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Epreuve de maths approfondies - ECG 2024

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MATHÉMATIQUES APPROFONDIES

FILIÈRE ÉCONOMIQUE ET COMMERCIALE VOIE GENERALE

Lundi 29 avril 2024, de 14 h. à 18 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

On suppose, et c'est valable pour toute l'épreuve, que la bibliothèque numpy de Python est importée avec import numpy as np et que la librairie numpy. random de Python est importée grâce à la commande import numpy.random as rd.

Exercice 1

Dans cet exercice,

n

désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On note

I_n

la matrice identité de

M_n(ℝ)

J_n

la matrice de

M_n(ℝ)

dont tous les éléments valent 1 .

a) Déterminer le rang de $J_n$ . En déduire que 0 est valeur propre de $J_n$ et déterminer la dimension du sous-espace propre associé.
b) Vérifier que le vecteur $V_n$ , élément de $M_(n, 1)(ℝ)$ , dont toutes les composantes sont égales à 1 , est un vecteur propre de $J_n$ .
c) À l'aide des questions précédentes, donner les valeurs propres de $J_n$ .

Dans toute la suite, on considère la fonction

f_n

définie sur

ℝ^n

par:

\forallx = (x_1, x_2, \dots, x_n) \in ℝ^n, f_n(x) = 1/n\sum_(k = 1)^n x_k^2 - (1/n\sum_(k = 1)^n x_k)^2

Montrer que $f_n$ est de classe $C^2$ sur $ℝ^n$ .
a) Déterminer, pour tout $i$ de $[ [1, n] ]$ et pour tout $x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$ de $ℝ^n$ , l'expression de $\partial_i f_n(x)$ en fonction de $x_1, x_2, \dots, x_n$ et de $n$ .
b) En déduire que les points critiques de $f_n$ sont les points de la forme $(a, a, \dots, a) \in ℝ^n$ .
a) Déterminer les dérivées partielles d' ordre 2 de $f_n$ .
b) Vérifier que la hessienne de $f_n$ en chaque point critique est $\nabla^2 f_n(a, a, \dots, a) = 2/(n^2)(nI_n - J_n)$ .
c) Compléter les commandes Python suivantes afin qu'elles permettent de calculer et d'afficher $\nabla^2 f_n(a, a, \dots, a)$ pour une valeur de $n$ entrée par l'utilisateur.

n=int(input('entrez la valeur de n:'))
I=---
J=---
Hessienne=---
print(Hessienne)

d) À l'aide de la première question, donner les valeurs propres de

\nabla^2 f_n(a, a, \dots, a)

et expliquer pourquoi cette méthode ne permet pas de savoir si

f_n

possède un extremum local.
5) a) En appliquant l'inégalité de Cauchy-Schwarz à deux vecteurs bien choisis de

ℝ^n

, muni de son produit scalaire canonique, montrer que :

\forall(x_1, x_2, \dots, x_n) \in ℝ^n, (\sum_(k = 1)^n x_k)^2 \leq n\sum_(k = 1)^n x_k^2

b) En déduire que

f_n

admet un minimum global sur

ℝ^n

et que ce minimum est atteint en chaque point critique de

f_n

.
6) Étude du cas

n = 2

.
a) Compléter la deuxième ligne de la fonction Python suivante afin de définir la fonction

f_2

def f_2(x,y):
    z=------
    return z

b) Certaines commandes Python utilisant la fonction précédente permettent de tracer la surface représentant

f_2

. Laquelle est-ce? Justifier la réponse.

Surface 1

Surface 2

Surface 3

Exercice 2

Question préliminaire. On rappelle que la fonction arctangente, notée Arctan, est la bijection réciproque de la restriction de la fonction tangente à l'intervalle $] - π/2, π/2[$ et qu'elle est de classe $C^1$ sur $ℝ$ .
a) Rappeler l'expression, pour tout réel $x$ , de $Arctan^'(x)$ .
b) Montrer que, pour tout réel $x$ strictement positif, on a :

Arctan(x) + Arctan(1/x) = π/2

c) Justifier l'équivalent suivant :

Arctan(x) \sim _0 x

On considère la fonction $f$ définie par :

\forallx \in ℝ, f(x) = 2/(π(e^x + e^(- x)))

a) Vérifier que l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)f(x)dx

converge.
b) Montrer que

f

peut être considérée comme une densité.

Dans la suite, on s'intéresse à une variable aléatoire

X

, définie sur un espace probabilisé (

Ω, A, P

), admettant

f

pour densité.
3) Montrer que la fonction de répartition

F

X

est définie par :

\forallx \in ℝ, F(x) = 2/πArctan(e^x)

Simulation.

