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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2004Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2004

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Fonctions définies par des intégrales, calcul de l'intégrale de Dirichlet, et matrices positives productives
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Le premier problème étudie deux fonctions définies par des intégrales généralisées à paramètre, A(x) liée à sin(t)/(t+x) et B_0(x) liée à e^(-xt)/(1+t²), montre qu'elles vérifient la même équation différentielle, et en déduit par une méthode originale la valeur de l'intégrale de Dirichlet. Le deuxième problème étudie les matrices positives puis les matrices dites productives, utilisées en modélisation économique, en caractérisant leur inversibilité et la positivité de leur inverse.

  1. 1Premier problème, I : étude de A(x)On étudie la fonction A définie par une intégrale généralisée liée à sin(t)/(t+x), sa convergence, sa régularité et l'équation différentielle qu'elle vérifie.
  2. 2Premier problème, II : étude de B_0(x)On étudie la fonction B_0 définie par une intégrale à paramètre liée à e^(-xt)/(1+t²), sa dérivabilité obtenue à l'aide de l'inégalité de Taylor-Lagrange, et l'équation différentielle qu'elle vérifie.
  3. 3Premier problème, III : calcul de l'intégrale de DirichletEn comparant les fonctions A et B_0, solutions de la même équation différentielle, on établit qu'elles coïncident et on en déduit la valeur de l'intégrale de Dirichlet de sin(u)/u sur [0,+infini[.
  4. 4Deuxième problème, I à III : matrices positives et productivesOn étudie sur des exemples la notion de matrice productive, on caractérise les matrices positives par leur action sur les vecteurs positifs, puis on établit une caractérisation générale des matrices productives via l'inversibilité de I-A et la positivité de son inverse.

Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2004.

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Programme ESC d'E.M.LYON

CONCOURS D'ENTRÉE 2004

MATHEMATIQUES 1^(ère) épreuve (option scientifique)

Lundi 3 mai 2004 de 8 heures à 12 heures

Les candidats ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite.
Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

