BCE Maths appliquées HEC ECE 2010Sujet, corrigé et rapport du jury

Conceptions : H.E.C. - E.S.C.P. / EUROPE

OPTION ECONOMIQUE
HEC__MATE

Mardi 4 mai 2010, de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document : l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre

Soit E = ℝ_3[X] l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à 3 à coefficients réels. On confond polynôme de E et fonction polynomiale associée définie sur ℝ.
Soit d l'application définie sur E qui à tout polynôme P, associe le polynôme d(P) = P^′, où P^′ désigne la dérivée de P.

On désigne par (d^k)_(k ⩾ 0), la suite d'endomorphismes de E définie par : d^0 = I, où I représente l'endomorphisme identité et, pour tout k de ℕ, d^(k + 1) = d^k ∘ d. Pour tout k de ℕ, Ker d^k désigne le noyau de d^k.
5. a) Déterminer pour tout k de [ [1, 4] ], le sous-espace Kerd^k ainsi que sa dimension.

Vérifier que pour tout k de [ [1, 4] ], d(Kerd^k) ⊂ Kerd^k.
b) Soit P un polynôme de degré r, avec r ∈ [ [0, 3] ]. Montrer que la famille (d^k(P))_(0 ⩽ k ⩽ r) est libre.
6. Dans cette question, on cherche à déterminer les sous-espaces vectoriels F de E tels que d(F) ⊂ F.
a) On suppose que dimF = 1. Montrer que F est un sous-espace propre de d. En déduire F.
b) On suppose que dimF = 2. Montrer qu'il existe dans F un polynôme P de degré supérieur ou égal à 1 . En déduire F.
c) On suppose que dimF = 3. On note d˜ l'endomorphisme de F défini par : pour tout P de F, d~(P) = d(P). Montrer que (d˜)^3 = 0. En déduire F.

Toutes les variables aléatoires qui interviennent dans ce problème sont supposées définies sur un espace probabilisé ( Ω, A, P ). Sous réserve d'existence, on note E(X) et V(X) respectivement, l'espérance et la variance d'une variable aléatoire X, et Cov(X, Y) la covariance de deux variables aléatoires X et Y.
Dans les parties I et III, la fonction de répartition et une densité d'une variable aléatoire X à densité sont notées respectivement, F_X et f_X.
On admet que les formules donnant l'espérance et la variance d'une somme de variables aléatoires discrètes, ainsi que la définition et les propriétés de la covariance et du coefficient de corrélation linéaire de deux variables aléatoires discrètes, s'appliquent au cas de variables aléatoires à densité.
Pour n entier supérieur ou égal à 2 , on dit que les variables aléatoires à densité X_1, X_2, …, X_n sont indépendantes si pour tout n-uplet (x_1, x_2, …, x_n) de réels, les événements [X_1 ⩽ x_1], [X_2 ⩽ x_2], …, [X_n ⩽ x_n] sont indépendants.

L'objet du problème est double : d'une part, montrer certaines analogies entre les lois géométrique et exponentielle, d'autre part, mettre en évidence quelques propriétés asymptotiques de variables aléatoires issues de la loi exponentielle.
La partie II est indépendante de la partie I. La partie III est indépendante de la partie II et largement indépendante de la partie I.

Soit λ un réel strictement positif. Soit X_1 et X_2 deux variables aléatoires indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre λ (d'espérance 1/λ ).
On pose : Y = X_1 − X_2, T = max(X_1, X_2) et Z = min(X_1, X_2).
2. Justifier les relations : T + Z = X_1 + X_2 et T − Z = |X_1 − X_2| = |Y|.
3. a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de V(X_1) et de P([X_1 ⩽ x]), pour tout réel x.
b) Calculer E(X_1 + X_2), V(X_1 + X_2), E(Y) et V(Y).
4. Déterminer pour tout réel z, F_Z(z) et f_Z(z). Reconnaître la loi de Z et en déduire E(Z) et V(Z).
5. a) Montrer que pour tout réel t, on a : F_T(t) = {(1 − e^(− λt))^2, si t ⩾ 0; 0, si t < 0. Exprimer pour tout réel t, f_T(t).
b) Justifier l'existence de E(T) et V(T). Montrer que E(T) = 3/(2λ) et V(T) = 5/(4λ^2). (on pourra utiliser des changements de variables affines)
6. On note r le coefficient de corrélation linéaire de Z et T. Montrer que r = 1/√5.
7. a) Préciser Y(Ω) et |Y|(Ω).
b) Déterminer une densité de la variable aléatoire − X_2.
c) Montrer que pour tout réel y, l'intégrale ∫_(− ∞)^(+ ∞)f_(X_1)(t)f_(− X_2)(y − t)dt est convergente et qu'elle vaut λ/2e^(− λ|y|). (on distinguera les deux cas : y ⩾ 0 et y < 0 )
d) Établir que la fonction y ↦ λ/2e^(− λ|y|) est une densité de probabilité sur ℝ; on admet que c'est une densité de la variable aléatoire Y.
e) Déterminer pour tout y réel, f_(|Y|)(y). Reconnaître la loi de |Y| = T − Z.

