BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2018Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2018

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Présentation du sujet

Étude de série et de fonction, inégalités probabilistes sur des vecteurs aléatoires, marche aléatoire sur les entiers, intégrales de Wallis et loi du minimum

Le sujet comporte trois exercices et un problème. L'exercice 1 étudie une série logarithmique puis une fonction associée pour établir la divergence d'une série liée à une suite implicite. L'exercice 2 utilise des variables aléatoires de Bernoulli pour démontrer deux résultats d'approximation de combinaisons linéaires de vecteurs par des coefficients discrets. L'exercice 3 étudie un mobile aléatoire sur un axe et les rangs de ses retours successifs à l'origine. Le problème étudie les intégrales de Wallis puis une variable aléatoire de densité sinus et la loi du minimum d'un échantillon.

1Exercice 1 : étude d'une série et d'une fonction associéeOn établit la divergence de la série de terme général 1/(n ln n), puis on étudie une fonction f liée à cette série pour montrer la divergence d'une série associée à une suite (u_n) définie implicitement.
2Exercice 2 : approximation par des combinaisons à coefficients discretsOn utilise des variables aléatoires de Bernoulli et de Rademacher pour démontrer l'existence de combinaisons linéaires à coefficients dans {-1,1} ou {0,1} approximant un vecteur donné, par un argument d'espérance.
3Exercice 3 : marche aléatoire et rangs de retour à l'origineOn étudie la loi du rang du premier puis du deuxième retour à l'origine d'un mobile se déplaçant aléatoirement sur un axe, et on montre que ces variables n'admettent pas d'espérance.
4Problème, partie 1 : intégrales de WallisOn établit les propriétés des intégrales de Wallis, une relation de récurrence, et un équivalent de la suite obtenue.
5Problème, partie 2 : loi de densité sinus et loi du minimumOn étudie une variable aléatoire de densité sinus sur [0, pi/2], son espérance et sa variance, puis la loi du minimum d'un échantillon de telles variables et sa convergence en probabilité.

Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2018.

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8 mai 2018 , de 8 h. à 12 h.

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer, dans la mesure du possible, les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

Pour tout entier naturel $n$ supérieur ou égal à 2 , on pose $a_n = 1/(nlnn)$ .
a) Montrer que, pour tout entier naturel $k$ supérieur ou égal à 2 , on a : $\int_k^(k + 1)1/(tlnt)dt \leq 1/(klnk)$ .
b) En déduire, par sommation, la nature de la série de terme général $a_n$ .

Dans la suite, on considère la fonction

f

définie par :

f(x) = {(- x)/((1 - x)ln(1 - x)) si x \in ] - \infty, 0[ \cup ]0, 1[; 1 si x = 0

a) Montrer que $f$ est continue sur $] - \infty, 1[$ .
b) Montrer que $f$ est dérivable en 0 et donner la valeur de $f^'(0)$ .
a) Montrer que $f$ est dérivable sur $] - \infty, 0[$ et sur $]0, 1[$ , puis calculer $f^'(x)$ pour tout $x$ de $] - \infty, 0[ \cup ]0, 1[$ .
b) Étudier le signe de la quantité $ln(1 - x) + x$ , lorsque $x$ appartient à $] - \infty, 1[$ , puis en déduire les variations de $f$ .
c) Déterminer les limites de $f$ aux bornes de son ensemble de définition, puis dresser son tableau de variation.
a) Établir que, pour tout $n$ de $ℕ^*$ , il existe un seul réel de $[0, 1[$ , noté $u_n$ , tel que $f(u_n) = n$ et donner la valeur de $u_1$ .
b) Montrer que la suite $(u_n)$ converge et que $lim_(n \to + \infty)u_n = 1$ .
c) Pour tout entier naturel $n$ non nul, calculer $f(1 - 1/(n\sqrtn))$ puis en déduire qu'il existe un entier naturel $n_0$ tel que, pour tout entier $n$ supérieur ou égal à $n_0$ , on a : $u_n \leq 1 - 1/(n\sqrtn)$ .
d) En déduire, à l'aide de la première question, que la série de terme général $(- 1)/(nln(1 - u_n))$ est divergente.
e) Conclure, en revenant à la définition de $u_n$ , que la série de terme général $1 - u_n$ est divergente.

