BCE Maths approfondies emlyon ECS 2019Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2019

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Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2019.

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OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril 2019, de 14 h00 à 18 h00

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Le sujet est constitué d'un unique problème composé de cinq parties, relativement indépendantes les unes des autres.

La partie

A

étudie des endomorphismes de polynômes. Cette partie est indépendante du reste du problème.

Les parties

B, C

D

étudient un opérateur fonctionnel. Certains résultats de la partie

B

seront utilisés dans les parties

C

D

Enfin, la partie

E

étudie un analogue discret de cet opérateur manipulant les notions de suites et de séries. Cette partie est aussi indépendante du reste du problème.

PARTIE A : Étude d'endomorphismes de polynômes

Soit

n

un entier naturel non nul. On note

ℝ_n[X]

l'espace vectoriel des polynômes (ou fonctions polynomiales) à coefficients réels de degré inférieur ou égal à

n

, et

B = (1, X, \dots, X^n)

sa base canonique.

Dans toute cette partie,

a

désigne un réel quelconque.
Pour tout polynôme

P

ℝ_n[X]

, on pose:

Ψ_a(P) = 2P + (X - a)P^'

.
Pour tout polynôme

P

ℝ_n[X]

, on définit également la fonction

Φ_a(P)

sur

ℝ

par :

∀x ∈ ℝ, Φ_a(P)(x) = {1/((x − a)^2)∫_a^x(t − a)P(t)dt, si x ≠ a; (P(a))/2, si x = a

Enfin on définit, pour tout

k

[ [0; n] ]

, le polynôme

Q_k

par :

Q_k = (X - a)^k

Montrer que l'application $Ψ_a : P ⟼ Ψ_a(P)$ est un endomorphisme de $ℝ_n[X]$ .
Déterminer la matrice de $Ψ_a$ dans la base $B$ de $ℝ_n[X]$ .
a. Montrer que $Ψ_a$ est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
b. Justifier que $Ψ_a$ est un automorphisme de $ℝ_n[X]$ .
c. Calculer, pour tout $k$ de $[ [0; n] ], Ψ_a(Q_k)$ .
d. En déduire une base de chacun des sous-espaces propres de $Ψ_a$ .
a. Pour tout polynôme $P$ de $ℝ_n[X]$ , exprimer $((X - a)^2 P(X))^'$ en fonction de $Ψ_a(P)$ .
b. En déduire, pour tout polynôme $P$ de $ℝ_n[X]$ : $Φ_a(Ψ_a(P)) = P$ .
c. En déduire que $Φ_a : P ⟼ Φ_a(P)$ est un automorphisme de $ℝ_n[X]$ et que $Φ_a^(- 1) = Ψ_a$ .
d. Montrer que $Φ_a$ est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

PARTIE B : Étude d'une fonction définie par une intégrale

Dans la suite du problème, on fixe

a = 0

et on prolonge l'application

Φ_0

précédente à l'ensemble des fonctions définies et continues sur

ℝ

, que l'on note plus simplement

Φ

On considère

f

une fonction définie et continue sur

ℝ

et à valeurs dans

ℝ

.
On définit la fonction

Φ(f)

sur

ℝ

par :

∀x ∈ ℝ, Φ(f)(x) = {1/(x^2)∫_0^x tf(t)dt, si x ≠ 0; (f(0))/2, si x = 0

On pose, pour tout $x$ de $ℝ : h(x) = \int_0^x tf(t)dt$ .
a. Justifier que la fonction $h$ est de classe $C^1$ sur $ℝ$ et préciser, pour tout $x$ de $ℝ, h^'(x)$ .
b. Soit $x \in ℝ^(+ *)$ . Justifier qu'il existe deux réels $α_x$ et $β_x$ appartenant à $[0; x]$ tels que :

f(α_x)\int_0^x t dt ⩽ \int_0^x tf(t)dt ⩽ f(β_x)\int_0^x t dt

c. En déduire :

lim_(x \to 0; x > 0)(h(x))/(x^2) = (f(0))/2

.
d. Montrer que l'on a aussi :

lim_(x \to 0; x < 0)(h(x))/(x^2) = (f(0))/2

.
6. Montrer que la fonction

Φ(f)

est continue sur

ℝ

et de classe

C^1

sur

ℝ^(+ *)

et sur

ℝ^(- *)

et que l'on a :

\forallx \in ℝ^*, (Φ(f))^'(x) = 1/x(f(x) - 2Φ(f)(x))

a. Montrer que, si $f$ est une fonction paire (respectivement impaire), alors $Φ(f)$ est encore une fonction paire (respectivement impaire).
b. Montrer que, si $f$ est une fonction positive, alors $Φ(f)$ est encore une fonction positive.
On admet le résultat suivant :

si lim_(+ \infty)f = 0, alors lim_(+ \infty)(Φ(f)) = 0

a. Soit

ℓ \in ℝ

. En utilisant

Φ(g)

où

g : x ⟼ f(x) - ℓ

, montrer :

si lim_(+ \infty)f = ℓ, alors lim_(+ \infty)(Φ(f)) = ℓ/2

b. Soit

ℓ \in ℝ

. En utilisant

Φ(h)

où

h : x ⟼ f(- x)

, montrer :

si lim_(- \infty)f = ℓ, alors lim_(- \infty)(Φ(f)) = ℓ/2.

