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BCE Maths appliquees HEC ECE 2007

Epreuve de maths appliquees - ECE 2007

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Probabilités continuesStatistiquesAlgèbre linéaireProbabilités finies, discrètes et dénombrementSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)
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Banque
BCE
Année
2007
Filière
ECE
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECE MathématiquesBCE ECE 2007ECE MathématiquesMathématiques 2007

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Description

Annale de maths appliquees BCE HEC pour la filiere ECE, session 2007.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
1059a149-0423-4ffb-a00a-0cb7f5020fd5
CODE SUJET :
289
HEC_M3_E

Concepteur : H.E.C.

OPTION : ECONOMIQUE

MATHEMATIQUES III

Mercredi 2 Mai 2007, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

EXERCICE

  1. On considère muni de sa base canonique ( ); soit l'endomorphisme de , dont la matrice associée relativement à cette base s'écrit :
Calculer les valeurs propres de . Déterminer les sous-espaces propres de associés, et donner une base de chacun d'entre eux.
L'endomorphisme est-il diagonalisable ? Est-il bijectif ?
L'objet des questions suivantes est une généralisation des résultats précédents.
2. Soit un entier de . On considère l'espace vectoriel muni de sa base canonique ( ). Soit l'endomorphisme de défini par :
  • pour tout entier de , avec ;
  • .
    a) Déterminer la matrice associée à l'endomorphisme relativement à la base ( ).
    b) Déterminer le rang de , ainsi que la dimension du noyau de .
    c) Justifier que 0 est valeur propre de . Déterminer la dimension du sous-espace propre associé à la valeur propre 0 , ainsi qu'une base de ce sous-espace.
  1. Montrer que , où désigne l'image d'un endomorphisme de .
  2. Soit l'endomorphisme défini sur par : pour tout .
Établir que constitue une base de . Écrire la matrice associée à relativement à la base .
5. a) Soit une valeur propre non nulle de , et un vecteur propre associé à . Montrer que appartient à .
b) En déduire toutes les valeurs propres de . L'endomorphisme est-il diagonalisable?

PROBLÈME

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont considérées comme définies sur des espaces probabilisés non nécessairement identiques, mais qui, par souci de simplification, seront tous notés .

Partie I

  1. On considère la fonction définie sur par : .
    a) Montrer que les intégrales et sont convergentes et de même valeur.
    b) Établir que est une densité de probabilité sur .
Soit une variable aléatoire à valeurs réelles admettant pour densité. On dit que suit la loi .
2. Étudier les variations de et tracer l'allure de sa représentation graphique dans le plan rapporté à un repère orthonormé.
3. a) Montrer, pour tout de , l'existence du moment d'ordre de la variable aléatoire .
b) Calculer, pour tout de en fonction de . Quelles sont les valeurs de l'espérance et de la variance de la variable aléatoire ?
4. a) Déterminer la fonction de répartition de .
b) Établir que est une bijection de sur .
c) Montrer que l'équation admet une unique solution que l'on déterminera.
d) Établir que la fonction qui, à tout réel associe , est paire.
5. a) Montrer que l'application réciproque de est définie par :
b) Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est Laplace qui permet de simuler la loi . On rappelle que la fonction random permet de simuler en Pascal une loi uniforme sur .
6. Pour tout entier de , on considère la fonction définie par :
Montrer que définit une densité de probabilité sur .
Pour tout de , on désigne par une variable aléatoire de densité , et on note la fonction de répartition de .
7. a) Établir pour tout réel , la majoration suivante : .
b) En déduire que la suite de variables aléatoires converge en loi vers la loi .

Partie II

Soit un paramètre réel inconnu et une variable aléatoire à densité. On dit que suit la loi , si une densité de est donnée par : pour tout réel, .
Soit un entier naturel. On considère un ( )-échantillon ( ) de variables aléatoires réelles indépendantes et de même loi .
  1. a) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire .
    b) En déduire que la variable aléatoire suit la loi définie dans la partie I .
    c) Calculer l'espérance et la variance de la variable aléatoire .
    d) Résoudre l'équation .
  2. Soit un réel fixé. Pour tout de , on note la variable aléatoire de Bernoulli telle que .
    a) Établir l'indépendance des variables aléatoires .
    b) Soit la variable aléatoire définie par : . Quelle est la loi de probabilité de ? Préciser l'espérance et la variance de .
  3. On pose .
    a) Montrer que est un estimateur sans biais du paramètre .
    b) Calculer le risque quadratique de en .

Partie III

Le contexte de cette partie est identique à celui de la partie précédente.
Pour tout de , on réordonne par ordre croissant les réels , et on note , les nombres ainsi rangés, c'est-à-dire que . On définit ainsi ( ) variables aléatoires telles que , qui constituent un réarrangement par ordre croissant des variables aléatoires . On admet que .
On s'intéresse dans cette partie à la variable aléatoire .
  1. a) Pour tout réel , justifier l'égalité entre événements suivante : .
    b) En déduire la fonction de répartition de en fonction de (on exprimera cette fonction sous forme d'une somme que l'on ne cherchera pas à calculer).
  2. On note une densité de , et une densité de ( ).
    a) Établir pour tout de , l'égalité suivante : .
    b) En déduire, pour tout réel, l'égalité :
c) Établir, pour tout réel, l'égalité suivante :
où et ont été définies dans la partie I.
d) En utilisant la question I.4.d, montrer que est un estimateur sans biais du paramètre .
3. Dans cette question, on étudie le comportement de la suite , lorsque tend vers . On désigne par une densité de la variable aléatoire .
a) Montrer que pour tout réel , on a :
b) Écrire, lorsque tend vers 0 , le développement limité à l'ordre 2 de , et le développement limité à l'ordre 1 de .
c) Soit un réel fixé. Montrer que lorsque tend vers , on a :
d) En déduire que : .
e) On admet que lorsque tend vers , on a :
Montrer alors que pour tout réel , on a :
  1. On admet que le résultat de la question précédente entraîne la convergence en loi de la suite de variables aléatoires vers une variable aléatoire qui suit la loi normale centrée réduite.
    Montrer qu'un intervalle de confiance pour le paramètre au risque , est donné par :
(on rappelle que si désigne la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, on a ).

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