On pose

U = F(X)

et on admet que

U

est une variable aléatoire, elle aussi définie sur

(Ω, A, P)

.
a) Montrer que

F

est une bijection de

ℝ

dans

]0, 1[

.
b) Reconnaître la loi de

U

.
c) Déterminer

F^(- 1)(x)

pour tout

x

]0, 1[

puis, en admettant que la commande np.tan(y) renvoie la valeur de la fonction tangente en

y

, écrire un script Python permettant de simuler

X

.
5) a) Montrer que

X

admet une espérance et la déterminer.
b) Montrer que

X^2

admet une espérance.
6) Dans cette question, on se propose de déterminer la variance de

X

On pose

I = \int_0^(+ \infty)(t^2)/(e^t + e^(- t)) dt

.
a) Pour tout

n \in ℕ^*

, établir que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)t^2 e^(- nt) dt

converge et que

\int_0^(+ \infty)t^2 e^(- nt) dt = 2/(n^3)

.
b) Pour tout entier naturel

p

, établir l'égalité:

\sum_(k = 0)^p(- 1)^k\int_0^(+ \infty)t^2 e^(- (2k + 1)t) dt = I + (- 1)^p\int_0^(+ \infty)(t^2 e^(- (2p + 3)t))/(1 + e^(- 2t)) dt

c) Montrer, par encadrement, que :

lim_(p \to + \infty)\int_0^(+ \infty)(t^2 e^(- (2p + 3)t))/(1 + e^(- 2t)) dt = 0

d) Déduire des questions précédentes l'expression de

V(X)

sous forme d'une somme de série.

En admettant que

\sum_(k = 0)^(+ \infty)((- 1)^k)/((2k + 1)^3) = (π^3)/(32)

, donner la valeur de

V(X)

.
7) On pose

Y = e^X

et on admet que

Y

est une variable aléatoire, définie elle aussi sur l'espace probabilisé

(Ω, A, P)

.
a) Déterminer explicitement la fonction de répartition

G

Y

puis en déduire que

Y

est une variable aléatoire à densité.
b) On considère une suite

(Y_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires, toutes définies sur l'espace probabilisé

(Ω, A, P)

, indépendantes, et suivant la même loi que

Y

.
On pose

M_n = max(Y_1, Y_2, \dots, Y_n)

et on admet que

M_n

est une variable aléatoire à densité, définie elle aussi sur l'espace probabilisé (

Ω, A, P

).
Montrer que la fonction de répartition

G_n

M_n

est définie par:

G_n(x) = {(2/πArctan(x))^n, si x > 0; 0, si x ≤ 0

c) Utiliser la question 1) pour montrer que la suite de variables aléatoires

(n/(M_n))_(n \in ℕ^*)

converge en loi vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.

Exercice 3

Dans cet exercice,

E

est un espace euclidien tel que

dimE \geq 2

p

désigne un entier naturel non nul et strictement inférieur à

dimE

.
Le produit scalaire des vecteurs

a

b

E

est noté

⟨a, b⟩

et la norme du vecteur

a

est notée

‖a‖

.
On considère

p

réels

λ_1, \dots, λ_p

tous différents de 0 , ainsi qu'une famille orthonormale

(u_1, \dots, u_p)

p

vecteurs de

E

, et enfin on pose

U = Vect(u_1, \dots, u_p)

.
On se propose d'étudier l'application

f

qui, à tout vecteur

x

E

, associe :

f(x) = \sum_(i = 1)^p λ_i⟨u_i, x⟩u_i

Partie 1 : étude de $f$

Montrer que $f$ est un endomorphisme symétrique de $E$ .
Caractériser $f$ lorsque $λ_1, \dots, λ_p$ sont tous égaux à 1 .

On revient au cas général pour toute la suite.
3) a) Déterminer

Ker(f)

et préciser sa dimension en fonction de

dimE

p

.
b) En déduire le rang de

f

puis déterminer

Im(f)

.
4) Montrer que les réels

λ_1, \dots, λ_p

sont valeurs propres de

f

et donner un vecteur propre associé à chacune d'entre elles.

Partie 2 : convergence d'une suite de vecteurs de $E$

On dit qu'une suite $(y_n)_(n \in ℕ)$ de vecteurs de $E$ converge vers le vecteur $y$ de $E$ lorsque $lim_(n \to + \infty)‖y_n - y‖ = 0$ . Montrer que le vecteur $y$ est unique.

