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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2018

Epreuve de maths approfondies - ECS 2018

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Suites et séries de fonctionsProbabilités finies, discrètes et dénombrementFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Algèbre bilinéaire et espaces euclidiensProbabilités continuesInformatique
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Banque
BCE
Année
2018
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2018ECS MathématiquesMathématiques 2018

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2018.

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Conception : EDHEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

8 mai 2018 , de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

  1. Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on pose .
    a) Montrer que, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on a : .
    b) En déduire, par sommation, la nature de la série de terme général .
Dans la suite, on considère la fonction définie par :
  1. a) Montrer que est continue sur .
    b) Montrer que est dérivable en 0 et donner la valeur de .
  2. a) Montrer que est dérivable sur et sur , puis calculer pour tout de .
    b) Étudier le signe de la quantité , lorsque appartient à , puis en déduire les variations de .
    c) Déterminer les limites de aux bornes de son ensemble de définition, puis dresser son tableau de variation.
  3. a) Établir que, pour tout de , il existe un seul réel de , noté , tel que et donner la valeur de .
    b) Montrer que la suite converge et que .
    c) Pour tout entier naturel non nul, calculer puis en déduire qu'il existe un entier naturel tel que, pour tout entier supérieur ou égal à , on a : .
    d) En déduire, à l'aide de la première question, que la série de terme général est divergente.
    e) Conclure, en revenant à la définition de , que la série de terme général est divergente.

Exercice 2

On désigne par et deux entiers naturels supérieurs ou égaux à .
On se place dans l'espace euclidien . Le produit scalaire canonique des vecteurs et de est noté et la norme du vecteur est notée .
  1. Dans cette question, on considère vecteurs de , tous de norme égale à 1 .
À tout -uplet , on associe le vecteur .
On se propose de montrer qu'il existe des -uplets , dont les coordonnées sont éléments de , pour lesquels et d'autres pour lesquels .
À cet effet, on considère variables aléatoires , toutes définies sur le même espace probabilisé , indépendantes, et telles que pour tout de , on ait :
On considère l'application , qui, à tout de , associe le réel .
On admet que est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur .
a) Calculer, pour tout couple de , la valeur de .
b) En déduire l'existence et la valeur de .
c) Conclure quant à l'objectif de cette question.
2) Dans cette question, on considère réels , tous éléments de , ainsi que vecteurs de vérifiant: .
On pose et on se propose de montrer qu'il existe un -uplet dont les coordonnées sont dans , tel que, en notant , on ait:
À cet effet, on considère variables aléatoires , définies sur le même espace probabilisé , indépendantes, et telles que, pour tout de suit la loi de Bernoulli .
On considère l'application , qui, à tout de , associe le réel et on admet que est une variable aléatoire définie sur .
a) Calculer, pour tout couple de , la valeur de .
b) Justifier que possède une espérance et montrer que : .
c) Conclure quant à l'objectif de cette question.

Exercice 3

Un mobile se déplace aléatoirement sur un axe dont l'origine est le point d'abscisse 0 .
Au départ (instant 0 ), le mobile est situé sur le point .
Le mobile se déplace selon la règle suivante : à l'instant , il se place de façon équiprobable, sur l'un des points d'abscisses .
Pour tout entier naturel , on note l'abscisse de ce point à l'instant (on a donc ).
On admet que, pour tout entier naturel est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé que l'on ne cherchera pas à déterminer. On admet aussi que est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.
  1. a) Déterminer, pour tout entier naturel non nul, la loi de .
    b) En déduire que, pour tout entier naturel non nul, possède une espérance et une variance, puis déterminer et .
  2. On note le rang du premier retour à l'origine du mobile et on admet que est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur .
    a) Pour tout entier naturel non nul, exprimer l'événement ( ) à l'aide des variables aléatoires .
    b) En déduire que la loi de est définie par : .
    c) Vérifier par le calcul que l'on a : .
    d) La variable admet-elle une espérance ?
  3. a) Montrer que, pour tout entier naturel non nul, on a : .
    b) En déduire que: .
    c) Conclure alors que : .
  4. On note le rang du deuxième retour à l'origine du mobile et on admet que est une variable aléatoire, définie, elle aussi, sur .
    a) Déterminer pour tout , la probabilité .
    b) Établir que:
c) Écrire, pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , la probabilité comme une somme finie.
d) La variable aléatoire possède-t-elle une espérance ?
5) Informatique
On rappelle qu'en Scilab, l'instruction grand(1,1, 'uin', permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme à valeurs dans .
a) Écrire des commandes Scilab calculant et affichant la valeur de l'abscisse du mobile après son déplacement lorsque la valeur de est entrée au clavier par l'utilisateur.
b) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette d'afficher dans cet ordre les valeurs prises par les variables aléatoires et .
n=0
a=0
while a<2
n=n+1
    if grand (1,1, 'uin', 0,n)==0 then
a=a+1
        if }a==1 then y=n, end
    end
end
disp(---, 'y=')
disp(---, 'z=')

Problème

Partie 1

Pour tout entier naturel , on pose .
  1. a) Calculer et .
    b) Montrer que la suite ( ) est décroissante.
    c) Établir que: .
  2. a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que: .
    b) En déduire que: .
    c) Montrer que: .
    d) En déduire la valeur de .
  3. a) Calculer .
    b) En déduire, par encadrement, que .
    c) Montrer enfin que .
  4. Utiliser la question 2c) pour compléter les commandes Scilab suivantes afin qu'elles permettent de calculer lorsque est entré par l'utilisateur.
n=input('entrez la valeur de n : '),
u=%pi/2
for ------
end
disp(u)

Partie 2

On note la fonction définie pour tout réel par :
5) Vérifier que est une densité de probabilité. Dans la suite, on considère une variable aléatoire réelle définie sur un certain espace probabilisé ( ), et ayant pour densité.
6) Déterminer la fonction de répartition de la variable aléatoire .
7) a) Montrer que possède une espérance et la calculer.
b) Montrer que possède également une variance et la calculer.
8) On considère maintenant une suite de variables aléatoires toutes définies sur ( ), mutuellement indépendantes et qui suivent toutes la même loi que .
Pour tout entier naturel supérieur ou égal à 2 , on pose et on admet que est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie .
a) Déterminer la fonction de répartition, notée , de la variable aléatoire .
b) La suite converge-t-clle en loi ?
c) Déterminer une densité de , puis montrer que possède un moment d'ordre 2 :
d) Établir que : .
e) En déduire que la suite . converge en probabilité vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
9) Soit la restriction de la fonction cosinus à .
a) Montrer que réalise une bijection de sur .
b) Justifier que l'on peut poser . On admet alors que est une variable aléatoire, elle aussi définie sur . Déterminer la fonction de répartition de , puis vérifier que suit une loi uniforme.
c) On rappelle que la commande grand unf renvoie une simulation Scilab d'une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur et on admet que la fonction s'obtient par l'instruction acos. Compléter les commandes Scilab suivantes afin qu'elles permettent de simuler la variable aléatoire .

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