PREMIER PROBLÈME

I - Étude de la fonction x ⟼ ∫_0^(+ ∞)(sint)/(t + x) dt
On note F : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ et G : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ les applications définies, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, par :
F(x) = ∫_1^x(sinu)/u du et G(x) = ∫_1^x(cosu)/u du
  1. a. Montrer, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[ : F(x) = − (cosx)/x + cos1 − ∫_1^x(cosu)/(u^2) du.
En déduire que F admet une limite finie en + ∞. On note α cette limite.
b. De manière analogue, montrer que G admet une limite finie en + ∞. On note β cette limite.
c. En déduire que, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, les intégrales ∫_x^(+ ∞)(sinu)/u du et ∫_x^(+ ∞)(cosu)/u du convergent, et que : ∫_x^(+ ∞)(sinu)/u du = α − F(x) et ∫_x^(+ ∞)(cosu)/u du = β − G(x).
2. a. Montrer, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[ et tout réel T ∈ ]0; + ∞[ :
∫_0^T(sint)/(t + x) dt = cosx∫_x^(x + T)(sinu)/u du − sinx∫_x^(x + T)(cosu)/u du
b. En déduire que, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(sint)/(t + x) dt converge et que
∫_0^(+ ∞)(sint)/(t + x) dt = cosx∫_x^(+ ∞)(sinu)/u du − sinx∫_x^(+ ∞)(cosu)/u du
On note A : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, par :
A(x) = ∫_0^(+ ∞)(sint)/(t + x) dt
  1. Montrer que l'application A est de classe C^2 sur ]0; + ∞[ et que, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[ :
A^(′′)(x) + A(x) = 1/x
  1. Établir que A(x) et A^′(x) tendent vers 0 lorsque x tend vers + ∞.
    5.a. Montrer: ∀x ∈ ]0; 1], 0 ⩽ ∫_x^1(cosu)/u du ⩽ − lnx.
    b. En déduire que sinx∫_x^(+ ∞)(cosu)/u du tend vers 0 lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
    c. Montrer que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(sinu)/u du converge, et établir que A(x) tend vers ∫_0^(+ ∞)(sinu)/u du lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
II - Étude de la fonction x ⟼ ∫_0^(+ ∞)(e^(− xt))/(1 + t^2) dt
  1. Montrer que, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[ et tout entier naturel k, l'application t ⟼ t^k e^(− xt) est bornée sur [0; + ∞[, et en déduire que l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(t^k e^(− xt))/(1 + t^2) dt converge.
On note, pour tout entier naturel k, B_k : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, par : B_k(x) = ∫_0^(+ ∞)(t^k e^(− xt))/(1 + t^2) dt.
2.a. Montrer, en utilisant par exemple l'inégalité de Taylor-Lagrange:
∀u ∈ ℝ, |e^u − 1 − u| ⩽ (u^2)/2e^(|u|)
b. En déduire, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, pour tout entier naturel k et pour tout réel h tel que 0 < |h| ⩽ x/2 :
|(B_k(x + h) − B_k(x))/h + B_(k + 1)(x)| ⩽ (|h|)/2B_(k + 2)(x/2)
c. Montrer que, pour tout entier naturel k, B_k est dérivable sur ]0; + ∞[ et que :
∀x ∈ ]0; + ∞[, B_k^′(x) = − B_(k + 1)(x)
d. En déduire que B_0 est de classe C^2 sur ]0; + ∞ [ et que, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[ :
B_0^(′′)(x) + B_0(x) = 1/x
  1. Montrer, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[ :
0 ⩽ B_0(x) ⩽ 1/x et 0 ⩽ − B_0^′(x) ⩽ 1/(x^2)
et en déduire les limites de B_0(x) et B_0^′(x) lorsque x tend vers + ∞.
4.a. Montrer:
∀x ∈ ]0; + ∞[, e^(− √x)∫_0^(1/(√x))1/(1 + t^2) dt ⩽ B_0(x) ⩽ ∫_0^(+ ∞)1/(1 + t^2) dt
b. Justifier, pour tout réel y ∈ [0; π/2[ :
∫_0^y du = ∫_0^(tany)1/(1 + t^2) dt
et en déduire : ∫_0^(+ ∞)1/(1 + t^2) dt = π/2.
c. En déduire la limite de B_0(x) lorsque x tend vers 0 par valeurs strictement positives.
III - Calcul de l'intégrale ∫_0^(+ ∞)(sinu)/u du
On considère l'application φ : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ définie, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, par :
φ(x) = A(x) − B_0(x)
où A a été définie dans la Partie I et B_0 a été définie dans la Partie I.
On note U : ]0; + ∞[ ⟶ ℝ l'application définie, pour tout réel x ∈ ]0; + ∞[, par :
U(x) = (φ(x))^2 + (φ^′(x))^2
  1. Montrer que U est constante sur ]0; + ∞[.
  2. Quelle est la limite de U(x) lorsque x tend vers + ∞ ?
  3. En déduire : ∀x ∈ ]0; + ∞[, A(x) = B_0(x).
  4. Quelle est la valeur de ∫_0^(+ ∞)(sinu)/u du ?

DEUXIÈME PROBLÈME

Dans tout le problème, n désigne un entier naturel supérieur ou égal à 2 .
M_n(ℝ) est l'ensemble des matrices carrées réelles d'ordre n et M_(n, 1)(ℝ) l'ensemble des matrices colonnes réelles à n lignes.
Une matrice M de M_n(ℝ) ou de M_(n, 1)(ℝ) est dite positive si et seulement si tous les cœfficients de M sont positifs ou nuls. On notera alors M ⩾ 0.
Une matrice M de M_n(ℝ) ou de M_(n, 1)(ℝ) est dite strictement positive si et seulement si tous les cœfficients de M sont strictement positifs. On notera alors M > 0.
Si M et N sont deux matrices de M_n(ℝ) ou deux matrices de M_(n, 1)(ℝ), la notation M ⩾ N (respectivement M > N ) signifie que M − N ⩾ 0 (respectivement M − N > 0 ).
Une matrice M de M_n(ℝ) est dite productive si et seulement si elle vérifie les deux conditions suivantes : M est positive et il existe une matrice positive P de M_(n, 1)(ℝ) telle que P − MP > 0.

