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BCE Maths approfondies emlyon ECS 2019

Epreuve de maths approfondies - ECS 2019

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Algèbre linéaireCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesFonctions (limites, continuité, dérivabilité, intégration)Intégrales généraliséesProbabilités continuesSéries et familles sommables
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Banque
BCE
Année
2019
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2019ECS MathématiquesMathématiques 2019

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Description

Annale de maths approfondies BCE emlyon pour la filiere ECS, session 2019.

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Conception : emlyon business school

OPTION SCIENTIFIQUE

MATHÉMATIQUES

Lundi 29 avril 2019, de 14 h00 à 18 h00
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Aucun document n'est autorisé. L'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il la signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Le sujet est constitué d'un unique problème composé de cinq parties, relativement indépendantes les unes des autres.
La partie étudie des endomorphismes de polynômes. Cette partie est indépendante du reste du problème.
Les parties et étudient un opérateur fonctionnel. Certains résultats de la partie seront utilisés dans les parties et .
Enfin, la partie étudie un analogue discret de cet opérateur manipulant les notions de suites et de séries. Cette partie est aussi indépendante du reste du problème.

PARTIE A : Étude d'endomorphismes de polynômes

Soit un entier naturel non nul. On note l'espace vectoriel des polynômes (ou fonctions polynomiales) à coefficients réels de degré inférieur ou égal à , et sa base canonique.
Dans toute cette partie, désigne un réel quelconque.
Pour tout polynôme de , on pose: .
Pour tout polynôme de , on définit également la fonction sur par :
Enfin on définit, pour tout de , le polynôme par : .
  1. Montrer que l'application est un endomorphisme de .
  2. Déterminer la matrice de dans la base de .
  3. a. Montrer que est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.
    b. Justifier que est un automorphisme de .
    c. Calculer, pour tout de .
    d. En déduire une base de chacun des sous-espaces propres de .
  4. a. Pour tout polynôme de , exprimer en fonction de .
    b. En déduire, pour tout polynôme de : .
    c. En déduire que est un automorphisme de et que .
    d. Montrer que est diagonalisable et préciser ses valeurs propres.

PARTIE B : Étude d'une fonction définie par une intégrale

Dans la suite du problème, on fixe et on prolonge l'application précédente à l'ensemble des fonctions définies et continues sur , que l'on note plus simplement .
On considère une fonction définie et continue sur et à valeurs dans .
On définit la fonction sur par :
  1. On pose, pour tout de .
    a. Justifier que la fonction est de classe sur et préciser, pour tout de .
    b. Soit . Justifier qu'il existe deux réels et appartenant à tels que :
c. En déduire : .
d. Montrer que l'on a aussi : .
6. Montrer que la fonction est continue sur et de classe sur et sur et que l'on a :
  1. a. Montrer que, si est une fonction paire (respectivement impaire), alors est encore une fonction paire (respectivement impaire).
    b. Montrer que, si est une fonction positive, alors est encore une fonction positive.
  2. On admet le résultat suivant :
a. Soit . En utilisant où , montrer :
b. Soit . En utilisant où , montrer :

PARTIE C : Une application en probabilité

Dans cette partie, on pourra utiliser des résultats de la partie .
On considère la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité.
On pose ainsi, on a :
9. Montrer : et .
10. Justifier que est de classe sur et sur et exprimer, pour tout de à l'aide de et .
11. On considère la fonction définie sur par :
Montrer que est une densité de probabilité d'une variable aléatoire puis que est la fonction de répartition de .
12. On définit la fonction sur par :
a. Montrer que est une densité de probabilité.
Soit une variable aléatoire admettant pour densité.
b. Montrer que admet une espérance, notée , et que l'on a: .
c. On note la fonction de répartition de et on pose .
Montrer :
D'après la question 11., est la fonction de répartition d'une variable aléatoire à densité que l'on note . Déterminer une densité de , puis montrer que admet une espérance (que l'on ne cherchera pas à calculer).

PARTIE D : Étude d'un espace vectoriel et d'un produit scalaire

On note l'espace vectoriel des fonctions définies et continues sur et à valeurs dans et l'ensemble des fonctions de telles que l'intégrale converge.
Pour toute fonction de , on note toujours la fonction définie dans cette partie sur par :
  1. a. Justifier : .
    b. En déduire que, pour toutes fonctions et de , l'intégrale est absolument convergente.
  2. Montrer alors que est un sous-espace vectoriel de .
On considère l'application de dans définie par :
  1. Montrer que est un produit scalaire sur .
On munit de ce produit scalaire et de la norme associée notée .
16. Soit une fonction de .
On note, comme dans la partie B., pour tout de .
a. Calculer les limites de et de en 0 .
b. Montrer, à l'aide d'une intégration par parties :
c. Soit . En étudiant le signe de la fonction polynomiale , montrer l'inégalité de Cauchy-Schwarz suivante :
d. En déduire : .
e. Montrer alors que la fonction appartient à et que l'on a : .
f. En utilisant la relation de la question 16.b, justifier que la limite de en est finie, puis en raisonnant par l'absurde, montrer que cette limite est nulle.
g. En déduire : .

PARTIE E : Étude d'une suite

Dans cette partie, indépendante des précédentes, on étudie un analogue discret de l'application étudiée précédemment.
Soit une suite réelle positive. On définit la suite par :
  1. On suppose que l'on dispose d'une fonction Scilab d'en-tête function suite_u(n) qui prend en argument un entier de et qui renvoie la valeur de .
    En déduire une fonction Scilab d'en-tête function suite_v(n) qui prend en argument un entier de et qui renvoie la valeur de .
  2. On suppose dans cette question uniquement que la suite est décroissante.
    a. Justifier que la suite converge.
    b. Pour différentes suites décroissantes, on représente ci-dessous, à l'aide des fonctions suite_u et suite_v, les premiers termes des suites avec le symbole ' × ' et ceux de la suite avec le symbole ' '.
    À la vue des graphes suivants, quelles conjectures peut-on faire sur la monotonie, la convergence et la valeur de la limite de la suite en fonction de celle de la suite ?
Cas où:
Cas où :
Cas où :
Cas où :
c. Montrer, pour tout de et .
d. Montrer, pour tout de puis .
e. Démontrer toutes les conjectures faites à la question 18.b.
19. On suppose dans cette question uniquement que la série converge.
a. Montrer : .
b. En déduire que la série converge.
c. Montrer ensuite que tend vers une limite finie lorsque l'entier tend vers , puis en raisonnant par l'absurde, montrer que cette limite est nulle.
d. En déduire : .
20. On considère dans cette question une variable aléatoire à valeurs dans .
a. Justifier qu'il existe une variable aléatoire discrète , à valeurs dans , telle que :
b. On suppose dans cette question que admet une espérance, notée .
Montrer : . La variable aléatoire admet-elle une espérance?

- FIN -

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