BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2001Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2001

Pas encore noté

Explorer les annales

BanqueBCE Année2001 FilièreECS MatièreMathématiques

Annales BCE ECS Mathématiques BCE ECS 2001 ECS Mathématiques Mathématiques 2001

Téléchargements

Télécharger le sujet (PDF)

Corrigé

Lire en ligne LaTeX Word

Rapport du jury : non disponible

Source du document : annales-prepa.fr

Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2001.

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

L'énoncé complet, avec les formules et les figures, sans ouvrir le PDF.

Sujet en PDF

CONCOURS D'ADMISSION DE 2001

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Mercredi 2 Mai 2001 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document ; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.

On étudie dans ce problème la suite

(S_n)

définie pour

n \geq 1

par :

à S_n = 1 + 1/4 + 1/9 + \dots + 1/(n^2) c'est à dire S_n = \sum_(p = 1)^n 1/(p^2).

Dans la partie I, on détermine la limite

S

de la suite (

S_n

). Dans les parties II et III, on explicite deux méthodes indépendantes permettant d'accélérer la convergence de

(S_n)

vers

S

PARTIE I

On considère pour tout nombre entier

p \geq 0

les deux intégrales suivantes :

I_p = \int_0^(π/2)cos^(2p)(t)dt; J_p = \int_0^(π/2)t^2 cos^(2p)(t)dt

$1^\circ$ ) Convergence de la suite ( $J_p/I_p$ )

a) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre réel

t

tel que

0 \leq t \leq π/2

t \leq π/2sin(t).

b) Etablir l'inégalité suivante pour tout nombre entier

p \geq 0

0 \leq J_p \leq (π^2)/4(I_p - I_(p + 1)).

c) Exprimer

I_(p + 1)

en fonction de

I_p

en intégrant par parties l'intégrale

I_(p + 1)

(on pourra poser

u^'(t) = cos(t)

v(t) = cos^(2p + 1)(t)

dans l'intégration par parties).
d) Déduire des résultats précédents que

J_p/I_p

tend vers 0 quand

p

tend vers

+ \infty

2^\circ

) Convergence et limite de la suite (

S_n

)
a) Exprimer

I_p

en fonction de

J_p

J_(p - 1)

en intégrant deux fois par parties l'intégrale

I_p(p \geq 1)

.
b) En déduire la relation suivante pour

p \geq 1

(J_(p - 1))/(I_(p - 1)) - (J_p)/(I_p) = 1/(2p^2)

c) Calculer

J_0

I_0

, puis déterminer la limite

S

de la suite (

S_n

PARTIE II

On accélère ici la convergence de la suite (

S_n

) vers sa limite

S

par une méthode due à Stirling. On désigne par :

E l'espace vectoriel des fonctions continues de $]0, + \infty[$ dans $ℝ$ et de limite nulle en $+ \infty$ .
$f_k$ la fonction de $E$ définie pour tout nombre entier naturel $k$ par :

f_0(x) = 1/x et f_k(x) = 1/(x(x + 1)(x + 2)\dots(x + k)) pour k \geq 1.

$Δ$ l'application associant à toute fonction $f$ de $E$ la fonction $Δf$ définie pour $x > 0$ par :

(Δf)(x) = f(x + 1) - f(x)

1^\circ

) Sommation de séries télescopiques
a) Etablir que

Δ

est un endomorphisme de l'espace vectoriel

E

.
b) Etablir pour toute fonction

f

appartenant à

E

la convergence de la série

Σ(Δf)(p)

avec

p \geq 1

et calculer pour tout nombre entier naturel

n

les sommes suivantes :

\sum_(p = 1)^(+ \infty)(Δf)(p); \sum_(p = n + 1)^(+ \infty)(Δf)(p)

c) Exprimer

Δf_(k - 1)

en fonction de

k

et de

f_k

pour

k \geq 1

.
d) Etablir pour tout nombre entier naturel

k \geq 1

la convergence de la série

Σf_k(p)

et vérifier pour tout nombre entier naturel

n

que :

\sum_(p = n + 1)^(+ \infty)f_k(p) = 1/k1/((n + 1)(n + 2)\dots(n + k))

2^\circ

) Accélération de la convergence de (

S_n

)
a) Etablir la relation suivante pour

p \geq 1

q \geq 1

1/(p^2) - \sum_(k = 1)^q(k - 1)!f_k(p) = (q!)/pf_q(p).

b) En déduire l'inégalité suivante pour

n \geq 1

q \geq 1

0 \leq \sum_(p = n + 1)^(+ \infty)1/(p^2) - \sum_(k = 1)^q((k - 1)!)/(k(n + 1)\dots(n + k)) \leq ((q - 1)!)/((n + 1)^2(n + 2)\dots(n + q)).

c) En déduire, l'entier

q \geq 1

étant fixé, une suite (

S_n

) de nombres rationnels telle que :

0 \leq (π^2)/6 - S_n^' \leq ((q - 1)!)/((n + 1)^2(n + 2)\dots(n + q))

Expliciter

S_n^'

et l'inégalité précédente lorsque

q = 2

.
d) Ecrire en PASCAL un algorithme calculant et affichant

S_n^'

pour

q = 2

lorsque

n

est donné.

