BCE Maths approfondies ESSEC ECS 2002Sujet et corrigé

Epreuve de maths approfondies - ECS 2002

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Annale de maths approfondies BCE ESSEC pour la filiere ECS, session 2002.

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ΕSSΕC
MBA

CONCOURS D'ADMISSION DE 2002

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

Jeudi 2 Mai 2002 de 8h à 12h

La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité de la rédaction, la clarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l'appréciation des copies.
Les candidats sont invités à encadrer dans la mesure du possible les résultats de leurs calculs.
Ils ne doivent faire usage d'aucun document; l'utilisation de toute calculatrice et de tout matériel électronique est interdite. Seule l'utilisation d'une règle graduée est autorisée.
Si au cours de l'épreuve un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d'énoncé, il le signalera sur sa copie et poursuivra sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu'il sera amené à prendre.

Dans la suite, on désigne par

n

un nombre entier supérieur ou égal à 2 et par

ℝ_n[X]

l'espace vectoriel des polynômes de degré inférieur ou égal à

n

. On rappelle qu'un polynôme non nul est dit unitaire lorsque son coefficient dominant (c'est à dire le coefficient de son terme de plus haut degré) est égal à 1 .

L'objet du problème est l'étude des extrema d'une fonction de plusieurs variables (partie II). A cet effet, on étudie auparavant, dans la partie I, une famille de polynômes de

ℝ_n[X]

et leurs racines. Les deux parties ne sont pas indépendantes, mais on pourra admettre des résultats de la partie I pour pouvoir traiter la partie II.

PARTIE I

$1^\circ$ ) Définition d'un endomorphisme $φ$ de $ℝ_n[X]$

a) Etablir que l'application associant à tout polynôme

P

ℝ_n[X]

le polynôme

φ(P) = 2xP^' - P^('')

(où

P^'

P^('')

désignent les dérivées première et seconde de

P

) est un endomorphisme de

ℝ_n[X]

.
b) Ecrire sa matrice dans la base canonique

(1, x, x^2, \dots, x^n)

ℝ_n[X]

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DE VERSAILLES VAL DOISE-YVELINES

$2^\circ$ ) Eléments propres de l'endomorphisme $φ$

a) Déterminer les valeurs propres

λ_0, λ_1, \dots, λ_n

φ

(on supposera que

λ_0 \leq λ_1 \leq \dots \leq λ_n

) et montrer que

φ

est diagonalisable.
b) Montrer, pour tout nombre entier

p

tel que

0 \leq p \leq n

, qu'il existe un et un seul polynôme unitaire

H_p

ℝ_n[X]

vérifiant :

H_p^('') - 2xH_p^' + 2pH_p = 0

c) Montrer, pour tout nombre entier

p

tel que

0 \leq p \leq n

, que

H_p

est nécessairement de degré

p

.
d) Expliciter les polynômes

H_0, H_1, H_2, H_3

dans la base canonique de

ℝ_n[X]

et calculer les coefficients de

x^(p - 1)(1 \leq p \leq n)

et de

x^(p - 2)(2 \leq p \leq n)

dans l'expression du polynôme

H_p

$3^\circ$ ) Définition d'un produit scalaire sur $ℝ_n[X]$

a) Montrer que l'intégrale écrite ci-dessous est définie pour tout couple

(P, Q)

ℝ_n[X]

< P, Q>=\int_(- \infty)^(+ \infty)P(x)Q(x)exp(- x^2)dx

b) Montrer alors que l'application

(P, Q) \in ℝ_n[K] \times ℝ_n[X]\to<P, Q>\inℝ

définit un produit scalaire sur

ℝ_n[K]

.
c) Exprimer la dérivée de

x \to P^'(x)

.exp

(- x^2)

en fonction de

φ(P)(x)

.exp

(- x^2)

, puis prouver qu'on a pour tout couple

(P, Q)

ℝ_n[X]

< φ(P), Q>=<P, φ(Q) > .

d) En déduire que

< H_p, H_q>=0

lorsque

p

q

sont deux nombres entiers distincts compris entre 0 et

n

. puis que (

H_0, H_1, \dots, H_n

) forme une base orthogonale pour ce produit scalaire. Montrer enfin que

< H_p, Q>=0

pour tout polynôme

Q

appartenant à

ℝ_(p, - 1)[X](1 \leq p \leq n)

$4^\circ$ ) Etude des racines des polynômes $H_p(1 \leq p \leq n)^\dots$

a) Montrer, en remarquant que

< H_p, H_0>=0

, que le polynôme

H_p

s'annule au moins une fois sur

ℝ

en changeant de signe.
b) On note

a_1, a_2, \dots, a_m

les racines distinctes de

H_p

en lesquelles celui-ci s'annule et change de signe (avec bien entendu

m \leq p

) et on pose alors

P_m(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_m)

