BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2000Sujet et corrigé

CONCOURS D'ADMISSION DE 2000

Mardi 9 Mai 2000 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

Dans l'ensemble du problème, on désigne par n un nombre entier naturel non nul et par R_n[x] l'espace vectoriel des fonctions-polynômes de degré inférieur ou égal à n.
On note P_n le sous-ensemble de R_n[X] formé des fonctions-polynômes unitaires et de degré n, autrement dit des fonctions-polynômes de degré n et dont le coefficient de x^n est égal à 1 .
L'objectif du problème est de déterminer des fonctions-polynômes P appartenant à P_n et réalisant le minimum sur P_n de chacune des trois expressions suivantes :

Les trois parties du problème sont consacrées à la résolution des trois problèmes ainsi définis. La partie I est indépendante des deux suivantes.

PARTIE I : Minimisation de N_2(P) pour P décrivant P_n
On associe à tout couple ( P, Q ) de fonctions-polynômes de R_n[x] le nombre réel suivant :

1^∘ ) Montrer que l'application (P, Q)→<P, Q > définit un produit scalaire sur R_n[x].

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2^∘ ) On considère la fonction f associant à tout n-uplet ( x_0, x_1, …, x_(n − 1) ) de nombres réels l'expression suivante (qui représente le carré de la distance entre les deux fonctions-polynômes t → t^n et t → x_(n − 1)t^(n − 1) + … + x_1 t + x_0 de R_n[x]) :

a) Citer avec précision le théorème permettant d'affirmer l'existence et l'unicité d'un n-uplet ( a_0, a_1, …, a_(n − 1) ) réalisant le minimum (désormais noté m_n ) de l'expression f(x_0, x_1, …, x_(n − 1)) lorsque ( x_0, x_1, …, x_(n − 1) ) décrit R^n, et montrer que ces n nombres réels a_0, a_1, …, a_(n − 1) vérifient les n relations suivantes :

On explicitera ces n relations en calculant les n intégrales figurant ci-dessus pour 0 ≤ k < n.
b) On pose pour tout nombre réel x distinct de − 1, − 2, … − n, − n − 1 :

Etablir l'existence d'un nombre réel a tel que l'on ait pour x distinct de − 1, − 2, … − n, − n − 1 :

Déterminer la valeur de a en faisant tendre x vers − n − 1 dans chacun des deux membres de l'égalité précédente (on exprimera a en fonction de n ! et ( 2n )!).
c) Etablir l'égalité suivante :

d) Etablir enfin que m_n = F(n) et en déduire que m_n = ((n!)^4)/((2n)!(2n + 1)!).
3^∘ ) On résout maintenant le problème de la minimisation de N_2(P) lorsque P décrit P_n.
a) Pour toute fonction-polynôme P appartenant à P_n, effectuer le changement de variables défini par x = 2t − 1 dans l'intégrale figurant dans l'expression de N_2(P) et en déduire que :

b) En déduire le minimum de N_2(P) lorsque P décrit P_n.

PARTIE II : Minimisation de N_∞(P) pour P décrivant P_n
On considère la suite des fonctions (T_k) définies par T_0(x) = 1, T_1(x) = x puis, pour k ≥ 1, par la relation de récurrence :

Par ailleurs, on rappelle la formule de trigonométrie suivante : 2cosacosb = cos(a + b) + cos(a − b).
1^∘ ) On étudie dans cette question quelques propriétés des fonctions T_k.
a) Montrer que T_k est une fonction-polynôme de degré k, de coefficient dominant 2^(k − 1)(k ≥ 1).
b) On considère un nombre réel θ. Exprimer en fonction de θ les nombres T_1(cosθ), T_2(cosθ), T_3(cosθ) et montrer que T_k(cosθ) = cos(kθ) pour tout nombre entier naturel k.
2^∘ ) On résout maintenant le problème de la minimisation de N_∞(P) lorsque P décrit P_n.
a) On considère, s'il en existe, une fonction-polynôme P appartenant à P_n telle que :

PARTIE III: Minimisation de N_1(P) pour P décrivant P_n
On considère la suite des fonctions ( U_k ) définies par U_0(x) = 1, U_1(x) = 2x et pour k ≥ 1 par:

1^∘ ) On étudie dans cette question quelques propriétés des fonctions U_k.
a) Montrer que U_k est une fonction-polynôme, préciser son degré et son coefficient dominant. Etablir de plus que U_k(− x) = (− 1)^k U_k(x).
b) Déterminer les suites (u_k) vérifiant la relation de récurrence : u_(k + 1) − 2cosθu_k + u_(k − 1) = 0.

En déduire pour tout nombre réel θ appartenant à ]0, π[ l'expression de U_k(cosθ) en fonction de sin((k + 1)θ) et sinθ, puis déterminer U_k(1) et U_k(− 1) à l'aide d'un passage à la limite.
c) En dérivant la relation T_(k + 1)(cosθ) = cos((k + 1)θ), exprimer (k + 1)U_k en fonction de la dérivée de T_(k + 1).
2^∘ ) Pour tout nombre réel x, on note sgn(x) la fonction "signe de x ", définie par :

On considère, s'il en existe, une fonction-polynôme P appartenant à P_n telle que :

a) Prouver, pour toute fonction-polynôme Q appartenant à P_n, l'égalité suivante :

b) En déduire que N_1(P) ≤ N_1(Q).
c) Calculer l'intégrale N_1(U_n) à l'aide du changement de variables x = cos(θ/(n + 1)) où θ décrit le segment [0, (n + 1)π]. En admettant que la fonction-polynôme U_n/2^n vérifie l'hypothèse (*), en déduire le minimum de N_1(P) lorsque P décrit P_n.
3^∘ ) On démontre pour terminer que la fonction-polynôme U_n/2^n vérifie bien l'hypothèse faite à la question précédente. A cet effet, on introduit les nombres réels suivants :

(On notera que ceux-ci vérifient − 1 = c_(n + 1) < c_n < … < c_2 < c_1 < c_0 = 1 ).
a) Déterminer la valeur de U_n(c_j) pour 1 ≤ j ≤ n et déterminer le signe de U_n(x) sur chacun des n + 1 intervalles ]c_(n + 1), c_n[, …, ]c_2, c_1[, ]c_1, c_0[.

On considère alors l'intégrale suivante, où k désigne un nombre entier tel que 0 ≤ k < n :

b) On suppose n + k impair. Déterminer la valeur de I_k en étudiant la parité de la fonction figurant sous le signe intégral.
c) On suppose n + k pair. Prouver l'égalité suivante :

En remarquant que :

prouver que I_k est nul et en déduire que U_n/2^n vérifie bien l'hypothèse de la question 2^∘.