Soit p un réel de ]0, 1 [ et q = 1 − p. Soit X_1 et X_2 deux variables aléatoires indépendantes et de même loi géométrique de paramètre p (d'espérance 1/p ). On pose : Y = X_1 − X_2, T = max(X_1, X_2) et Z = min(X_1, X_2). On rappelle que T + Z = X_1 + X_2 et T − Z = |X_1 − X_2| = |Y|.
8. a) Rappeler sans démonstration les valeurs respectives de V(X_1) et de P([X_1 ⩽ k]), pour tout k de X_1(Ω).
b) Calculer E(X_1 + X_2), V(X_1 + X_2), E(X_1 − X_2) et V(X_1 − X_2).
c) Établir la relation : P([X_1 = X_2]) = p/(1 + q).
9. a) Montrer que Z suit la loi géométrique de paramètre 1 − q^2. En déduire E(Z), V(Z) et E(T).
b) Soit k un entier de ℕ^∗. Justifier l'égalité : [Z = k] ∪ [T = k] = [X_1 = k] ∪ [X_2 = k].

En déduire la relation suivante : P([T = k]) = 2P([X_1 = k]) − P([Z = k]).
c) Établir la formule : V(T) = (q(2q^2 + q + 2))/((1 − q^2)^2).
10. a) Préciser (T − Z)(Ω). Exprimer pour tout j de ℕ^∗, l'événement [Z = j] ∩ [Z = T] en fonction des événements [X_1 = j] et [X_2 = j]. En déduire pour tout j de ℕ^∗, l'expression de P([Z = j] ∩ [Z = T]).
b) Montrer que pour tout couple (j, ℓ) de (ℕ^∗)^2, on a : P([Z = j] ∩ [T − Z = ℓ]) = 2p^2 q^(2j + ℓ − 2).
c) Montrer que pour tout k de ℤ, P([X_1 − X_2 = k]) = (pq^(|k|))/(1 + q) (on distinguera 3 cas : k = 0, k > 0 et k < 0 ).
d) En déduire la loi de la variable aléatoire |X_1 − X_2|.
e) Établir à l'aide des questions précédentes que les variables aléatoires Z et T − Z sont indépendantes.
11. a) À l'aide du résultat de la question 10.e, calculer Cov(Z, T). Les variables aléatoires Z et T sont-elles indépendantes?
b) Calculer en fonction de q, le coefficient de corrélation linéaire ρ de Z et T.
c) Déterminer la loi de probabilité du couple ( Z, T ).
d) Déterminer pour tout j de ℕ^∗, la loi de probabilité conditionnelle de T sachant l'événement [Z = j].
e) Soit j un élément de ℕ^∗. On suppose qu'il existe une variable aléatoire D_j à valeurs dans ℕ^∗, dont la loi de probabilité est la loi conditionnelle de T sachant l'événement [Z = j]. Calculer E(D_j).

Dans les questions 12 à 15 , λ désigne un paramètre réel strictement positif, inconnu.
Pour n élément de ℕ^∗, on considère un n-échantillon (X_1, X_2, …, X_n) de variables aléatoires à valeurs strictement positives, indépendantes, de même loi exponentielle de paramètre λ.
On pose pour tout n de ℕ^∗ : S_n = ∑_(k = 1)^n X_k et J_n = λS_n.
12. Calculer pour tout n de ℕ^∗, E(S_n), V(S_n), E(J_n) et V(J_n).
13. On admet qu'une densité f_(J_n) de J_n est donnée par : f_(J_n)(x) = {(e^(− x)x^(n − 1))/((n − 1)!), si x > 0; 0, si x ⩽ 0.
a) À l'aide du théorème de transfert, établir pour tout n supérieur ou égal à 3 , l'existence de E(1/(J_n)) et de E(1/(J_n^2)), et donner leurs valeurs respectives.
b) On pose pour tout n supérieur ou égal à 3 : λ_n ˆ = n/(S_n). Justifier que λ_n ˆ est un estimateur de λ.

