J-0
00m
00j
00h
00min
00s

BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2015

Epreuve de maths approfondies - ECS 2015

Notez ce sujet en cliquant sur l'étoile
0.0(0 votes)
Intégrales généraliséesProbabilités finies, discrètes et dénombrementProbabilités continuesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensInformatiqueSéries et familles sommables
RetourLire
Logo concours BCE - Voir tous les sujets BCE

Voir tous les sujets

Logo concours BCE
🔗 Explorer
Banque
BCE
Année
2015
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2015ECS MathématiquesMathématiques 2015

Téléchargements disponibles

Sujet et rapport

Télécharger le sujet →Rapport du jury → indisponible

Corrigés

Télécharger corrigé →

Lecture et formats

Lire en ligne →LaTeX →Word →

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2015.

Lecture web du sujet

Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

PDF
50cecff2-d4df-4be1-93a9-ef392adb01c7

Conception : EDHEC

MATHÉMATIQUES

OPTION : SCIENTIFIQUE

Mardi 5 Mai 2015, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document, seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Pour tout de , on pose .
  1. Vérifier que est une intégrale convergente.
  2. a) Déterminer les réels et tels que, pour tout différent de -1 et 0 , on ait :
b) En déduire la valeur de .
3) a) Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on a :
b) En déduire l'existence et la valeur de .
4) a) Pour tout de , calculer .
b) Montrer que la suite est décroissante.
c) En déduire un équivalent de puis donner la nature de la série de terme général .
5) Pour tout de , on pose .
a) Montrer que est une intégrale convergente.
b) Calculer .
6) a) Pour tout de , exprimer en fonction de .
b) Déterminer alors, pour tout de , l'expression de en fonction de .
c) Montrer que: . Donner la valeur de .
d) En déduire que la série de terme général est convergente et donner sa somme.
7) À l'aide des questions 4a) et 6a), compléter les commandes Scilab suivantes afin qu'elles permettent le calcul de et pour une valeur de , supérieure ou égale à 2 , entrée par l'utilisateur.
n = input('entrez une valeur de n supérieure ou égale à 2 :')
I = log(2); J = 1/2; J = ------
for k = 2:n
I = ------ ; J = ------ ; end
disp(I, 'la valeur de I est :')
disp(J, 'la valeur de J est :')

Exercice 2

On considère une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite (d'espérance nulle et de variance égale à 1) et on note la fonction de répartition de .
On pose et on admet que est une variable aléatoire. On note la fonction de répartition de .
  1. a) Exprimer, pour tout réel positif, à l'aide de . En déduire que est une variable aléatoire à densité et donner une densité de .
    b) Montrer que possède une espérance et donner sa valeur.
    c) Montrer que possède une variance et donner sa valeur.
  2. On considère la fonction définie par:
a) Vérifier, en justifiant que l'on peut procéder au changement de variable , que :
b) En déduire que peut être considérée comme une densité.
On considère, dans la suite, une variable aléatoire de densité et on note sa fonction de répartition.
3) a) On pose et on admet que est une variable aléatoire à densité. Exprimer la fonction de répartition de en fonction de puis en déduire une densité de et vérifier que suit la même loi que .
b) En déduire que possède une espérance et donner sa valeur.
4) Écrire une commande Scilab permettant de simuler la variable aléatoire .
5) On considère les commandes Scilab suivantes :
n =input('entrez la valeur de n : ')
w = grand(1,n,'exp',1)

a) En remarquant que , montrer que contient une valeur approchée de , pour peu que l'on entre une valeur de assez grande.
b) On admet que . Quelle est la valeur exacte de l'intégrale dont il est question ci-dessus ?

Exercice 3

On considère l'espace euclidien muni du produit scalaire canonique.
Pour tout couple de , on note le produit scalaire canonique de et .
On note la base canonique de et on rappelle que est orthonormale pour le produit scalaire ,
On considère un endomorphisme de , symétrique, dont les valeurs propres sont toutes strictement positives.
  1. Justifier l'existence d'une base orthonormale de , formée de vecteurs propres de .
  2. a) Montrer que, pour tout de , on a : .
    b) Vérifier que l'égalité a lieu si et seulement si .
    c) En déduire que l'application , de dans , définie par , est un produit scalaire sur .
  3. a) En utilisant , montrer qu'il existe un endomorphisme de , symétrique pour le produit scalaire canonique, dont les valeurs propres sont strictement positives, et tel que .
    b) Établir que est bijectif.
    c) Montrer que la famille ( ) est une base orthonormale de pour le produit scalaire .

Problème

Partie 1

Dans cette partie, la lettre désigne un entier naturel et est un réel fixé de .
  1. Montrer que, lorsque est au voisinage de , on a : .
  2. a) Donner la valeur de .
    b) En déduire que la série est convergente.
  3. Pour tout entier naturel , on pose : .
    a) Donner la valeur de .
    b) Établir, en utilisant la formule du triangle de Pascal, que : .
    c) En déduire :
d) Donner enfin la valeur de .

Partie 2

On désigne par et deux réels de .
Un joueur participe à un jeu constitué d'une suite de manches.
Avant chaque manche, y compris la première, le joueur a une probabilité de ne pas être autorisé à jouer la manche en question (on dit qu'il est disqualifié et c'est définitif), et une probabilité d'y être autorisé, ceci indépendamment du fait qu'il ait gagné ou perdu la manche précédente s'il y en a eu une. À chaque manche jouée, le joueur gagne un euro avec la probabilité et il perd un euro avec la probabilité .
Si le jeu a commencé, le joueur joue jusqu'à ce qu'il soit disqualifié et on suppose que les manches jouées sont jouées de façon indépendante.
On note :
  • le nombre de manches auxquelles a participé ce joueur avant d'être disqualifié.
  • le nombre de manches gagnées par ce joueur.
  • le gain du joueur à la fin du jeu.
On admet que et sont des variables aléatoires, définies toutes les trois sur le même espace probabilisé .
  1. a) Donner la loi de (on pourra noter l'événement « le joueur ne joue pas la è manche»).
    b) On pose . Reconnaître la loi de la variable puis en déduire que l'on a:
c) En déduire également la valeur de .
2) a) Déterminer, pour tout entier naturel , la loi de , conditionnellement à l'événement ( ).
b) En déduire, à l'aide de la partie 1, la loi de .
3) Calculer l'espérance de puis montrer que .
4) a) Exprimer en fonction de et .
b) En déduire l'espérance de .
c) On admet l'existence de . Établir que .
d) En déduire la variance de .
5) a) Compléter, en utilisant la fonction grand, les commandes Scilab suivantes pour qu'elles simulent l'expérience aléatoire étudiée et affichent les valeurs prises par et .
alpha = input('entrez la valeur de alpha :')
p = input('entrez la valeur de p :')
X = ------
Y = ------
disp(X)
disp(Y)
b) Quelles commandes faut-il ajouter aux précédentes pour que la valeur prise par soit calculée et affichée ?

Pas de description pour le moment