On pose

K = \sqrt(\sum_(i = 1)^p λ_i^2)

et on suppose que

K

est strictement inférieur à 1 .
6) Calculer

‖f(x)‖^2

pour tout

x

E

et en déduire que l'on a

‖f(x)‖ \leq K‖x‖

.
7) On considère une suite

(x_n)_(n \in ℕ)

de vecteurs de

E

définie par la donnée du vecteur

x_0

et par la relation

x_(n + 1) = f(x_n)

, valable pour tout entier naturel

n

.
a) Montrer que, pour tout entier naturel

n

, on a

‖x_n‖ \leq K^n‖x_0‖

.
b) Montrer que la suite

(x_n)_(n \in ℕ)

converge. Vers quel vecteur?
c) Donner la nature de la série

\sum_n‖x_n‖

Problème

Partie 1

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_n = \int_0^1 1/((1 + t^2)^n) dt

. On a donc

u_0 = 1

a) Montrer que la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ est décroissante et positive.
b) En déduire la convergence de la suite $(u_n)_(n \in ℕ)$ .
a) Montrer que, pour tout $x$ de $[0, 1]$ , on a l'inégalité : $e^(x/2) \leq 1 + x$ .
b) En déduire, pour tout entier naturel $n$ , l'inégalité :

u_n \leq \int_0^1 e^(- nt^2/2) dt

c) Donner la valeur, pour tout entier naturel

n

non nul, de l'intégrale

\int_(- \infty)^(+ \infty)e^(- nt^2/2) dt

.
d) En déduire la limite de la suite

(u_n)_(n \in ℕ)

Partie 2

Montrer que, pour tout $n$ de $ℕ^*$ , l'intégrale $\int_0^(+ \infty)1/((1 + t^2)^n) dt$ est convergente.

Pour toute la suite, on pose, pour tout

n

ℕ^*

I_n = \int_1^(+ \infty)1/((1 + t^2)^n) dt et J_n = \int_0^(+ \infty)1/((1 + t^2)^n) dt

a) Montrer que :

\foralln \in ℕ^*, 0 \leq I_n \leq 1/(2n - 1)

b) En déduire la valeur de

lim_(n \to + \infty)I_n

.
c) Déterminer

lim_(n \to + \infty)J_n

.
5) a) Montrer, grâce à une intégration par parties effectuée dans

J_n

, que :

\foralln \in ℕ^*, J_n = 2n(J_n - J_(n + 1))

b) Déterminer

J_1

.
c) Montrer que la série de terme général

(J_n)/n

est convergente et que

\sum_(n = 1)^(+ \infty)(J_n)/n = π

.
d) Utiliser la relation de la question 5a) pour compléter la fonction Python suivante afin qu'elle renvoie la valeur de

J_n

def suiteJ(n):
    J=---
    for \(k\) in range \((2, n+1)\) :
        J=---
    return J

Montrer que l'on a :

\foralln \in ℕ, J_(n + 1) = π/2 \times (((2n)/n))/(4^n)

Partie 3

On désigne par

n

un entier naturel non nul et on note

X_n

(resp.

Y_n

) le nombre de "piles" (resp. "faces") obtenus lors des

2n

premiers lancers supposés indépendants d'une pièce équilibrée.
7) a) Donner, en justifiant, la loi de

X_n

.
b) Montrer que

P(X_n = Y_n) = 2/πJ_(n + 1)

et en déduire la valeur de

lim_(n \to + \infty)P(X_n = Y_n)

.
c) Justifier sans calcul l'égalité

P(X_n < Y_n) = P(X_n > Y_n)

.
d) Montrer que la probabilité d'obtenir strictement moins de "piles" que de "faces" lors de l'expérience décrite plus haut tend vers

1/2

lorsque

n

tend vers

+ \infty

.
8) Pour tout entier naturel

k

non nul, on considère la variable aléatoire

Z_k

qui vaut 1 si l'on a obtenu "pile" au

k^e

lancer et 0 sinon.
a) Vérifier que 1 'on a

\sum_(k = 1)^(2n)Z_k = X_n

.
b) En appliquant le théorème limite central à la suite

(Z_k)_(k \in ℕ^*)

, montrer que :

lim_(n \to + \infty)P(X_n \leq Y_n) = 1/2

c) Retrouver le résultat établi à la question 7d).

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Exercice 2

Exercice 3

Partie 1 : étude de f

Partie 2 : convergence d'une suite de vecteurs de E

Problème

Partie 1

Partie 2

Partie 3

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Partie 1 : étude de $f$

Partie 2 : convergence d'une suite de vecteurs de $E$