PARTIE C : Une application en probabilité

Dans cette partie, on pourra utiliser des résultats de la partie

B

.
On considère

F

la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
On pose

G = 2Φ(F);

ainsi, on a :

∀x ∈ ℝ, G(x) = {2/(x^2)∫_0^x tF(t)dt, si x ≠ 0,; F(0), si x = 0.

9. Montrer :

\forallx \in ℝ^(+ *), 0 ⩽ G(x) ⩽ F(x)

\forallx \in ℝ^(- *), 0 ⩽ F(x) ⩽ G(x)

.
10. Justifier que

G

est de classe

C^1

sur

ℝ^(+ *)

et sur

ℝ^(- *)

et exprimer, pour tout

x

ℝ^*, G^'(x)

à l'aide de

x, F(x)

G(x)

.
11. On considère la fonction

g

définie sur

ℝ

par :

∀x ∈ ℝ, g(x) = {G^′(x), si x ≠ 0,; 0, si x = 0.

Montrer que

g

est une densité de probabilité d'une variable aléatoire

V

puis que

G

est la fonction de répartition de

V

.
12. On définit la fonction

h_1

sur

ℝ

par :

∀x ∈ ℝ, h_1(x) = {0, si x ⩽ 0,; 2xe^(− x^2), si x > 0.

a. Montrer que

h_1

est une densité de probabilité.

Soit

X_1

une variable aléatoire admettant

h_1

pour densité.
b. Montrer que

X_1

admet une espérance, notée

E(X_1)

, et que l'on a:

E(X_1) = (\sqrtπ)/2

.
c. On note

H_1

la fonction de répartition de

X_1

et on pose

H_2 = 2Φ(H_1)

Montrer :

∀x ∈ ℝ, H_2(x) = {0, si x ⩽ 0,; 1 − (1 − e^(− x^2))/(x^2), si x > 0.

D'après la question 11.,

H_2

est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité que l'on note

X_2

. Déterminer une densité

h_2

X_2

, puis montrer que

X_2

admet une espérance (que l'on ne cherchera pas à calculer).

PARTIE D : Étude d'un espace vectoriel et d'un produit scalaire

On note

E

l'espace vectoriel des fonctions définies et continues sur

ℝ^+

et à valeurs dans

ℝ

E_2

l'ensemble des fonctions

f

E

telles que l'intégrale

\int_0^(+ \infty)(f(x))^2 dx

converge.
Pour toute fonction

f

E

, on note toujours

Φ(f)

la fonction définie dans cette partie sur

ℝ^+

par :

∀x ∈ ℝ^+, Φ(f)(x) = {1/(x^2)∫_0^x tf(t)dt, si x > 0; (f(0))/2, si x = 0

a. Justifier : $\forall(x, y) \in ℝ^2, |xy| ⩽ 1/2(x^2 + y^2)$ .
b. En déduire que, pour toutes fonctions $f$ et $g$ de $E_2$ , l'intégrale $\int_0^(+ \infty)f(x)g(x)dx$ est absolument convergente.
Montrer alors que $E_2$ est un sous-espace vectoriel de $E$ .

On considère l'application

⟨ \cdot, \cdot ⟩

E_2 \times E_2

dans

ℝ

définie par :

\forall(f, g) \in E_2 \times E_2, ⟨f, g⟩ = \int_0^(+ \infty)f(x)g(x)dx

Montrer que $⟨ \cdot, \cdot ⟩$ est un produit scalaire sur $E_2$ .

