La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On s'intéresse dans ce problème à l'énergie d'un graphe qui est définie à partir de l'énergie de sa matrice d'adjacence.

L'énergie d'un graphe a été introduite en 1978 par Ivan Gutman. Ce n'est qu'à partir des années 2000 que des recherches approfondies sur cette notion ont été entreprises.

Aujourd'hui plus de deux articles par semaine sont publiés sur l'énergie des graphes avec de nombreuses applications dans divers domaines scientifiques.

Les parties 2 et 3 sont indépendantes et un bref aide-mémoire Python se trouve en page 6.

Dans tout le problème

est un entier supérieur ou égal à 2 .
On rappelle que la notation

est analogue à la notation

Partie 1 - Énergie et trace d'une matrice

Soit une matrice carrée symétrique appartenant à . Justifier l'existence d'une matrice carrée inversible appartenant à telle que soit une matrice diagonale. Que peut-on dire des éléments diagonaux de ?

En notant les éléments diagonaux de , on pose alors , on nomme ce réel positif l'énergie de .
On admet que cette somme ne dépend pas du choix de .

Montrer que si .
Ecrire une fonction Python energie(A) qui renvoie l'énergie de la matrice symétrique représentée par le tableau numpy A .

Si est une matrice carrée appartenant à , on définit la trace de A, notée par :

Notons et .
a) Montrer que .
b) En déduire que : et .

Que peut-on dire de

?
c) Si

sont semblables, montrer que

.
5. Dans cette question

est symétrique et on utilise les notations de la question 1.
a) Montrer que

.
b) Justifier que

.
6. Dans la console Python, on obtient :

>>> energie(3*np.eye(3)-np.ones([3,3]))
6.0

a) Déterminer quelle est la matrice

associée au tableau

np. eye

-np. ones

.
b) En calculant

et en déterminant une valeur propre évidente de

, expliciter son spectre et retrouver son énergie.

Partie 2 - Produit de Kronecker de matrices symétriques

Soit une matrice carrée appartenant à symétrique et une matrice carrée appartenant à symétrique.
On définit la matrice carrée appartenant à que l'on peut naturellement représenter ainsi (écriture par blocs).
Par exemple, si et , alors par blocs, d'où (03 désigne la matrice nulle de ).
Si est une matrice colonne appartenant à , on écrira avec et .
On admet qu'alors la matrice colonne de est égale à .

a) Écrire une fonction Python qui étant donné et , représentée par un tableau numpy, renvoie sous la forme d'un tableau numpy.
b) Compléter le code suivant s'affichant dans la console Python:

>>> prod2K(...,-1,...,...)
array([[-2., 1., 2., -1.],
    [ 1., -2., -1., 2.],
    [ 2., -1., -4., 2.],
    [-1., 2., 2., -4.]])

Soit un vecteur propre de pour la valeur propre et un vecteur propre de pour . On pose .
a) Établir l'égalité : .
b) Montrer que est un vecteur propre de et préciser pour quelle valeur propre.
a) Justifier l'existence d'une base de et de une base de , formée de vecteurs propres de et respectivement.

On note et les valeurs propres associées à et respectivement et celles associées à respectivement.
On pose, pour tout et .
b) Montrer que la famille ( ) est libre.
c) En déduire que est semblable à la matrice diagonale dont les éléments diagonaux sont .
d) En conclure que .

Un exemple - On considère un graphe , non orienté et sans boucle, dont les sommets sont et l'ensemble des arêtes est noté . On définit le graphe dont les sommets sont et les arêtes sont celles de , ainsi que, pour toute arête , les arêtes et .
Voici un exemple de représentation de et

On note

les matrices d'adjacence de

.
a) Déterminer

telle que

.
b) En déduire que

Partie 3 - Encadrement de l'énergie d'une matrice d'adjacence

Soit

des entiers tels que

.
On suppose dans cette partie que

est la matrice d'adjacence d'un graphe

, non orienté sans boucle, à

sommets

arêtes et

sommets isolés, c'est-à-dire de degré 0 .

On note

la base canonique de

l'ensemble des sommets non isolés de

.
11. a) Montrer que

.
b) Établir que :

.
12. a) Justifier qu'il existe une matrice carrée inversible

appartenant à

telle que

soit une matrice diagonale différente de la matrice nulle.

Dans la suite on note cette matrice diagonale.
b) En déduire que .
On suppose dans la suite que est telle que les éléments diagonaux de vérifient . On pose .

a) Soit un sommet isolé. Montrer que .

En déduire que

puis que, si

.
b) Montrer que

puis que

.
c) Soit

des réels. Montrer que :

. En déduire que

.
d) En conclure que

.
14. On admet qu'on peut choisir la matrice

de la question 12.a) de sorte que

. On pose alors

.
Soit

une matrice colonne appartenant à

On admet que si est une matrice carrée appartenant à et une matrice colonne appartenant à alors .
Si et sont deux matrices colonnes appartenant à est une matrice carrée appartenant à , on l'identifie à son unique coefficient. Donc .
a) Montrer que puis que et .
b) Montrer que .
c) En remarquant que , en déduire que .

Soit la matrice colonne appartenant à dont le ème coefficient vaut 1 si n'est pas isolé et 0 sinon.
a) Montrer que . En déduire que .
b) Établir que : .
a) Étudier la fonction sur .
b) En déduire que , c'est-à-dire que :

On suppose dans cette question que est la matrice d'adjacence d'un graphe complet de sommets donc et .
a) Représenter la matrice .
b) Montrer -1 est une valeur propre de et que le sous-espace propre associé est de dimension .
c) Établir aussi que est une valeur propre de . En déduire que et que l'inégalité (1) est alors une égalité.

On note et . On note aussi le degré maximal des sommets du graphe .

Écrire une fonction Python qui renvoie le maximum des degrés des sommets du graphe , celui-ci étant donné par sa matrice d'adjacence sous la forme du tableau numpy A .
a) Montrer que pour tout .
b) En déduire que , puis que .
c) Soit et deux réels strictement positifs tels que . Étudier les variations de sur .
d) Montrer que . En déduire que .
Soit un vecteur propre pour une valeur propre de telle que .
a) Montrer que pour tout .
b) En conclure que
c) Montrer que l'égalité dans (2) est réalisée pour la matrice carrée appartenant à associée au graphe dont l'unique arête est .

Aide-mémoire Python

On suppose que l'on a exécuté import numpy as np, numpy.linalg as al en début de session.

Si T est un tableau numpy, np.shape(T) renvoie le nombre de lignes et le nombre de colonnes de T , dans cet ordre, sous la forme d'un couple.
np.zeros( ) crée un tableau numpy à lignes et colonnes ne contenant que des 0 .
np.ones crée un tableau numpy à lignes et colonnes ne contenant que des 1 .
np.eye(p) crée un tableau numpy à lignes et colonnes ne contenant que des 1 sur sa diagonale et des 0 ailleurs.
La fonction al.eigvals, appliquée à un tableau numpy représentant une matrice symétrique , renvoie le tableau des coefficients d'une matrice diagonale semblable à .

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