Exercice 2

On désigne par

n

p

deux entiers naturels supérieurs ou égaux à

l

.
On se place dans l'espace euclidien

ℝ^p

. Le produit scalaire canonique des vecteurs

x

y

ℝ^p

est noté

⟨x, y⟩

et la norme du vecteur

x

est notée

‖x‖

Dans cette question, on considère $n$ vecteurs $u_1, u_2, \dots, u_n$ de $ℝ^p$ , tous de norme égale à 1 .

À tout

n

-uplet

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

, on associe le vecteur

w_x = \sum_(k = 1)^n x_k u_k

.
On se propose de montrer qu'il existe des

n

-uplets

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

, dont les coordonnées sont éléments de

{ - 1, 1}

, pour lesquels

‖w_x‖ \leq \sqrtn

et d'autres pour lesquels

‖w_x‖ \geq \sqrtn

.
À cet effet, on considère

n

variables aléatoires

X_1, X_2, \dots, X_n

, toutes définies sur le même espace probabilisé

(Ω, A, P)

, indépendantes, et telles que pour tout

k

[ [1, n] ]

, on ait :

P(X_k = 1) = P(X_k = - 1) = 1/2

On considère l'application

X

, qui, à tout

ω

Ω

, associe le réel

X(ω) = ‖\sum_(k = 1)^n X_k(ω)u_k‖^2

.
On admet que

X

est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur

(Ω, A, P)

.
a) Calculer, pour tout couple

(i, j)

[ [1, n] ]^2

, la valeur de

E(X_i X_j)

.
b) En déduire l'existence et la valeur de

E(X)

.
c) Conclure quant à l'objectif de cette question.
2) Dans cette question, on considère

n

réels

p_1, p_2, \dots, p_n

, tous éléments de

]0, 1[

, ainsi que

n

vecteurs

v_1, v_2, \dots, v_n

ℝ^p

vérifiant:

\forallk \in [ [1, n] ], ‖v_k‖ \leq 1

.
On pose

z = \sum_(k = 1)^n p_k v_k

et on se propose de montrer qu'il existe un

n

-uplet

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

dont les coordonnées sont dans

{0, 1}

, tel que, en notant

y_x = \sum_(k = 1)^n x_k v_k

, on ait:

‖z - y_x‖ \leq (\sqrtn)/2

À cet effet, on considère

n

variables aléatoires

Y_1, Y_2, \dots, Y_n

, définies sur le même espace probabilisé

(Ω, A, P)

, indépendantes, et telles que, pour tout

k

[ [1, n] ], Y_k

suit la loi de Bernoulli

ℬ(p_k)

On considère l'application

Y

, qui, à tout

ω

Ω

, associe le réel

Y(ω) = ‖\sum_(k = 1)^n(p_k - Y_k(ω))v_k‖^2

et on admet que

Y

est une variable aléatoire définie sur

(Ω, A, P)

.
a) Calculer, pour tout couple

(i, j)

[ [1, n] ]^2

, la valeur de

E((p_i - Y_i)(p_j - Y_j))

.
b) Justifier que

Y

possède une espérance et montrer que :

E(Y) \leq n/4

.
c) Conclure quant à l'objectif de cette question.

