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BCE Maths appliquees ESSEC ECE 2007

Epreuve de maths appliquees - ECE 2007

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Algèbre linéaireRéductionProbabilités continuesStatistiques
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Banque
BCE
Année
2007
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2007ECE MathématiquesMathématiques 2007

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Description

Annale de maths appliquees BCE ESSEC pour la filiere ECE, session 2007.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

CONCOURS D'ADMISSION DE 2007
CODE SUJET :
290
ESSECM3_E
Concepteur : ESSEC

OPTION ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Lundi 14 mai 2007 de 8 h à 12 h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice : suites et calcul matriciel

Soient et les trois suites définies sur par leur premier terme :
et les relations de récurrence :
Pour tout entier naturel , on pose : , et on note la matrice .
  1. a) Reconnaître, pour tout entier naturel , le produit .
    b) En déduire l'expression de en fonction des matrices et de l'entier naturel .
  2. a) Démontrer que admet une seule valeur propre.
    b) Déterminer le sous-espace vectoriel propre de associé à l'unique valeur propre.
La matrice est-elle diagonalisable ?
3. On note l'endomorphisme de canoniquement associé à , c'est-à-dire tel que soit la matrice de dans la base canonique de .
a) Déterminer une base de telle que la matrice de dans cette base vérifie :
et que les vecteurs aient respectivement pour troisième composante et 2 . On notera dorénavant la base ( ).
b) À l'aide de la formule du binôme de Newton et de la décomposition suivante de :
déterminer l'expression de la matrice en fonction de l'entier naturel .
4. Soit la matrice de passage de la base canonique à la base .
a) Exprimer en fonction de et , puis en fonction des mêmes matrices et de l'entier naturel .
b) Calculer (les calculs devront figurer sur la copie).
c) Déterminer les expressions de en fonction de l'entier naturel .

Problème : probabilités

Dans tout l'exercice, les variables aléatoires sont définies sur un même espace probabilisé ( ).

I. Préliminaires

Dans cette partie I., désigne un réel strictement positif.
  1. Soit une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre .
    a) Déterminer la fonction : (appelée fonction de survie de ).
    b) Pour tous nombres réels strictement positifs et , calculer la probabilité conditionnelle ; justifier alors que, si modélise la durée de vie d'un phénomène, on dise de ce dernier qu'il est «sans vieillissement».
  2. Soit une suite de variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre . Pour tout entier naturel non nul, on pose : .
    a) Déterminer l'espérance et la variance de .
    b) Démontrer par récurrence que, pour tout de , la variable aléatoire admet pour densité la fonction
Pour cela, on admettra que, si et sont des variables aléatoires indépendantes admettant respectivement pour densité les fonctions et , alors la variable aléatoire admet pour densité la fonction définie sur par:

II. Loi de Pareto (Vilfredo Pareto (1848-1923), sociologue et économiste italien)

Soient et des réels strictement positifs. Par définition, on dit d'une variable aléatoire qu'elle suit la loi de Pareto de paramètres et si elle admet pour densité la fonction définie sur par:
Soit alors une variable aléatoire de loi de Pareto de paramètres et .
  1. Vérifier que l'égalité : est bien satisfaite ; calculer l'espérance et la variance de , en précisant à quelles conditions chacune de ces quantités existe.
  2. Déterminer la fonction de répartition de . Préciser la fonction de survie : .
  3. Démontrer que, pour tout réel positif ou nul, la probabilité conditionnelle tend vers 1 quand tend vers . De façon analogue à la question I. 1. b), que peut-on dire d'un phénomène dont la durée de vie est modélisée par ?
  4. On pose dans cette question : .
Démontrer que suit une loi exponentielle dont on précisera le paramètre.

III. Estimation des paramètres d'une loi de Pareto

Les instants aléatoires des arrivées de paquets (symboles binaires représentant de l'information de type audio, vidéo, données, ...) dans un canal de communication sont modélisés par une variable aléatoire suivant une loi de Pareto de paramètres et .
Soit une suite de variables aléatoires indépendantes, toutes de même loi que .
  1. On suppose tout d'abord que le paramètre fait partie des caractéristiques connues du canal de communication ; on se propose de déterminer un estimateur de par une méthode dite «du maximum de vraisemblance». Pour cela, désignant un entier naturel non nul et des réels supérieurs ou égaux à , on introduit la fonction , à valeurs dans et définie sur par :
où est la fonction définie sur par :
a) Exprimer , puis .
b) On considère la fonction de dans :
i) Démontrer que la fonction admet un maximum, atteint en un seul réel que l'on notera .
ii) Exprimer en fonction de .
iii) Que peut-on dire de pour la fonction ?
c) On pose dorénavant, pour tout de .
(La suite est appelée estimateur du maximum de vraisemblance.)
i) Justifier que la variable aléatoire admet pour densité la fonction définie dans I. 2. b) en prenant .
ii) À l'aide du théorème de transfert, en déduire que admet pour espérance lorsque , puis proposer un estimateur sans biais de construit sur .
d) On pose, pour tout de .
i) Soit un entier supérieur ou égal à 3 .
En admettant que le moment d'ordre 2 de est égal à , calculer la variance de puis établir, à l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, que pour tout réel strictement positif, on a l'inégalité : .
ii) On suppose dans cette question (et elle seule) que est strictement compris entre 1 et 2 .
Déterminer un entier naturel tel que, pour tout entier supérieur ou égal à , soit un intervalle de confiance du paramètre au niveau de confiance 0,95 .
2. On suppose maintenant que seul le paramètre est déjà identifié et qu'il vérifie : .
a) Pour tout entier strictement positif , on pose : , où le réel est choisi de sorte que soit un estimateur sans biais de .
i) Calculer .
ii) Quelle est la limite de la variance de quand tend vers ? (On dit que l'estimateur est convergent.)
b) Pour tout entier strictement positif , on pose : .
i) Déterminer la fonction de répartition de , puis reconnaître sa loi et préciser son espérance. Quelle est la limite de cette dernière quand tend vers ?
ii) Pour tout entier strictement positif , on pose : , où le réel est choisi de telle sorte que soit un estimateur sans biais de .
Quelle est la limite de la variance de quand tend vers ?
iii) Démontrer que l'estimateur est plus efficace que l'estimateur , c'est-à-dire, qu'à partir d'un certain rang, la variance de est inférieure à celle de .

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