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BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2002

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Algèbre linéairePolynômes et fractionsCalcul différentiel et fonctions à plusieurs variablesTopologie/EVNIntégrales généraliséesSuites et séries de fonctions
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Banque
BCE
Année
2002
Filière
ECS
Matière
Mathématiques
Annales BCE ECS MathématiquesBCE ECS 2002ECS MathématiquesMathématiques 2002

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Description

Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2002.

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ΕSSΕC
MBA

CONCOURS D'ADMISSION DE 2002

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Jeudi 2 Mai 2002 de 8h à 12h
La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.
Dans la suite, on désigne par un nombre entier supérieur ou égal à 2 et par l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à . On rappelle qu'un polynôme non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant (c'est à dire le coefficient de son terme de plus haut degré) est égal à 1 .
L'objet du problème est l'étude des extrema d'une fonction de plusieurs variables (partie II). A cet effet, on étudie auparavant, dans la partie I, une famille de polynômes de et leurs racines. Les deux parties ne sont pas indépendantes, mais on pourra admettre des résultats de la partie I pour pouvoir traiter la partie II.

PARTIE I

) Définition d'un endomorphisme de

a) Etablir que l'application associant à tout polynôme de le polynôme (où et désignent les dérivées première et seconde de ) est un endomorphisme de .
b) Ecrire sa matrice dans la base canonique de .
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) Eléments propres de l'endomorphisme

a) Déterminer les valeurs propres de (on supposera que ) et montrer que est diagonalisable.
b) Montrer, pour tout nombre entier tel que , qu'il existe un et un seul polynôme unitaire de vérifiant :
c) Montrer, pour tout nombre entier tel que , que est nécessairement de degré .
d) Expliciter les polynômes dans la base canonique de et calculer les coefficients de et de dans l'expression du polynôme .

) Définition d'un produit scalaire sur

a) Montrer que l'intégrale écrite ci-dessous est définie pour tout couple de :
b) Montrer alors que l'application définit un produit scalaire sur .
c) Exprimer la dérivée de .exp en fonction de .exp , puis prouver qu'on a pour tout couple de :
d) En déduire que lorsque et sont deux nombres entiers distincts compris entre 0 et . puis que ( ) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin que pour tout polynôme appartenant à .

) Etude des racines des polynômes

a) Montrer, en remarquant que , que le polynôme s'annule au moins une fois sur en changeant de signe.
b) On note les racines distinctes de en lesquelles celui-ci s'annule et change de signe (avec bien entendu ) et on pose alors .
Etudier le signe du polynôme et déterminer la valeur de l'intégrale si , puis en déduire que .
c) En déduire que le polynôme admet racines simples dans .

) Relations entre les polynômes

a) Prouver les égalités suivantes pour tout polynôme appartenant à où :
En exprimant le polynôme dans la base ( ), établir la relation :
b) Prouver l'égalité pour tout polynôme appartenant à où , puis en déduire la relation :

PARTIE II

On considère dans cette partie l'espace vectoriel constitué des -uplets . On note l'ouvert de constitué des -uplets tels que (mais on ne demande pas de vérifier que cette partie de est ouverte).
On étudie ici les extrema de la fonction de plusieurs variables définie sur l'ouvert par :
Par exemple, pour , on obtient: .
Etude du cas particulier
a) Calculer les deux dérivées partielles de en tout point de et déterminer l'unique point de où ces dérivées partielles sont nulles.
b) Calculer et montrer que présente un minimum local en .

) Etude du point critique de dans le cas général

On associe à tout point de le polynôme . On rappelle qu'un point de est dit point critique de si les dérivées partielles de sont nulles en .
a) Etablir la relation suivante pour tout nombre réel distinct de :
En déduire la limite quand tend vers , de .
b) Déterminer à l'aide de la formule de Taylor-Young (dont on demande de rappeler ici l'énoncé) le développement limité à l'ordre 2 à l'origine des deux fonctions suivantes :
En déduire la limite quand tend vers de (on posera ).
c) Utiliser les résultats précédents pour établir l'égalité :
Exprimer les dérivées partielles de en fonction de , puis démontrer que si a est point critique de , alors admet pour racines .
d) En déduire qu'il existe un nombre réel (dont on précisera la valeur) tel que , puis comparer les polynômes et . Etablir que admet un unique point critique dans .

) Nature du point critique de dans le cas général

a) Montrer, si appartiennent à , que appartient aussi à si .
b) On dit qu'une fonction définie sur l'ouvert est convexe si :
  • Montrer que la fonction est convexe sur .
En déduire que est convexe sur .
  • Montrer que la fonction est convexe sur .
En déduire que est convexe sur .
  • Etablir que est convexe sur .
    c) On désigne par a le point critique de et par un élément de et on pose pour :
  • Calculer la dérivée et montrer que .
  • Etablir l'inégalité ci-dessous pour , puis conclure que admet un minimum en :

) Calcul du minimum de dans le cas général

a) On désigne par les racines de et par les racines de .
  • Etablir à l'aide de la relation , les relations :
  • Etablir que et évaluer en fonction de .
  • Etablir à l'aide de la relation l'égalité .
  • En déduire en fonction de .
    b) En remarquant que le polynôme vérifie l'égalité suivante :
calculer les sommes , puis .
En déduire la valeur du minimum de sur et retrouver lorsque le résultat du .

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