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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2007

Epreuve de maths approfondies - ECS 2007

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Fonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesAlgèbre linéaireRéductionNombres complexes et trigonométrie, calculs, outilsProbabilités finies, discrètes et dénombrement
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Banque
BCE
Année
2007
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2007ECS MathématiquesMathématiques 2007

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2007.

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ab54788e-cd86-43e0-9a1e-7549683dd3a5

SUJET MATHÉMATIQUES 2007
Option Scientifiques

Exercice 1

Pour tout de , on pose .
  1. Montrer que la suite est bien définie.
  2. Pour tout de , on pose alors et
    a) Montrer que : .
    b) Montrer que: .
    c) Donner la limite de la suite ( ).
  3. On se propose de déterminer un équivalent de lorsque est au voisinage de .
    a) Montrer que l'intégrale est une intégrale convergente.
    b) Établir que: .
    c) En déduire un encadrement de valable pour tout de .
    d) Donner enfin, en utilisant cet encadrement, un équivalent simple de .

Exercice 2

On considère les matrices suivantes de :
On note le -espace vectoriel engendré par et l'endomorphisme identité de . On pose .
  1. Montrer que ( ) est une base de et donner la dimension de .
  2. a) Exprimer et en fonction respectivement de et .
    b) Calculer et puis en déduire que : et .
    c) En déduire que est stable pour le produit matriciel.
  3. Calculer . En déduire que est inversible et exprimer en fonction de .
  4. On considère maintenant l'application qui à toute matrice de associe :
a) Montrer que est un endomorphisme de .
b) Déterminer puis montrer que est un automorphisme de .
5) a) Écrire la matrice de dans la base ( ), puis justifier que est diagonalisable.
b) Donner les valeurs propres de ainsi que les sous-espaces propres associés.
On rappelle que l'application, notée , qui à toute matrice de associe sa trace (c'est-à-dire la somme de ses éléments diagonaux) est une application linéaire de dans .
On rappelle également que l'application qui à tout couple ( ) de associe le réel noté défini par est un produit scalaire sur .
On munit désormais de ce produit scalaire.
6) a) Montrer que, pour tout couple ( ) de .
b) Établir alors que est un endomorphisme symétrique de .
c) En déduire que et sont supplémentaires orthogonaux dans .

Exercice 3

On considère une suite de variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ), mutuellement indépendantes, et qui suivent toutes la loi exponentielle de paramètre 1.
On pose .
  1. Rappeler quelle est la loi suivie par . Donner l'espérance et la variance de .
  2. À l'aide du théorème de la limite centrée, établir que .
  3. En déduire la valeur de .
  4. a) Utiliser le résultat précédent pour montrer que .
    b) On admet que . En déduire un nouvel équivalent de .

Problème

On désigne par un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
On dispose de deux urnes et , l'urne contenant une boule blanche et ( ) boules noires et l'urne contenant une boule noire et ( ) boules blanches.
Un joueur choisit une urne au hasard pour le premier tirage puis il effectue des tirages d'une boule avec remise de cette boule dans l'urne dont elle provient, selon trois protocoles étudiés dans les trois parties de ce problème.
Pour tout de , on note l'événement « on obtient une boule blanche au è tirage».
On note le numéro du tirage où l'on obtient, pour la première fois, une boule noire et le numéro du tirage où l'on obtient, pour la première fois, une boule blanche. On admet que et sont deux variables aléatoires définies sur le même espace probabilisé ( ).
Pour finir, on note l'événement «le premier tirage a lieu dans l'urne ».

Partie 1

Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l'urne qui a été choisie au premier tirage.
  1. a) Déterminer .
    b) Pour tout entier supérieur ou égal à 2 , écrire l'événement ( ) à l'aide de certains des événements ou , puis montrer que :
Vérifier que cette formule reste valable pour .
2) Établir que possède une espérance et donner sa valeur.
3) Montrer que et suivent la même loi.
4) On décide de coder l'événement par 1 et l'événement par 0 .
On rappelle que la fonction random renvoie, pour un argument de type integer (avec ) un entier aléatoire compris entre 0 et (ceci de façon équiprobable).
Compléter le programme suivant pour qu'il permette le calcul et l'affichage de la valeur prise par la variable aléatoire lors de l'expérience décrite dans cette partie.
Program edhec_2007 ;
Var x,n, tirage, hasard : integer ;
Begin
    Randomize ; Readln(n); hasard := random(2) ; x:= 0 ;
    If hasard = 0 then Repeat x:=x+1; tirage:=random(n); until(tirage = 0)
        Else Repeat -------- ; tirage:= -------- ; until -------- ;
    Writeln(x);
End.

Partie 2

Dans cette partie, les tirages qui suivent le premier tirage ont lieu dans l'urne si le tirage précédent a donné une boule blanche et dans l'urne sinon.
  1. a) Donner .
    b) En procédant comme dans la partie 1, montrer que :
  1. Établir que possède une espérance et donner sa valeur.
  2. Montrer que et suivent la même loi.
  3. Avec les mêmes conventions et les mêmes notations que celles de la partie 1, écrire un programme permettant le calcul et l'affichage de la valeur prise par la variable aléatoire lors de l'expérience décrite dans cette partie.

Partie 3

Dans cette partie, chacun des tirages suivant le premier tirage a lieu dans la même urne que le tirage qui le précède si ce dernier a donné une boule blanche et dans l'autre urne dans le cas contraire.
  1. a) Donner .
    b) Toujours selon la même méthode, montrer que :
Vérifier que la formule précédente reste valable pour .
c) Établir que possède une espérance puis montrer que .
2) a) En procédant comme à la question 1b), montrer que :
b) Montrer également que :
Vérifier que cette formule reste valable pour .
c) On pose : et .
Montrer que la suite converge et donner sa limite.
Montrer que la suite converge et a la même limite que .
En déduire que possède une espérance et que .
3) a) Montrer que et suivent la même loi lorsque . Quelle est cette loi ?
b) Comment pouvait-on justifier, sans calcul, les deux résultats ci-dessus ?
4) Montrer que avec égalité si et seulement si .
5) Écrire un programme permettant le calcul et l'affichage de la valeur prise par la variable aléatoire lors de l'expérience décrite dans cette partie.

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