Exercice 3

Un mobile se déplace aléatoirement sur un axe dont l'origine est le point

O

d'abscisse 0 .
Au départ (instant 0 ), le mobile est situé sur le point

O

.
Le mobile se déplace selon la règle suivante : à l'instant

n(n \in ℕ^*)

, il se place de façon équiprobable, sur l'un des points d'abscisses

0, 1, \dots, n

.
Pour tout entier naturel

n

, on note

X_n

l'abscisse de ce point à l'instant

n

(on a donc

X_0 = 0

).
On admet que, pour tout entier naturel

n, X_n

est une variable aléatoire définie sur un espace probabilisé

(Ω, A, P)

que l'on ne cherchera pas à déterminer. On admet aussi que

(X_n)_(n \in ℕ)

est une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes.

a) Déterminer, pour tout entier naturel $n$ non nul, la loi de $X_n$ .
b) En déduire que, pour tout entier naturel $n$ non nul, $X_n$ possède une espérance et une variance, puis déterminer $E(X_n)$ et $V(X_n)$ .
On note $Y$ le rang du premier retour à l'origine du mobile et on admet que $Y$ est une variable aléatoire définie, elle aussi, sur $(Ω, A, P)$ .
a) Pour tout entier naturel $n$ non nul, exprimer l'événement ( $Y = n$ ) à l'aide des variables aléatoires $X_1, X_2, \dots, X_n$ .
b) En déduire que la loi de $Y$ est définie par : $\foralln \in ℕ^*, P(Y = n) = 1/(n(n + 1))$ .
c) Vérifier par le calcul que l'on a : $\sum_(n = 1)^(+ \infty)P(Y = n) = 1$ .
d) La variable $Y$ admet-elle une espérance ?
a) Montrer que, pour tout entier naturel $k$ non nul, on a : $1/(k + 1) \leq ln(k + 1) - lnk \leq 1/k$ .
b) En déduire que: $\forallj \geq 2, lnj \leq \sum_(k - 1)^(j - 1)1/k \leq lnj + 1 - 1/j$ .
c) Conclure alors que : $\sum_(k = 1)^(j - 1)1/k \sim _(+ \infty)lnj$ .
On note $Z$ le rang du deuxième retour à l'origine du mobile et on admet que $Z$ est une variable aléatoire, définie, elle aussi, sur $(Ω, A, P)$ .
a) Déterminer pour tout $i \geq j$ , la probabilité $P_((Y - i))(Z = j)$ .
b) Établir que:

\foralli \leq j - 1, P_((Y = i))(Z = j) = (i + 1)/(j(j + 1))

c) Écrire, pour tout entier naturel

j

supérieur ou égal à 2 , la probabilité

P(Z = j)

comme une somme finie.
d) La variable aléatoire

Z

possède-t-elle une espérance ?
5) Informatique

On rappelle qu'en Scilab, l'instruction grand(1,1, 'uin',

a, b)

permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi uniforme à valeurs dans

[ [a, b] ]

.
a) Écrire des commandes Scilab calculant et affichant la valeur de l'abscisse du mobile après son

n^e

déplacement lorsque la valeur de

n

est entrée au clavier par l'utilisateur.
b) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette d'afficher dans cet ordre les valeurs prises par les variables aléatoires

Y

Z

n=0
a=0
while a<2
n=n+1
    if grand (1,1, 'uin', 0,n)==0 then
a=a+1
        if }a==1 then y=n, end
    end
end
disp(---, 'y=')
disp(---, 'z=')

Problème

Partie 1

Pour tout entier naturel

n

, on pose

u_n = \int_0^(π/2)(cost)^n dt

a) Calculer $u_0$ et $u_1$ .
b) Montrer que la suite ( $u_n$ ) est décroissante.
c) Établir que: $\foralln \in ℕ, u_n > 0$ .
a) Montrer, grâce à une intégration par parties, que: $\foralln \in ℕ, (n + 2)u_(n + 2) = (n + 1)u_n$ .
b) En déduire que: $\foralln \in ℕ, u_(2n) = ((2n)!)/((2^n \times n!)^2) \times π/2$ .
c) Montrer que: $\foralln \in ℕ, (n + 1)u_(n + 1)u_n = π/2$ .
d) En déduire la valeur de $u_(2n + 1)$ .
a) Calculer $lim_(n \to + \infty)(u_(n + 2))/(u_n)$ .
b) En déduire, par encadrement, que $lim_(n \to + \infty)(u_(n + 1))/(u_n) = 1$ .
c) Montrer enfin que $u_n \sim _(+ \infty)\sqrt(π/(2n))$ .
Utiliser la question 2c) pour compléter les commandes Scilab suivantes afin qu'elles permettent de calculer $u_n$ lorsque $n$ est entré par l'utilisateur.

