) Coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et
On suppose dans cette question les variances et de et strictement positives.
a) Exprimer le coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et en fonction de et des écarts-types et des variables aléatoires et et montrer que appartient à .
Préciser de plus à quelle condition nécessaire et suffisante est égal à -1 ou +1 .
b) Donner la valeur de lorsque les variables aléatoires et sont indépendantes.
c) On suppose enfin que suit une loi normale centrée réduite et que .

Préciser les espérances et les variances de et ainsi que la covariance et le coefficient de corrélation de et . Etudier alors la réciproque de la question (b).

) Calculs préliminaires
a) On considère deux nombres entiers naturels et tels que .

En raisonnant par récurrence sur , établir la formule suivante :

b) En faisant , en déduire une expression factorisée des quatre sommes suivantes :

On considère dans toute la suite de cette partie un nombre entier et une urne contenant jetons numérotés de 1 à .
On extrait de cette urne successivement et sans remise 2 jetons et on désigne alors par :

On note et et et et les espérances et variances des quatre variables aléatoires .
) Lois conjointe et marginales des variables aléatoires et
a) Déterminer les probabilités pour et pour . En déduire pour , puis comparer les lois de et .
b) Calculer les espérances et , les variances et .
c) Déterminer les probabilités pour et en distinguant les deux cas et et en déduire que :

En déduire la covariance et le coefficient de corrélation linéaire de et .
d) Exprimer enfin sous forme factorisée la variance .
) Lois conjointe, marginales et conditionnelles des variables aléatoires et
a) Montrer que les probabilités sont égales à pour .

Que valent-elles sinon?
b) En déduire les probabilités pour et pour .
(On vérifiera que les formules donnant et restent valables si ou ).
c) Déterminer les probabilités et pour , puis reconnaître la loi de conditionnée par et la loi de conditionnée par .
d) Comparer les lois des variables aléatoires et , autrement dit les deux probabilités et pour .
En déduire que et , puis en déduire les expressions de en fonction de et de en fonction de .
) Espérances et variances des variables aléatoires et
a) Exprimer les espérances et en fonction de .
b) Exprimer sous forme factorisée , puis et en fonction de .
) Covariance et coefficient de corrélation linéaire des variables aléatoires et
a) Vérifier que , puis en déduire sous forme factorisée la variance de et la covariance de et .
b) En déduire le coefficient de corrélation de et .

On remarquera que ce coefficient de corrélation linéaire de et est indépendant de .

On se propose de retrouver les résultats précédents par une autre méthode, en ne supposant connues que les probabilités pour et .
On désigne par la fonction génératrice du couple de variables aléatoires ( ), définie par :

a) Montrer que et .

Donner des égalités analogues pour et .
b) Montrer, en posant , c'est à dire , qu'on a pour :

En développant ci-dessus et , quelle expression de en déduit-on?
c) Préciser les deux dérivées partielles et , puis retrouver sous forme factorisée les nombres et et et , et pour terminer le coefficient de corrélation des variables aléatoires et .