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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2001

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

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Intégrales généraliséesSuites et séries de fonctionsSéries entières (et Fourier)Probabilités continuesCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesTopologie/EVN
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Banque
BCE
Année
2001
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2001ECS MathématiquesMathématiques 2001

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2001.

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CONCOURS D'ADMISSION DE 2001

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Mercredi 2 Mai 2001 de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
On étudie dans ce problème la suite définie pour par :
à
Dans la partie I, on détermine la limite de la suite ( ). Dans les parties II et III, on explicite deux méthodes indépendantes permettant d'accélérer la convergence de vers .

PARTIE I

On considère pour tout nombre entier les deux intégrales suivantes :

) Convergence de la suite ( )

a) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre réel tel que :
b) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier :
c) Exprimer en fonction de en intégrant par parties l'intégrale (on pourra poser et dans l'intégration par parties).
d) Déduire des résultats précédents que tend vers 0 quand tend vers .
1
) Convergence et limite de la suite ( )
a) Exprimer en fonction de et en intégrant deux fois par parties l'intégrale .
b) En déduire la relation suivante pour :
c) Calculer et , puis déterminer la limite de la suite ( ).

PARTIE II

On accélère ici la convergence de la suite ( ) vers sa limite par une méthode due à Stirling. On désigne par :
  • E l'espace vectoriel des fonctions continues de dans et de limite nulle en .
  • la fonction de définie pour tout nombre entier naturel par :
  • l'application associant à toute fonction de la fonction définie pour par :
) Sommation de séries télescopiques
a) Etablir que est un endomorphisme de l'espace vectoriel .
b) Etablir pour toute fonction appartenant à la convergence de la série avec et calculer pour tout nombre entier naturel les sommes suivantes :
c) Exprimer en fonction de et de pour .
d) Etablir pour tout nombre entier naturel la convergence de la série et vérifier pour tout nombre entier naturel que :
) Accélération de la convergence de ( )
a) Etablir la relation suivante pour et :
b) En déduire l'inégalité suivante pour et :
c) En déduire, l'entier étant fixé, une suite ( ) de nombres rationnels telle que :
Expliciter et l'inégalité précédente lorsque .
d) Ecrire en PASCAL un algorithme calculant et affichant pour lorsque est donné.

PARTIE III

On accélère ici la convergence de la suite ( ) vers sa limite en effectuant un développement limité de suivant les puissances de .
) Démontrer qu'il existe une et une seule suite de nombres réels ( ) telle que et
Etablir que les sont rationnels et donner sous forme de fraction irréductible.

) Etude des polynômes de Bernoulli

a) On considère la suite de polynômes définie par :
  • Préciser .
  • Montrer que pour et pour .
    b) On considère une suite de polynômes ( ) définie par :
  • Etablir que pour et en déduire la formule suivante :
  • Etablir la formule suivante pour tout nombre entier :
  • Etablir enfin que pour tout nombre entier naturel .
    c) En déduire l'égalité pour tout nombre entier naturel .
Montrer alors que si .

) Accélération de la convergence de ( )

a) Etablir pour la relation suivante, d'abord en supposant , puis :
b) En déduire l'inégalité suivante pour et :
où désigne le maximum de la fonction continue sur le segment .
c) En déduire, l'entier étant fixé, une suite ( ) de nombres rationnels telle que :
Expliciter " et l'inégalité précédente lorsque .
d) Ecrire en PASCAL un algorithme calculant et affichant " pour lorsque est donné.

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