Est-il sans biais? Calculer la limite, lorsque n tend vers + ∞, du risque quadratique associé à λ_n ˆ en λ.
14. Dans cette question, on veut déterminer un intervalle de confiance du paramètre λ au risque α. On note Φ la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, et u_α le réel strictement positif tel que Φ(u_α) = 1 − α/2.
a) Énoncer le théorème de la limite centrée. En déduire que la variable aléatoire N_n définie par N_n = λ(S_n)/(√n) − √n converge en loi vers la loi normale centrée réduite.
b) En déduire que pour n assez grand, on a approximativement : P([ − u_α ⩽ N_n ⩽ u_α]) = 1 − α.
c) Montrer que pour n assez grand, l'intervalle [(1 − (u_α)/(√n))λ_n ˆ, (1 + (u_α)/(√n))λ_n ˆ] est un intervalle de confiance de λ au risque α. On note λ_0 la réalisation de λ_n ˆ sur le n-échantillon.
15. Avec le n-échantillon (X_1, X_2, …, X_n), on construit un nouvel intervalle de confiance de λ au risque β(β ≠ α), tel que la longueur de cet intervalle soit k(k > 1) fois plus petite que celle obtenue avec le risque α.
a) Justifier l'existence de la fonction réciproque Φ^(− 1) de Φ. Quel est le domaine de définition de Φ^(− 1) ?
b) Établir l'égalité : β = 2Φ(1/kΦ^(− 1)(α/2)). En déduire que β > α. Ce dernier résultat était-il prévisible?

Dans les questions 16 à 18 , on suppose que λ = 1.
16. On pose pour tout n de ℕ^∗ : T_n = max(X_1, X_2, …, X_n).

Pour tout n de ℕ^∗, pour tout réel x positif ou nul, on pose : g_n(x) = ∫_0^x F_(T_n)(t)dt et h_n(x) = ∫_0^x tf_(T_n)(t)dt.
a) Exprimer h_n(x) en fonction de F_(T_n)(x) et g_n(x).
b) Déterminer pour tout réel t, l'expression de F_(T_n)(t) en fonction de t. Établir pour tout n supérieur ou égal à 2 , la relation : g_(n − 1)(x) − g_n(x) = 1/nF_(T_n)(x).
c) En déduire pour tout n de ℕ^∗, pour tout réel x positif ou nul, l'expression de g_n(x) en fonction de x, F_(T_1)(x), F_(T_2)(x), …, F_(T_n)(x).
d) Montrer que F_(T_n)(x) − 1 est équivalent à − ne^(− x), lorsque x tend vers + ∞.
e) Déduire des questions c) et d) l'existence de E(T_n) et montrer que E(T_n) = ∑_(k = 1)^n 1/k.
17. On veut étudier dans cette question, la convergence en loi de la suite de variables aléatoires (G_n)_(n ⩾ 1) définie par : pour tout n de ℕ^∗, G_n = T_n − E(T_n).
On pose pour tout n de ℕ^∗ : γ_n = − lnn + E(T_n) et on admet sans démonstration que la suite (γ_n)_(n ⩾ 1) est convergente; on note γ sa limite.
a) Montrer que pour tout x réel et n assez grand, on a : F_(G_n)(x) = (1 − 1/ne^(− (x + γ_n)))^n.
b) En déduire que pour tout x réel, on a : lim_(n → + ∞)F_(G_n)(x) = e^(− e^(− (x + γ))).
c) Montrer que la fonction F_G : ℝ → ℝ définie par F_G(x) = e^(− e^(− (x + γ))), est la fonction de répartition d'une variable aléatoire G à densité. Conclure.
18. a) Soit X une variable aléatoire à densité de fonction de répartition F_X strictement croissante. Déterminer la loi de la variable aléatoire Y définie par Y = F_X(X).
b) Écrire une fonction Pascal d'en-tête Gumbel qui permet de simuler la variable aléatoire G. On supposera que la constante γ est définie en langage Pascal par une constante gamma. On rappelle que la fonction Pascal random permet de simuler la loi uniforme sur ]0, 1[.