n=input('entrez la valeur de n : '),
u=%pi/2
for ------
end
disp(u)

Partie 2

On note

f

la fonction définie pour tout réel

x

par :

f(x) = {sinx, si 0 \leq x \leq π/2; 0, sinon

5) Vérifier que

f

est une densité de probabilité. Dans la suite, on considère une variable aléatoire réelle

X

définie sur un certain espace probabilisé (

Ω, A, P

), et ayant

f

pour densité.
6) Déterminer la fonction de répartition

F

de la variable aléatoire

X

.
7) a) Montrer que

X

possède une espérance et la calculer.
b) Montrer que

X

possède également une variance et la calculer.
8) On considère maintenant une suite

(X_n)_(n \in ℕ^*)

de variables aléatoires toutes définies sur (

Ω, A, P

), mutuellement indépendantes et qui suivent toutes la même loi que

X

.
Pour tout entier naturel

n

supérieur ou égal à 2 , on pose

I_n = min(X_1, X_2, \dots, X_n)

et on admet que

I_n

est une variable aléatoire à densité, elle aussi définie

sur(Ω, A, P)

.
a) Déterminer la fonction de répartition, notée

F_n

, de la variable aléatoire

I_n

.
b) La suite

(I_n)_(n \in ℕ^*)

converge-t-clle en loi ?
c) Déterminer une densité de

I_n

, puis montrer que

I_n

possède un moment d'ordre 2 :

E(I_n^2) = 2\int_0^(π/2)x(cosx)^n dx

d) Établir que :

E(I_n^2) \leq πu_n

.
e) En déduire que la suite

(I_n)_(n \in ℕ)

. converge en probabilité vers une variable aléatoire dont on précisera la loi.
9) Soit

h

la restriction de la fonction cosinus à

[0, π/2]

.
a) Montrer que

h

réalise une bijection de

[0, π/2]

sur

[0, 1]

.
b) Justifier que l'on peut poser

Y = h(X)

. On admet alors que

Y

est une variable aléatoire, elle aussi définie sur

(Ω, A, P)

. Déterminer la fonction de répartition

G

Y

, puis vérifier que

Y

suit une loi uniforme.
c) On rappelle que la commande grand

(1, 1, ^'

unf

^', a, b)

renvoie une simulation Scilab d'une variable aléatoire à densité suivant une loi uniforme sur

[a, b]

et on admet que la fonction

h^(- 1)

s'obtient par l'instruction acos. Compléter les commandes Scilab suivantes afin qu'elles permettent de simuler la variable aléatoire

X

Y = grand(1, 1, ' unf ^', - - ⩾, - - -); X = - - -

Questions fréquentes

4 questions

Sur quels chapitres porte ce sujet de maths approfondies EDHEC ECS 2018 ?

Il porte sur les séries numériques, les probabilités discrètes et à densité, l'algèbre euclidienne, et les intégrales de Wallis.

Quelles parties sont indépendantes dans ce sujet ?

Les trois exercices et le problème sont indépendants les uns des autres ; à l'intérieur du problème, la première partie sur les intégrales de Wallis sert d'outil pour la seconde partie sur la loi du minimum.

Quels résultats de cours faut-il connaître pour ce sujet ?

La comparaison série-intégrale, les variables aléatoires de Bernoulli et leur espérance, les variables à densité et leur fonction de répartition, et les intégrales de Wallis classiques.

Le sujet demande-t-il de programmer ?

Oui, plusieurs questions demandent d'écrire ou de compléter des commandes Scilab, notamment pour simuler la marche aléatoire de l'exercice 3 et calculer les intégrales de Wallis dans le problème.

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