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BCE Maths approfondies EDHEC ECS 2022

Epreuve de maths approfondies - ECS 2022

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Probabilités continuesAlgèbre bilinéaire et espaces euclidiensSuites et séries de fonctionsFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Probabilités finies, discrètes et dénombrementSéries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2022
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2022ECS MathématiquesMathématiques 2022

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Description

Annale de maths approfondies BCE EDHEC pour la filiere ECS, session 2022.

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Version HTML avec rendu des formules, intégrée sur la page canonique.

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318918b9-f1b1-422e-be2e-8a134553dd03

Conception : EDHEC

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Mercredi 11 mai 2022, de 8 h. à 12 h.
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Exercice 1

On désigne par un réel et on considère une variable aléatoire , de densité strictement positive et continue sur , dont la fonction de répartition est notée .
On pose :
  1. Montrer que est bien définie et peut être considérée comme densité d'une certaine variable aléatoire .
  2. On note la fonction de répartition de .
    a) Exprimer, pour tout réel à l'aide de .
    b) Vérifier que l'on a, pour tout réel :
Dans la suite, on considère une suite de variables aléatoires, définies sur un même espace probabilisé ( ), mutuellement indépendantes, et suivant toutes la même loi que .
3) Pour tout entier naturel non nul, on pose et on admet que est une variable aléatoire à densité dont on note la fonction de répartition.
a) Exprimer à l'aide de , puis à l'aide de .
b) Montrer que la suite converge en loi vers une variable aléatoire que l'on précisera.
4) On pose et on note la fonction de répartition de .
a) Vérifier que l'on a :
b) Montrer que :
c) En déduire que la suite converge en loi vers une variable aléatoire dont on reconnaîtra la loi.

Exercice 2

On se place dans l'espace euclidien muni de son produit scalaire canonique défini par :
La norme du vecteur est définie par .
On note la base canonique de et on rappelle que est orthonormale pour le produit scalaire canonique de .
On note Id l'endomorphisme identité de .
On se propose d'étudier l'ensemble des endomorphismes de tels qu'il existe un réel de pour lequel on a :
  1. Déterminer l'ensemble lorsque .
  2. Un premier exemple.
On considère l'endomorphisme de dont la matrice dans la base est :
a) Calculer puis en déduire les deux valeurs propres possibles et de .
b) Vérifier que est diagonalisable et en déduire que et sont bien valeurs propres de .
c) Justifier, sans les déterminer, que les sous-espaces propres de sont supplémentaires orthogonaux dans .
d) Utiliser ce résultat pour montrer que appartient à . On pourra écrire un vecteur quelconque de sous la forme , avec et .
3) Quelques propriétés générales de l'ensemble .
a) Vérifier que Id n'appartient pas à .
b) Montrer que n'est pas un espace vectoriel.
c) Montrer que est stable par la loi de composition des endomorphismes de .
d) Montrer que si est un automorphisme de , alors n'appartient pas à .
4) a) Montrer que ne contient pas de projecteurs autres que le projecteur nul.
b) contient-il des symétries ?
5) Soit un endomorphisme symétrique de .
a) Montrer qu'en posant , on a : .
b) En déduire que appartient à si, et seulement si, les valeurs propres de appartiennent toutes à ]-1,1[.
6) Un deuxième exemple.
Soit un endomorphisme de dont la matrice dans la base est .
a) Déterminer un polynôme annulateur de qui soit de degré 3 et donner les valeurs propres possibles de .
b) Montrer que appartient à , puis donner un réel de pour lequel on a :
c) Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette d'afficher la valeur du réel défini à la question 5a) :
A=[0,-2,2;-2,-1,0;2,0,1]/6
k=---
disp (k)

Exercice 3

On désigne par un réel de et on pose .
On suppose dans ce problème que toutes les variables aléatoires sont définies sur le même espace probabilisé ( ).
Soit une variable aléatoire suivant la loi de Bernoulli de paramètre .
On considère une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes et suivant toutes la même loi que .
On considère aussi une variable aléatoire telle que , indépendante des variables , et possédant une espérance.
On pose , c'est-à-dire que, pour tout de , on a: . On admet que est une variable aléatoire définie elle aussi sur .
  1. a) Déterminer .
    b) Montrer, sans la calculer, que possède une espérance.
  2. Pour tout de , on pose . Donner la loi de ainsi que son espérance.
  3. Établir l'égalité:
  1. Étude d'un exemple : on suppose dans cette question que est une variable aléatoire telle que suit la loi de Poisson de paramètre .
    a) Déterminer la loi de .
    b) Montrer que: .
En déduire :
c) Donner, grâce à , 1'expression de en fonction de et .
d) On se propose de calculer l'espérance de grâce à la formule de l'espérance totale que l'on pourra utiliser sans aucune justification.
Donner la valeur de l'espérance conditionnelle , puis exprimer l'espérance de en fonction de et , et vérifier que : .
5) On rappelle que la commande grand , 'poi', lambda) permet de simuler une variable aléatoire suivant la loi de Poisson de paramètre . Compléter la fonction Scilab suivante pour qu'elle permette de calculer la valeur prise par lorsque la loi de est celle décrite à la question précédente :
function y=S(lambda,p)
    N=------
    y=-------
endfunction

Problème

  1. Question préliminaire
Soit une fonction définie et strictement positive sur telle que .
Montrer que .

Partie 1: deux nouvelles fonctions

On définit les fonctions, appelées "sinus hyperbolique" et "cosinus hyperbolique", notées respectivement sh et ch, en posant, pour tout réel :
  1. a) Étudier la parité de la fonction sh .
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction sh.
    c) Déterminer un équivalent en 0 de .
  2. a) Étudier la parité de la fonction ch.
    b) Dresser le tableau de variations de la fonction ch.
  3. Montrer que :

Partie 2 : une troisième fonction

  1. a) Montrer que l'on définit bien une fonction, appelée "tangente hyperbolique" et notée th, en posant :
b) Vérifier que la fonction thest impaire.
c) En s'aidant éventuellement des relations et , déterminer les variations de la fonction th.
d) Dresser le tableau de variations, limites comprises, de la fonction th.
6) a) Trouver les constantes et telles que : .
b) En déduire, à l'aide de la fonction th, une primitive sur de la fonction qui à .
7) Montrer que .

Partie 3 : une série convergente

Dans cette partie, on désigne par un réel strictement positif.
8) a) Soit un entier naturel non nul. Montrer que :
b) En déduire l'encadrement, valable pour tout de :
  1. a) Montrer que la série de terme général est convergente.
    b) Établir, pour tout réel strictement positif, l'encadrement suivant:
c) En déduire, en utilisant certains résultats des parties précédentes, l'équivalent suivant :
  1. Compléter le script Scilab suivant pour qu'il permette d'afficher la valeur de lorsque et sont entrés par l'utilisateur:
n=input('entrez une valeur pour n :')
x=input('entrez une valeur strictement positive pour x :')
S=0
for k=1:n
S=-------
end
disp(S)

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