On munit

E_2

de ce produit scalaire et de la norme associée notée

‖ \cdot ‖

.
16. Soit

f

une fonction de

E_2

On note, comme dans la partie B., pour tout

x

ℝ^+ : h(x) = \int_0^x tf(t)dt

.
a. Calculer les limites de

x ⟼ ((h(x))^2)/(x^4)

et de

x ⟼ ((h(x))^2)/(x^3)

en 0 .
b. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties :

\forallX > 0, \int_0^X((h(x))^2)/(x^4) dx = - 1/3((h(X))^2)/(X^3) + 2/3\int_0^X f(x)Φ(f)(x)dx.

c. Soit

X > 0

. En étudiant le signe de la fonction polynomiale

λ ⟼ \int_0^X(λf(x) + Φ(f)(x))^2 dx

, montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz suivante :

\int_0^X f(x)Φ(f)(x)dx ⩽ (\int_0^X(f(x))^2 dx)^(1/2)(\int_0^X(Φ(f)(x))^2 dx)^(1/2).

d. En déduire :

\forallX > 0, (\int_0^X(Φ(f)(x))^2 dx)^(1/2) ⩽ 2/3(\int_0^X(f(x))^2 dx)^(1/2)

.
e. Montrer alors que la fonction

Φ(f)

appartient à

E_2

et que l'on a :

‖Φ(f)‖ ⩽ 2/3‖f‖

.
f. En utilisant la relation de la question 16.b, justifier que la limite de

X ⟼ X(Φ(f)(X))^2

+ \infty

est finie, puis en raisonnant par l'absurde, montrer que cette limite est nulle.
g. En déduire :

‖Φ(f)‖^2 = 2/3⟨Φ(f), f⟩

PARTIE E : Étude d'une suite

Dans cette partie, indépendante des précédentes, on étudie un analogue discret de l'application

Φ

étudiée précédemment.

Soit

(u_n)_(n \in ℕ^*)

une suite réelle positive. On définit la suite

(v_n)_(n \in ℕ^*)

par :

pour tout n de ℕ^*, v_n = 1/(n(n + 1))\sum_(k = 1)^n ku_k.

On suppose que l'on dispose d'une fonction Scilab d'en-tête function $u =$ suite_u(n) qui prend en argument un entier $n$ de $ℕ^*$ et qui renvoie la valeur de $u_n$ .
En déduire une fonction Scilab d'en-tête function $v =$ suite_v(n) qui prend en argument un entier $n$ de $ℕ^*$ et qui renvoie la valeur de $v_n$ .
On suppose dans cette question uniquement que la suite $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ est décroissante.
a. Justifier que la suite $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ converge.
b. Pour différentes suites $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ décroissantes, on représente ci-dessous, à l'aide des fonctions suite_u et suite_v, les premiers termes des suites $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ avec le symbole ' × ' et ceux de la suite $(v_n)_(n \in ℕ^*)$ avec le symbole ' $\oplus$ '.
À la vue des graphes suivants, quelles conjectures peut-on faire sur la monotonie, la convergence et la valeur de la limite de la suite $(v_n)_(n \in ℕ^*)$ en fonction de celle de la suite $(u_n)_(n \in ℕ^*)$ ?

Cas où:

\foralln \in ℕ^*, u_n = e^(1/n^2)

Cas où :

\foralln \in ℕ^*, u_n = (6n + 1)/(3n - 1)

Cas où :

\foralln \in ℕ^*, u_n = e^(- n)

Cas où :

\foralln \in ℕ^*, u_n = 4 + 5(0.9)^n

c. Montrer, pour tout

n

ℕ^* : v_n ⩾ (u_n)/2

v_(2n) ⩽ (n + 1)/(2(2n + 1))v_n + (3n + 1)/(4(2n + 1))u_(n + 1)

.
d. Montrer, pour tout

n

ℕ^* : (n + 2)v_(n + 1) = nv_n + u_(n + 1)

puis

v_(n + 1) - v_n = 1/n(u_(n + 1) - 2v_(n + 1))

.
e. Démontrer toutes les conjectures faites à la question 18.b.
19. On suppose dans cette question uniquement que la série

\sum_(n ⩾ 1)u_n

converge.
a. Montrer :

\forallN \in ℕ^*, \sum_(n = 1)^N v_n = \sum_(k = 1)^N u_k - Nv_N

.
b. En déduire que la série

\sum_(n ⩾ 1)v_n

converge.
c. Montrer ensuite que

Nv_N

tend vers une limite finie lorsque l'entier

N

tend vers

+ \infty

, puis en raisonnant par l'absurde, montrer que cette limite est nulle.
d. En déduire :

\sum_(n = 1)^(+ \infty)v_n = \sum_(n = 1)^(+ \infty)u_n

.
20. On considère dans cette question une variable aléatoire

Y

à valeurs dans

ℕ^*

.
a. Justifier qu'il existe une variable aléatoire discrète

Z

, à valeurs dans

ℕ^*

, telle que :

\foralln \in ℕ^*, P(Z = n) = 1/(n(n + 1))\sum_(k = 1)^n kP(Y = k)

b. On suppose dans cette question que

Y

admet une espérance, notée

E(Y)

Montrer :

P(Z = n) \sim _(n \to + \infty)(E(Y))/(n^2)

. La variable aléatoire

Z

admet-elle une espérance?

- FIN -

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