.
Etudier le signe du polynôme

H_p P_m

et déterminer la valeur de l'intégrale

< H_p, P_m >

m < p

, puis en déduire que

m = p

.
c) En déduire que le polynôme

H_p

admet

p

racines simples dans

ℝ

$5^\circ$ ) Relations entre les polynômes $H_p(2 \leq p \leq n)$

a) Prouver les égalités suivantes pour tout polynôme

Q

appartenant à

ℝ_(p - 3)[X]

où

3 \leq p \leq n

< xH_(p - 1), Q>=0; < H_p - xH_(p - 1), Q>=0.

En exprimant le polynôme

H_p - xH_(p - 1)

dans la base (

H_0, H_1, \dots, H_n

), établir la relation :

2H_p - 2xH_(p - 1) + (p - 1)H_(p - 2) = 0 (pour 2 \leq p \leq n).

b) Prouver l'égalité

⟨H_p^', Q⟩ = 0

pour tout polynôme

Q

appartenant à

ℝ_(p - 2)[X]

où

2 \leq p \leq n

, puis en déduire la relation :

H_p^' = pH_(p - 1) (pour 1 \leq p \leq n)

PARTIE II

On considère dans cette partie l'espace vectoriel

ℝ^n

constitué des

n

-uplets

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

. On note

U

l'ouvert de

ℝ^n

constitué des

n

-uplets

x = (x_1, x_2, \dots, x_n)

tels que

x_1 < x_2 < \dots < x_n

(mais on ne demande pas de vérifier que cette partie

U

ℝ^n

est ouverte).
On étudie ici les extrema de la fonction de plusieurs variables

F

définie sur l'ouvert

U

par :

F(x) = \sum_(i = 1)^n x_i^2 - 2\sum_(1 \leq i < j \leq n)ln(x_j - x_i)

Par exemple, pour

n = 3

, on obtient:

F(x) = x_1^2 + x_2^2 + x_3^2 - 2ln(x_2 - x_1) - 2ln(x_3 - x_2) - 2ln(x_3 - x_1)

1^\circ)

Etude du cas particulier

n = 2(F(x) = x_1^2 + x_2^2\dots2ln(x_2 - x_1))

a) Calculer les deux dérivées partielles de

F

en tout point

x = (x_1, x_2)

U

et déterminer l'unique point

a

U

où ces dérivées partielles sont nulles.
b) Calculer

F(a)

et montrer que

F

présente un minimum local en

a

$2^\circ$ ) Etude du point critique de $F$ dans le cas général

On associe à tout point

a

U

le polynôme

P(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n)

. On rappelle qu'un point

a

U

est dit point critique de

F

si les dérivées partielles de

F

sont nulles en

a

.
a) Etablir la relation suivante pour tout nombre réel

x

distinct de

a_1, a_2, \dots, a_n

(P^'(x))/(P(x)) = \sum_(j = 1)^n 1/(x - a_j).

En déduire la limite quand

x

tend vers

a

, de

(P^'(x))/(P(x)) - 1/(x - a_i)

.
b) Déterminer à l'aide de la formule de Taylor-Young (dont on demande de rappeler ici l'énoncé) le développement limité à l'ordre 2 à l'origine des deux fonctions suivantes :

f(t) = tP^'(a_1 + t) - P(a_1 + t); g(t) = tP(a_2 + t).

En déduire la limite quand

x

tend vers

a_i

(P^'(x))/(P(x)) - 1/(x - a_i)

(on posera

x = a_t + t

).
c) Utiliser les résultats précédents pour établir l'égalité :

\sum_(j = 1; j \neq i)^n 1/(a_i - a_j) = (P^('')(a_i))/(2P^'(a_i))

Exprimer les

n

dérivées partielles de

F

en fonction de

x_1, x_2, \dots, x_n

, puis démontrer que si a est point critique de

F

, alors

2xP^' - P^('')

admet pour racines

a_1, a_2, \dots, a_n

.
d) En déduire qu'il existe un nombre réel

λ

(dont on précisera la valeur) tel que

2xP^' - P^('') = λP

, puis comparer les polynômes

P

H_n

. Etablir que

F

admet un unique point critique

a

dans

U

$3^\circ$ ) Nature du point critique de $F$ dans le cas général

a) Montrer, si

x, y

appartiennent à

U

, que

tx + (1 - t)y

appartient aussi à

U

0 \leq t \leq 1

.
b) On dit qu'une fonction

f

définie sur l'ouvert

U

est convexe si :

\forallx, y \in U, \forallt \in [0, 1], f(tx + (1 - t)y) \leq tf(x) + (1 - t)f(y).

