J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2012

Epreuve de maths approfondies - ECS 2012

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Algèbre linéaireRéductionProbabilités continuesProbabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2012
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2012ECS MathématiquesMathématiques 2012

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2012.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
5d4b6eb6-71c0-40c1-8dae-38348f0ae1b5
BANQUE COMMUNE D'EPREUVES

Conception : EDHEC
ECOLE DE HAUTES ETUDES COMMERCIALES DU NORD
Concours d'admission sur classes préparatoires

MATHEMATIQUES

Option scientifique

Lundi 7 mai 2012 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Soit l'endomorphisme de dont la matrice dans la base canonique ( ) de est:
On note Id l'endomorphisme identité de .
  1. a) Calculer et , puis déterminer un polynôme annulateur de .
    b) En déduire les valeurs propres de .
    c) L'endomorphisme est-il diagonalisable ?
  2. Trouver une base de dans laquelle la matrice de est .
  3. a) Montrer que .
    b) On veut montrer qu'il n'existe pas d'endomorphisme de vérifiant : .
On suppose pour cela qu'un tel endomorphisme existe.
Établir que est stable par puis montrer que la matrice de dans la base est de la forme :
En utilisant la matrice de dans cette même base, trouver une contradiction et conclure.
4) Étude d'un cas plus général. On note l'endomorphisme identité de (où désigne un entier naturel supérieur ou égal à 1) et on désigne par un réel non nul.
a) On considère un endomorphisme de et on suppose que : .
Montrer que : .
b) Montrer réciproquement que, si un endomorphisme de est tel que
, alors on a : .

Exercice 2

On considère une suite de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé , indépendantes et suivant toutes la loi exponentielle de paramètre avec .
  1. a) Donner, pour tout réel strictement positif, une densité de .
    b) Montrer que l'on peut choisir comme densité de , la fonction définie par :
c) On pose et on admet que est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur .
Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire .
2) On pose , où désigne la partie entière de . On admet également que est une variable aléatoire définie sur .
Montrer que: .
3) Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 1 , on pose et on admet que est une variable aléatoire à densité définie sur .
a) Donner sans calcul une densité de .
b) Déterminer la fonction de répartition de et en déduire une densité de .
c) En déduire qu'il existe une densité de telle que :
  1. On note la variable aléatoire définie par si cet ensemble n'est pas vide et si cet ensemble est vide.
    a) Établir que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
    b) Montrer que , puis établir que .
    c) En déduire que, pour tout entier naturel non nul, les événements et ont même probabilité.
  2. Informatique.
    a) Soit une variable aléatoire suivant la loi uniforme sur [0, 1 [.
On pose et on admet que est une variable aléatoire. Déterminer la fonction de répartition de en fonction de celle de , puis en déduire la loi suivie par la variable aléatoire .
b) Écrire une fonction Pascal dont l'en-tête est "function : real ;" qui simule la loi de .

Exercice 3

On note l'espace vectoriel des polynômes à coefficients réels, de degré inférieur ou égal à 2 .
On note et les polynômes de définis par : .
On rappelle que est une base de .
On considère l'application qui, à tout polynôme de , associe le reste dans la division par du polynôme .
Ainsi, il existe un unique polynôme tel que :
  1. Montrer que est un endomorphisme de .
  2. a) Déterminer et puis vérifier que .
    b) En déduire une base de .
    c) Donner la dimension de ainsi qu'une base de .
  3. a) Calculer pour tout polynôme de , puis établir que 3 est valeur propre de et que :
b) Montrer que est diagonalisable.
4) On considère l'application de dans qui, à tout couple ( ) de polynômes de associe le réel , où l'on a noté et .
a) Montrer que est un produit scalaire défini sur .
b) Vérifier que Ker est le supplémentaire orthogonal de dans pour ce produit scalaire.
5) a) Vérifier que est une base orthonormale pour le produit scalaire .
b) Écrire la matrice de dans la base puis retrouver le résultat de la question 4b).

Problème

On admet que, si une suite converge vers , alors on a: .
Dans toute la suite, on considère une suite de réels positifs telle que la série de terme général converge. Pour tout entier naturel non nul, on note :
  1. a) Montrer que: .
En déduire que, pour tout de , on a : .
b) En utilisant le résultat admis au début de ce problème, établir que la série de terme général converge et que : .
2) Dans cette question, on pose, pour tout entier naturel non nul : .
On se propose de montrer que la série de terme général converge et que sa somme vérifie :
a) On admet que si une fonction est concave sur un intervalle , alors, pour tout entier naturel non nul, on a: .
Montrer que : .
b) Justifier que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
En déduire que : .
c) Montrer que, pour tout réel positif, on a : .
d) En déduire que: .
e) Établir que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
Montrer enfin que la série de terme général converge et que : .
3) a) Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 et pour tout élément de , on a : .
b) Calculer l'intégrale et en déduire que:
c) Déterminer , puis établir que : .
4) On admet que si deux séries à termes positifs, de termes généraux équivalents, divergent, alors leurs sommes partielles d'ordre sont équivalentes lorsque est au voisinage de .
Soit un entier naturel non nul quelconque. On considère une suite particulière que l'on note définie par : .
On pose, comme à la deuxième question : .
a) Écrire et sous forme de sommes finies.
b) En déduire que .
5) Conclure que est la plus petite des constantes telles que .

Pas de description pour le moment