PARTIE III

On accélère ici la convergence de la suite (

S_n

) vers sa limite

S

en effectuant un développement limité de

S_n

suivant les puissances de

1/n

1^\circ

) Démontrer qu'il existe une et une seule suite de nombres réels (

u_n

) telle que

u_0 = 1

\sum_(p = 1)^n(u_(n - p))/(p!) = 0 pour tout nombre entier n \geq 2.

Etablir que les

u_n

sont rationnels et donner

u_1, u_2, u_3, u_4

sous forme de fraction irréductible.

$2^\circ$ ) Etude des polynômes de Bernoulli

a) On considère la suite de polynômes

(U_n)

définie par :

U_0(x) = 1 et U_n(x) = \sum_(p = 0)^n(u_(n - p)x^p)/(p!) pour tout nombre entier n \geq 1.

Préciser $U_1, U_2, U_3, U_4$ .
Montrer que $U_n^' = U_(n - 1)$ pour $n \geq 1$ et $U_n(0) = U_n(1)$ pour $n \geq 2$ .
b) On considère une suite de polynômes ( $V_n$ ) définie par :

V_0 = 1, V_n^' = V_(n - 1) pour n \geq 1 et V_n(0) = V_n(1) pour n \geq 2.

Etablir que $V_n^((p))(0) = V_(n - p)(0)$ pour $0 \leq p \leq n$ et en déduire la formule suivante :

V_n(x) = \sum_(p = 0)^n(V_(n - p)(0)x^p)/(p!).

Etablir la formule suivante pour tout nombre entier $n \geq 2$ :

\sum_(p = 1)^n(V_(n - p)(0))/(p!) = 0.

Etablir enfin que $V_n = U_n$ pour tout nombre entier naturel $n$ .
c) En déduire l'égalité $U_n(x) = (- 1)^n U_n(1 - x)$ pour tout nombre entier naturel $n$ .

Montrer alors que

u_(2p + 1) = 0

p \geq 1

$3^\circ$ ) Accélération de la convergence de ( $S_n$ )

a) Etablir pour

p \geq 1

la relation suivante, d'abord en supposant

q = 1

, puis

q \geq 1

\int_0^1(dx)/((x + p)^2) - 1/2(1/(p^2) + 1/((p + 1)^2)) + \sum_(k = 1)^q(2k)!u_(2k)(1/(p^(2k + 1)) - 1/((p + 1)^(2k + 1))) = (2q + 2)!\int_0^1(U_(2q + 1)(x)dx)/((x + p)^(2q + 3)).

b) En déduire l'inégalité suivante pour

n \geq 1

q \geq 1

|\sum_(p = n + 1)^(+ \infty)1/(p^2) - 1/n + 1/(2n^2) - \sum_(k = 1)^q((2k)!u_(2k))/(n^(2k + 1))| \leq ((2q + 1)!M_(2q + 1))/(n^(2q + 2))

où

M_(2q + 1)

désigne le maximum de la fonction continue

x \to |U_(2q + 1)(x)|

sur le segment

[0, 1]

.
c) En déduire, l'entier

q \geq 1

étant fixé, une suite (

S_n^('')

) de nombres rationnels telle que :

|(π^2)/6 - S_n^('')| \leq ((2q + 1)!M_(2q + 1))/(n^(2q + 2)).

Expliciter

S_n

" et l'inégalité précédente lorsque

q = 2

.
d) Ecrire en PASCAL un algorithme calculant et affichant

S_n

" pour

q = 2

lorsque

n

est donné.

Pas de description pour le moment

Commentaires• BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2001

Connectez-vous pour participer aux discussions

Partagez vos avis, posez des questions et échangez avec la communauté

Chargement des commentaires...

Explorer les annales

Téléchargements

Description

Ces sujets peuvent vous intéresser

Lecture du sujet en ligne

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

PARTIE I

1^∘ ) Convergence de la suite ( J_p/I_p )

PARTIE II

PARTIE III

2^∘ ) Etude des polynômes de Bernoulli

3^∘ ) Accélération de la convergence de ( S_n )

Commentaires• BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2001

Commentaires• BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2001

$1^\circ$ ) Convergence de la suite ( $J_p/I_p$ )

$2^\circ$ ) Etude des polynômes de Bernoulli

$3^\circ$ ) Accélération de la convergence de ( $S_n$ )