Montrer que la fonction $x \in ℝ \to x^2 \in ℝ$ est convexe sur $ℝ$ .

En déduire que

x \to x_i^2

est convexe sur

U

Montrer que la fonction $x \in ]0, + \infty[ \to - ln(x) \in ℝ$ est convexe sur $ℝ$ .

En déduire que

x \to - ln(x_j - x_i)

est convexe sur

U

Etablir que $F$ est convexe sur $U$ .
c) On désigne par a le point critique de $F$ et par $x$ un élément de $U$ et on pose pour $0 \leq t \leq 1$ :

ψ(t) = F(tx + (1 - t)a).

Calculer la dérivée $ψ^'(t)$ et montrer que $ψ^'(0) = 0$ .
Etablir l'inégalité ci-dessous pour $0 < t \leq 1$ , puis conclure que $F$ admet un minimum en $a$ :

(ψ(t) - ψ(0))/t \leq F(x) - F(a).

$4^\circ$ ) Calcul du minimum $F(a)$ de $F$ dans le cas général

a) On désigne par

y_1, \dots, y_(n - 1)

les racines de

H_(n - 1)

et par

z_1, \dots, z_(n - 2)

les racines de

H_(n - 2)(n \geq 3)

Etablir à l'aide de la relation $2I_n - 2xII_(n - 1) + (n - 1)H_(n - 2) = 0$ , les relations :

|\prod_(i = 1)^(n - 1)H_n(y_i)| = ((n - 1)/2)^(n - 1)|\prod_(i = 1)^(n - 2)H_(n - 1)(z_i)|; |\prod_(i = 1)^(n - 1)H_n(y_i)| = (2^2 3^3\dots(n - 1)^(n - 1))/(2^((n(n - 1))/2)).

Etablir que $|H_n^'(a_i)| = |\prod_(j = 1; j \neq i)^n(a_j - a_i)|$ et évaluer $p_n = \prod_(1 \leq i < j \leq n)(a_j - a_i)$ en fonction de $\prod_(i = 1)^n H_n^'(a_i)$ .
Etablir à l'aide de la relation $H_n^' = nH_(n - 1)$ l'égalité $p_n^2 = n^n|\prod_(i = 1)^(n - 1)H_n(y_i)|$ .
En déduire $p_n$ en fonction de $n$ .
b) En remarquant que le polynôme $H_n$ vérifie l'égalité suivante :

H_n(x) = (x - a_1)(x - a_2)\dots(x - a_n) = x^n - \sum_(1 \leq i \leq n)a_i x^(n - 1) + \sum_(1 \leq i < j \leq n)a_i a_j x^(n - 2) - \dots + (- 1)^n a_1 a_2\dotsa_n,; calculer les sommes Γa. Γ a.a. puis \sum^2.

calculer les sommes

\sum_(1 \leq i \leq n)a_i, \sum_(1 \leq i < j \leq n)a_i a_i

, puis

\sum_(1 \leq i \leq n)a_i^2

.
En déduire la valeur

F(a)

du minimum de

F

sur

U

et retrouver lorsque

n = 2

le résultat du

II.1^\circ

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CONCOURS D'ADMISSION DE 2002

Option scientifique

MATHEMATIQUES I

PARTIE I

1^∘ ) Définition d'un endomorphisme φ de ℝ_n[X]

2^∘ ) Eléments propres de l'endomorphisme φ

3^∘ ) Définition d'un produit scalaire sur ℝ_n[X]

4^∘ ) Etude des racines des polynômes H_p(1 ≤ p ≤ n)^⋯

5^∘ ) Relations entre les polynômes H_p(2 ≤ p ≤ n)

PARTIE II

2^∘ ) Etude du point critique de F dans le cas général

3^∘ ) Nature du point critique de F dans le cas général

4^∘ ) Calcul du minimum F(a) de F dans le cas général

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MBA

$1^\circ$ ) Définition d'un endomorphisme $φ$ de $ℝ_n[X]$

$2^\circ$ ) Eléments propres de l'endomorphisme $φ$

$3^\circ$ ) Définition d'un produit scalaire sur $ℝ_n[X]$

$4^\circ$ ) Etude des racines des polynômes $H_p(1 \leq p \leq n)^\dots$

$5^\circ$ ) Relations entre les polynômes $H_p(2 \leq p \leq n)$

$2^\circ$ ) Etude du point critique de $F$ dans le cas général

$3^\circ$ ) Nature du point critique de $F$ dans le cas général

$4^\circ$ ) Calcul du minimum $F(a)$ de $F$ dans le cas général