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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2001

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Equations différentiellesSuites et séries de fonctionsSéries et familles sommablesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités finies, discrètes et dénombrementCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variables
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2001ECS MathématiquesMathématiques 2001

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2001.

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ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES
Option scientifique

Mardi 15 mai 2001, de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.

Exercice 1

On rappelle que l'ensemble des fonctions numériques définies et de classe sur , muni des lois habituelles, possède une structure d'espace vectoriel sur
On note l'ensemble des fonctions de qui vérifient la relation (*) suivante : .
  1. Montrer que est un espace vectoriel sur .
  2. Montrer que si et sont deux éléments de , alors est une fonction constante.
  3. Soit la fonction définie, pour tout réel , par : .
    a. Vérifier que est élément de .
    b. Soit la fonction définie par: .
Montrer que est élément de
4) a. Soit une solution de (*). Montrer, en utilisant le résultat de la deuxième question appliqué aux fonctions et , que est combinaison linéaire de et de .
b. Montrer finalement que est une base de .

Exercice 2

Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on pose .
On se propose de montrer que la série de terme général converge et de calculer sa somme.
On pose, pour tout entier supérieur ou égal à et .
On rappelle que:
  1. a. Montrer que: .
    b. Déterminer le développement limité à l'ordre 2, au voisinage de 0 , de .
    c. En déduire que, au voisinage de .
  2. a. Montrer que la série de terme général ( ) est convergente.
    b. En déduire que la suite ( ) converge. On note sa limite.
  3. Montrer que la série de terme général converge.
  4. a. Déterminer les réels et tels que pour tout de .
    b. Montrer que: .
    c. En déduire que : .
  5. En utilisant la convergence de la suite , calculer en fonction de .

Exercice 3

On considère l'espace euclidien , muni du produit scalaire noté ( . / . ) défini par :
.
La norme du vecteur est alors définie par .
On note la base canonique de et on rappelle que est orthonormale pour le produit scalaire défini ci-dessus.
On désigne par et trois réels, on pose et on suppose que est non nul. On note l'endomorphisme de qui à tout vecteur de associe le vecteur .
  1. Écrire la matrice de dans la base .
  2. a. Vérifier que appartient à .
    b. Montrer que ( ) est une famille libre.
    c. Déduire des questions précédentes que .
  3. a. Montrer que pour tout vecteur de .
    b. En déduire que : .
  4. a. Justifier que pour tout vecteur de , il existe un unique couple ( ) élément de tel que .
    b. Montrer que .
    c. En déduire que , puis déterminer en fonction de et .
  5. a. Montrer que .
    b. En déduire que : .
    c. Montrer finalement que : .

Problème

On désigne par et deux entiers naturels vérifiant : et .
On considère une épreuve aléatoire pouvant aboutir à résultats différents de probabilités respectives . On admet que, pour tout de .
On effectue épreuves indépendantes du type de celle décrite ci-dessus.
Pour tout de [] , on note la variable aléatoire qui vaut 1 si le résultat numéro n'est pas obtenu à l'issue de ces épreuves et qui vaut 0 sinon.
On désigne par la variable aléatoire égale au nombre de résultats qui n'ont pas été obtenus à l'issue des épreuves.
  1. a. Exprimer la variable en fonction des variables .
    b. Donner la loi de pour tout de .
    c. En déduire que l'espérance de est .
La suite de cet exercice consiste à rechercher les valeurs des réels en lesquelles admet un minimum local.
2) a. Donner la valeur de puis écrire comme une fonction, que l'on notera variables .
La fonction est donc définie sur l'ouvert (] de .
b. Montrer que est de classe sur (] .
3) a. Déterminer les dérivées partielles d'ordre 1 de .
b. Montrer que le seul point de en lequel les dérivées partielles d'ordre 1 de s'annulent simultanément est le point .
4) Déterminer la matrice , élément de , dont l'élément situé à l'intersection de la ligne et de la colonne est .
5) On pose , où est la matrice unité de et la matrice de dont tous les éléments sont égaux à 1 .
a. Montrer que est diagonalisable.
b. Exprimer en fonction de et . En déduire que les valeurs propres de sont 0 et .
c. Montrer que le sous-espace propre de associé à la valeur propre est de dimension 1.
d. Utiliser une base de formée de vecteurs propres de pour montrer que est diagonalisable et qu'il existe une matrice d'inverse ' , telle que où est la matrice de dont les ( ) premiers éléments diagonaux sont égaux à 1 , celui de la è ligne étant égal à .
6) a. Déduire des questions précédentes que pour tout non nul de .
b. En posant , exprimer en fonction des réels et des dérivées partielles d'ordre 2 de au point .
c. En déduire que présente un minimum local au point .
d. Donner la valeur de correspondant à ce minimum.

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