Mercredi 7 mai 2014, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

S'interroger sur la répartition des nombres dans un tableau de données est une question importante des mathématiques du hasard. Le problème propose trois approches dans des situations diverses. Dans une première partie, on étudie la loi du premier chiffre significatif. Dans une deuxième, on introduit une fonction auxilliaire pour obtenir un renseignement sur la répartition moyenne des nombres dans une table de logarithmes. Enfin, dans la troisième, on s'intéresse à la fréquence d'apparition d'une décimale dans l'écriture d'un nombre. Les trois parties sont indépendantes

Soit . On note sa partie entière, c'est-à-dire le plus grand entier relatif inférieur ou égal à , et sa partie fractionnaire : . On note log le logarithme en base 10 du réel . On a donc . On rappelle en particulier les propriétés suivantes, qu'on pourra utiliser sans démonstration

On a par exemple .
1)
(a) Montrer que pour tout réel positif et non nul, on a

Cette décomposition est dite notation scientifique de .
(b) Montrer que pour tout , le couple est l'unique couple dans tel que .
(c) Soit . On pose . Montrer que . est appelé le premier chiffre significatif de .
2) Pour tout entier naturel tel que , on pose . Montrer que . définit donc une loi de probabilité sur dite loi de Benford.
3) Soit une variable aléatoire réelle strictement positive. On suppose que la variable aléatoire réelle suit une loi uniforme sur [0,1[.
(a) Soit . Montrer que
(b) On considère la variable aléatoire égale au premier chiffre significatif de .

Déterminer la loi de la variable aléatoire .
4) Soit une variable aléatoire réelle admettant une densité continue sur . On suppose que
(h1) atteint son maximum en un unique point .
(h2) est croissante sur et décroissante sur
(a)
i) Montrer que pour tout et tout .
ii) Déduire que pour tout , la loi de est identique à celle de .
iii) Déterminer une fonction de densité continue de la variable aléatoire .
iv) Montrer que admet un unique maximum en un point .
v) Montrer que vérifie les conditions (h1) et (h2) ci-dessus avec remplaçant .

On supposera donc désormais que . On fixe et on note pour .
(b)
i) Soit une fonction positive continue et croissante sur . Montrer, en utilisant un changement de variable, que .
ii) Déduire que pour tout tel que , on a

On admettra qu'on montrerait de même que pour
iii) Montrer que et que
iv) Montrer que et que
v) Conclure que

On montrerait de même que , inégalité qu'on admettra.
vi) Montrer que l'événement est égal à .
vii) Déduire que .
5) Soit une suite de variables aléatoires telle que suit une loi exponentielle de paramètre . On pose et .
(a) Déterminer une densité de la loi de , continue sur .
(b) Étudier les variations de sur et déterminer son maximum.
(c) Montrer que pour tout .
(d) Montrer que la suite converge en loi vers la loi uniforme sur .

Henri Poincaré (1854-1912) a proposé au début du 20ème siècle une façon originale d'étudier la répartition des valeurs d'une table numérique en montrant que pour un bon choix d'une fonction de période assez grande par rapport à l'incrémentation des valeurs de la table, la moyenne des valeurs prises par sur la table sera petite, ce qui indique une certaine forme d'équilibre dans la répartition de ces valeurs.
Poincaré considère l'exemple des valeurs d'une table de logarithmes

pour et pose , fonction de période , grande par rapport à l'incrémentation dans la table. Il s'intéresse à la moyenne des valeurs de sur la table, c'est-à-dire à

et désire montrer que cette valeur est petite.
Posons

(a) Soit une fonction de classe sur . On suppose qu'il existe un réel tel que, pour tout .
Montrer que pour et , on a

(b) Déduire que pour tout ,

Dans la suite, on admettra que .
(c) Exprimer pour le réel en fonction de et de puis montrer que

(d) Déduire que
8)
(a) Montrer que

(b) Soient des réels tels que et .
i) Montrer que .
ii) À l'aide d'une intégration par parties et de l'inégalité précédente montrer

(c) Déduire de la question précédente que .
(d) Conclure que .

Dans cette partie, on se donne un espace probabilisé ( ) et on notera comme d'habitude, sous réserve d'existence, et l'espérance et la variance d'une variable aléatoire réelle .
On commence par rappeler les deux points de théorie suivants.
(i) Pour toute suite d'événements dans , on a avec la convention que cette série vaut si elle diverge.
(ii) Si est une suite décroissante d'événements dans , au sens où , on a
On rappelle aussi l'inégalité de Markov : si est une variable aléatoire positive admettant une espérance , pour tout , on a .
On considère ici le tirage au sort d'un nombre réel entre 0 et 1 qu'on modélise de la façon suivante : est une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi uniforme à valeurs dans . Les représentent les décimales du nombre tiré au hasard c'est-à-dire que ce nombre est .
On définit enfin pour tout une variable aléatoire à valeurs 0 ou 1 par si et si .
9)
(a) Montrer que les variables sont indépendantes et de même loi que l'on précisera.
(b) Déterminer et .

On pose . Par conséquent, représente la fréquence des 1 dans la suite des décimales du nombre tiré.
(c) Calculer en fonction de .
(d) Soit fixé. Montrer .
(e) En déduire que

On va dans la suite améliorer ce résultat en montrant qu'en fait pour la plupart des nombres réels, la fréquence des 1 dans leurs décimales vaut .
10) Soit une suite d'événements.
(a) On pose . Montrer que est l'ensemble des qui appartiennent à une infinité d'événements .
(b) On pose, pour tout . Montrer que .
(c) Déduire que .
(d) On suppose que .
i) Que vaut ?
ii) Conclure que .
11) On pose, pour tout .
(a) Montrer que .
(b) Montrer que les variables sont indépendantes, d'espérance nulle et telles que .
(c) Montrer que .
(d) Déduire que

(e) On pose, pour . Montrer que .
(f) Déduire que est une série convergente.
(g) On considère l'événement pour une infinitéde . Montrer que .
(h) Déduire qu'avec probabilité 1 , on peut trouver tel que pour tout .
(i) Conclure qu'avec probabilité 1 , on a .