Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION ECONOMIQUE
HEC__MATE

Mardi 4 mai 2010, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Soit l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 à coefficients réels. On confond polynôme de et fonction polynomiale associée définie sur .
Soit l'application définie sur qui à tout polynôme , associe le polynôme , où désigne la dérivée de .

On désigne par , la suite d'endomorphismes de définie par : , où représente l'endomorphisme identité et, pour tout de . Pour tout de , Ker désigne le noyau de .
5. a) Déterminer pour tout de , le sous-espace ainsi que sa dimension.

Vérifier que pour tout de .
b) Soit un polynôme de degré , avec . Montrer que la famille est libre.
6. Dans cette question, on cherche à déterminer les sous-espaces vectoriels de tels que .
a) On suppose que . Montrer que est un sous-espace propre de . En déduire .
b) On suppose que . Montrer qu'il existe dans un polynôme de degré supérieur ou égal à 1 . En déduire .
c) On suppose que . On note l'endomorphisme de défini par : pour tout de . Montrer que . En déduire .

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur un espace probabilisé ( ). Sous réserve d'existence, on note et respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire , et la covariance de deux variables aléatoires et .
Dans les parties I et III, la fonction de répartition et une densité d'une variable aléatoire à densité sont notées respectivement, et .
On admet que les formules donnant l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires discrètes, ainsi que la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes, s'appliquent au cas de variables aléatoires à densité.
Pour entier supérieur ou égal à 2 , on dit que les variables aléatoires à densité sont indépendantes si pour tout -uplet de réels, les événements sont indépendants.

L'objet du problème est double : d'une part, montrer certaines analogies entre les lois géométrique et exponentielle, d'autre part, mettre en évidence quelques propriétés asymptotiques de variables aléatoires issues de la loi exponentielle.
La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indépendante de la partie II et largement indépendante de la partie I.

Soit un réel strictement positif. Soit et deux variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre (d'espérance ).
On pose : et .
2. Justifier les relations : et .
3. a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de et de , pour tout réel .
b) Calculer et .
4. Déterminer pour tout réel et . Reconnaître la loi de et en déduire et .
5. a) Montrer que pour tout réel , on a : . Exprimer pour tout réel .
b) Justifier l'existence de et . Montrer que et . (on pourra utiliser des changements de variables affines)
6. On note le coefficient de corrélation linéaire de et . Montrer que .
7. a) Préciser et .
b) Déterminer une densité de la variable aléatoire .
c) Montrer que pour tout réel , l'intégrale est convergente et qu'elle vaut . (on distinguera les deux cas : et )
d) Établir que la fonction est une densité de probabilité sur ; on admet que c'est une densité de la variable aléatoire .
e) Déterminer pour tout réel, . Reconnaître la loi de .

Soit un réel de [ et . Soit et deux variables aléatoires indépendantes et de même loi géométrique de paramètre (d'espérance ). On pose : et . On rappelle que et .
8. a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de et de , pour tout de .
b) Calculer et .
c) Établir la relation : .
9. a) Montrer que suit la loi géométrique de paramètre . En déduire et .
b) Soit un entier de . Justifier l'égalité : .

En déduire la relation suivante : .
c) Établir la formule : .
10. a) Préciser . Exprimer pour tout de , l'événement en fonction des événements et . En déduire pour tout de , l'expression de .
b) Montrer que pour tout couple de , on a : .
c) Montrer que pour tout de (on distinguera 3 cas : et ).
d) En déduire la loi de la variable aléatoire .
e) Établir à l'aide des questions précédentes que les variables aléatoires et sont indépendantes.
11. a) À l'aide du résultat de la question 10.e, calculer . Les variables aléatoires et sont-elles indépendantes?
b) Calculer en fonction de , le coefficient de corrélation linéaire de et .
c) Déterminer la loi de probabilité du couple ( ).
d) Déterminer pour tout de , la loi de probabilité conditionnelle de sachant l'événement .
e) Soit un élément de . On suppose qu'il existe une variable aléatoire à valeurs dans , dont la loi de probabilité est la loi conditionnelle de sachant l'événement . Calculer .

Dans les questions 12 à 15 , désigne un paramètre réel strictement positif, inconnu.
Pour élément de , on considère un -échantillon de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre .
On pose pour tout de et .
12. Calculer pour tout de et .
13. On admet qu'une densité de est donnée par : .
a) À l'aide du théorème de transfert, établir pour tout supérieur ou égal à 3 , l'existence de et de , et donner leurs valeurs respectives.
b) On pose pour tout supérieur ou égal à . Justifier que est un estimateur de .

Est-il sans biais? Calculer la limite, lorsque tend vers , du risque quadratique associé à en .
14. Dans cette question, on veut déterminer un intervalle de confiance du paramètre au risque . On note la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et le réel strictement positif tel que .
a) Énoncer le théorème de la limite centrée. En déduire que la variable aléatoire définie par converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
b) En déduire que pour assez grand, on a approximativement : .
c) Montrer que pour assez grand, l'intervalle est un intervalle de confiance de au risque . On note la réalisation de sur le -échantillon.
15. Avec le -échantillon , on construit un nouvel intervalle de confiance de au risque , tel que la longueur de cet intervalle soit fois plus petite que celle obtenue avec le risque .
a) Justifier l'existence de la fonction réciproque de . Quel est le domaine de définition de ?
b) Établir l'égalité : . En déduire que . Ce dernier résultat était-il prévisible?

Dans les questions 16 à 18 , on suppose que .
16. On pose pour tout de .

Pour tout de , pour tout réel positif ou nul, on pose : et .
a) Exprimer en fonction de et .
b) Déterminer pour tout réel , l'expression de en fonction de . Établir pour tout supérieur ou égal à 2 , la relation : .
c) En déduire pour tout de , pour tout réel positif ou nul, l'expression de en fonction de , .
d) Montrer que est équivalent à , lorsque tend vers .
e) Déduire des questions c) et d) l'existence de et montrer que .
17. On veut étudier dans cette question, la convergence en loi de la suite de variables aléatoires définie par : pour tout de .
On pose pour tout de et on admet sans démonstration que la suite est convergente; on note sa limite.
a) Montrer que pour tout réel et assez grand, on a : .
b) En déduire que pour tout réel, on a : .
c) Montrer que la fonction définie par , est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité. Conclure.
18. a) Soit une variable aléatoire à densité de fonction de répartition strictement croissante. Déterminer la loi de la variable aléatoire définie par .
b) Écrire une fonction Pascal d'en-tête Gumbel qui permet de simuler la variable aléatoire . On supposera que la constante est définie en langage Pascal par une constante gamma. On rappelle que la fonction Pascal random permet de simuler la loi uniforme sur .