BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2006

Concepteur : ESSEC

Mercredi 10 mai 2006, de 14 h à 18 h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Les deux problèmes sont totalement indépendants, le premier est consacré aux lois de probabilité et variables aléatoires discrètes. Dans le second on manipule au contraire des lois de probabilité et des variables aléatoires continues.

Notations: si et sont deux nombres réels, on désigne par le plus petit de ces deux nombres. Tout au long du sujet ( ) désignera un espace probabilisé et les variables aléatoires utilisées plus bas seront toutes définies sur cet espace probabilisé. Sous réserve de son existence, l'espérance mathématique d'une variable aléatoire réelle sera notée .

Dans cette première partie on considère un ensemble discret dont on suppose qu'il est soit fini soit égal à l'ensemble des entiers naturels . désigne l'ensemble de toutes les parties de et pour tout , on note le complémentaire de dans .

Soient et deux lois de probabilité sur . Pour tout , on pose et . On rappelle que pour tout avec . De plus toute probabilité est entièrement déterminée par la donnée de puisque pour tout .

Lorsque est fini on définit la distance en variation entre les probabilités et par

I. 1) Lorsque , exprimer en fonction de et .
I. 2) Lorsque , vérifier que la série de terme général est convergente. On étend donc la définition de la distance en variation donnée par (i) au cas où .
I. 3) Vérifier que pour tout .
I. 4) Montrer que pour tout

I. 5) En déduire que pour tout

I. 6) Montrer que la partie réalise l'égalité dans (ii), c'est à dire que

I. 7) Démontrer la formule

I. 8) On considère un couple de variables aléatoires tel que soit de loi et soit de loi . Autrement dit, pour tout

Montrer que .

Soit un entier strictement positif et un réel strictement positif, strictement plus petit que . L'objet de cette deuxième partie est d'étudier un exemple: l'approximation de la loi binomiale par la loi de Poisson en terme de distance en variation. Plus précisément, si d'une part désigne la loi binomiale de paramètres et et si d'autre part on note la loi de Poisson de paramètre , le but est de prouver la majoration suivante:

où est définie au (i).
II. 1) Soit variables aléatoires indépendantes et de même loi de Poisson de paramètre , donner sans démonstration la loi de .
II. 2) Vérifier que pour tout

appartient à .
Soit variables aléatoires indépendantes de même loi de Bernoulli de paramètre . On suppose que les variables sont indépendantes des variables de la question II. 1). Pour , on pose si et sinon.
II. 3) Vérifier que pour tout suit une loi de Bernoulli de paramètre et donner la loi de .
II. 4) Montrer que pour tout

(On pourra établir que pour tout réel ).
II. 5) Montrer que

II. 6) En déduire que

puis conclure quant à (iv).
II. 7) Quel résultat connu peut-on déduire de (iv) lorsque tend vers l'infini?

Dans ce problème désigne une variable aléatoire de loi normale centrée et réduite, sa densité de probabilité et sa fonction de répartition. On note par ailleurs la densité de la loi exponentielle de paramètre égal à 1 . On définit également pour tout nombre réel puis .

On admettra que admet des moments de tout ordre, ce qui signifie que pour tout entier naturel , l'intégrale converge.

On démontre dans cette partie des résultats utiles pour la partie II.
I. 1) Montrer que réalise une bijection de sur [ dont on notera l'application réciproque.
I. 2) Calculer la fonction de répartition de puis constater que suit la loi exponentielle de paramètre 1.
I. 3) a) Vérifier la validité de l'identité suivante

b) En déduire l'encadrement

Indication pour la minoration: On pourra montrer tout d'abord que .
c) Montrer l'équivalence

d) En utilisant (E) énoncée à la question I. 3)b), montrer que pour tout

et en déduire l'équivalence

On définit une application sur par: pour et .
II. 1) Vérifier que est une application continue de vers .

Sous réserve qu'elle converge, on note la valeur de l'intégrale . On désire vérifier l'inégalité (dite de transport) suivante

II. 2) Montrer que est une application dérivable sur . Pour tout réel calculer et vérifier l'identité .
II. 3) Vérifier que l'intégrale définissant converge et montrer que

II. 4) Montrer que converge et justifier l'égalité suivante:

II. 5) Montrer que l'intégrale converge.
II. 6) Démontrer que

(On pourra utiliser en la justifiant l'inégalité , pour tout réel strictement positif).
II. 7) Conclure grâce à une intégration par parties que l'on justifiera soigneusement.