CONCOURS D'ADMISSION DE 2009

OPTION ECONOMIQUE

HEC__MATE
Mardi 28 avril 2009, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Toutes les matrices de cet exercice sont des éléments de l'ensemble des matrices carrées d'ordre 2 à coefficients réels. On note la matrice identité de . On rappelle qu'un élément de est colinéaire à s'il existe un réel tel que .

On définit les deux applications suivantes de dans , notées et , par : pour tout élément de et .

Dans tout le problème, on considère la suite définie par et la relation : pour tout de .
La partie II est indépendante de la partie I et la partie III est indépendante de la partie II.

Dans toute la suite du problème, et désignent les deux solutions de l'équation du second degré suivante : .
2. a) Montrer que : . Établir l'encadrement suivant : .
b) Montrer que, pour tout de , on a : .
c) En déduire un équivalent de lorsque tend vers .
3. On pose, pour tout de . Exprimer, pour tout de en fonction de et .
4. On rappelle que pour tout réel , la partie entière de est l'entier noté qui vérifie : .
a) Établir, pour tout de , l'égalité suivante : .
b) Exprimer, pour tout de en fonction de .
5. Soit un réel fixé vérifiant et un entier fixé de .
a) Montrer que la série est absolument convergente.
b) En déduire la convergence de la série .
c) En utilisant la définition de la suite , calculer .

Function f(n : integer) : integer;
var temp,u,v,k : integer;
Begin
u := 0; v := 1;
for k := 1 to n-1 do
    Begin
    temp := ___ ; v := ___ ; u := ___
    end;
f := ___
end ;

Compléter cette fonction aux quatre places signalées par des tirets de façon que la valeur rendue soit .
8. Soit un entier de . On dit que admet une -décomposition s'il existe un entier de tel que l'on puisse écrire : , où, pour tout de est un entier supérieur ou égal à 2 et où, pour tout de (avec ), on a : .
a) Montrer que les entiers 37 et 272 admettent une Z -décomposition.
b) Soit un entier admettant une Z-décomposition de la forme : . Montrer, par récurrence sur , que l'on a : . En déduire l'unicité de .
c) Montrer que, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , tout entier qui vérifie admet une unique Z-décomposition (on pourra faire un raisonnement par récurrence sur ).
9. On suppose que l'on a défini en Pascal une constante et un type tab par les instructions suivantes :

const p=20; type tab=array[2..p] of integer

On suppose également que l'on a défini une variable u de type tab telle que, pour tout de , la variable contient la valeur . On se donne un entier vérifiant : .
Rédiger la procédure d'en-tête : procedure : integer; var Res: tab) de façon que:

Expliquer et justifier l'algorithme utilisé.

On effectue dans une urne qui contient des boules numérotées 0 ou 1 une suite illimitée de tirages avec remise d'une boule. À chaque tirage, la probabilité de tirer une boule numérotée 1 est et la probabilité de tirer une boule numérotée 0 est , avec , et on suppose que les résultats des différents tirages sont indépendants.
On suppose que cette expérience est modélisée par un espace probabilisé ( ). On s'intéresse au nombre de tirages nécessaires pour obtenir deux boules numérotées 1 de suite, c'est-à-dire lors de deux tirages consécutifs. On définit, pour tout de , les événements : «le -ième tirage donne une boule numérotée 1 », et .
Si au moins un des événements se réalise au cours de l'expérience, on note la valeur de l'entier correspondant au premier événement réalisé. Sinon, c'est-à-dire si aucun des événements ne se réalise, on attribue à la valeur 0 . On admet que est une variable aléatoire définie sur ( ).
Par exemple, si le résultat de l'expérience est : , alors prend la valeur 6 .
10. a) Calculer, pour tout de , la probabilité .
b) Déterminer . Calculer et .
11. Pour tout de , on note l'événement : « lors des premiers tirages, il n'apparaît jamais deux fois de suite une boule numérotée 1 ». On pose : .
a) Calculer et .
b) Établir, pour tout de , la relation : .
12. a) En considérant les résultats possibles des deux premiers tirages, montrer, pour tout entier supérieur ou égal à 2 , l'égalité : .
b) Déterminer, pour tout de , une relation entre et .
13. On suppose dans cette question que .
a) Montrer que, pour tout de , on a : , où la suite a été définie dans le préambule du problème.
b) Que vaut ?
c) On note l'espérance de . Montrer que .
d) Calculer la variance de .
14. On revient au cas général : et .
a) Montrer que l'équation du second degré admet deux racines distinctes. On les note et , avec .
b) Établir les inégalités suivantes : et .
c) On pose : . Montrer que, pour tout de , on a : .
d) Calculer .
e) Montrer que admet des moments de tous ordres et calculer l'espérance de .
15. a) Montrer, pour tout réel vérifiant , la convergence de la série . On pose alors : .
b) Établir, pour tout réel vérifiant , la formule suivante : .
16. On suppose dans cette question que .
a) Étudier les variations de la fonction sur l'intervalle .
b) Montrer l'existence d'un unique réel de tel que soit concave sur l'intervalle et convexe sur l'intervalle ] .
c) Tracer l'allure de la courbe représentative de sur dans le plan rapporté à un repère orthonormé.