I - Étude d'exemples

  1. En considérant U = (1; 1; 1), montrer que la matrice A = 1/3(0, 1, 1; 1, 0, 1; 1, 1, 0) est productive.
  2. Montrer que la matrice B = (1, 4, 1; 2, 1, 3; 0, 0, 1) n'est pas productive.

II - Caractérisation des matrices positives

Soit M une matrice de M_n(ℝ).
  1. Montrer que, si M est positive, alors, pour toute matrice positive X de M_(n, 1)(ℝ), le produit MX est positif.
  2. Réciproquement, montrer que, si, pour toute matrice positive X de M_(n, 1)(ℝ), le produit MX est positif, alors la matrice M est positive.

III - Caractérisation des matrices productives

  1. Soit A une matrice productive de M_n(ℝ) dont le cœfficient de la i-ème ligne et de la j-ème colonne est noté a_(ij), et P une matrice positive de M_(n, 1)(ℝ) telles que P − AP > 0. On note p_1, …, p_n les cœfficients de la matrice colonne P.
    a. Montrer que P > 0.
    b. Soit X appartenant à M_(n, 1)(ℝ) telle que X ⩾ AX. On note x_1, …, x_n les cœfficients de la matrice colonne X. On désigne par c le plus petit des réels (x_j)/(p_j) lorsque l'entier j décrit l'ensemble {1, …, n} et k un indice tel que c = (x_k)/(p_k).
    Établir que c(p_k − ∑_(j = 1)^n a_(kj)p_j) ⩾ 0. En déduire que c ⩾ 0 et que X est positive.
    c. Soit X appartenant à M_(n, 1)(ℝ) telle que X = AX. En remarquant que − X ⩾ A(− X), montrer que X est nulle. En déduire que I_n − A est inversible, où I_n est la matrice identité de M_n(ℝ).
    d. Montrer que, pour toute matrice positive X de M_(n, 1)(ℝ), la matrice Y = (I_n − A)^(− 1)X est positive (on pourra utiliser III.1.b).
    En déduire que (I_n − A)^(− 1) est positive.
  2. Dans cette question, on considère une matrice positive B de M_n(ℝ) telle que I_n − B soit inversible et telle que (I_n − B)^(− 1) soit positive. On note V = (I_n − B)^(− 1)U, où U est la matrice de M_(n, 1)(ℝ) dont tous les cœfficients sont égaux à 1 .
    Montrer que V − BV > 0. Conclure.
  3. Donner une caractérisation des matrices productives.
  4. Application : Soit M une matrice positive de M_n(ℝ) telle que 2M^2 = M.
Vérifier que (I_n − M)(I_n + 2M) = I_n et en déduire que M est productive.

Questions fréquentes

4 questions
Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques approfondies EM Lyon ECS 2004 ?
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Sur quels chapitres porte ce sujet de mathématiques approfondies EM Lyon ECS 2004 ?

Le premier problème porte sur les intégrales généralisées et les fonctions définies par une intégrale à paramètre, le second sur l'algèbre linéaire des matrices positives appliquée à un modèle économique de production.

Les deux problèmes sont-ils indépendants ?

Oui, l'épreuve comporte deux problèmes indépendants ; à l'intérieur du premier problème, les parties I et II peuvent être traitées séparément avant d'être combinées dans la partie III.

Quel résultat célèbre est établi dans la partie III du premier problème ?

La valeur de l'intégrale de Dirichlet, l'intégrale généralisée de sin(u)/u sur [0,+infini[, obtenue en montrant que deux fonctions auxiliaires vérifient la même équation différentielle et coïncident donc.

Qu'est-ce qu'une matrice productive dans le deuxième problème ?

C'est une matrice positive M pour laquelle il existe un vecteur positif P tel que P-MP soit strictement positif ; cette notion, issue de la modélisation économique de Leontief, est caractérisée dans le sujet par l'inversibilité de I-M et la positivité de son inverse.

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